Конспект урока по теме: Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Урок алгебры в 10 классе

Тема: «Логарифмическая функция, её свойства и график»

Цели:

1. Образовательная: Ввести понятие логарифмической функции с применением прошлого опыта, дать определение. Изучить основные свойства логарифмической функции. Сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции.

2. Развивающая: Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать. Формировать графическую культуру учащихся.

3. Воспитательная: Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью. Формировать навыки общения, диалога, умение работать в коллективе.

Тип урока: Комбинированный

Методы обучения: Частично-поисковый, диалоговый.

Ход урока.

1.Актуализация прошлого опыта:

Учащимся предлагаются устные упражнения с использованием определения логарифма, его свойств, формул перехода к новому основанию, решения простейших логарифмических и показательных уравнений, примеров на нахождение области допустимых значений под логарифмических выражений

Устные упражнения Устная работа.

1) Вычислить, пользуясь определением логарифма: log₂8; log₄16;.

2) Вычислить, используя основное логарифмическое тождество:

.

3) Решите уравнение, используя определение:

4) Выясните, при каких значениях x имеет смысл выражение:

5) Найдите значение выражения, используя свойства логарифмов:

2. Изучение темы. Учащимся предлагается решить показательные уравнения: 2^х=у; ()^х =у. с помощью выражения переменной х через переменную у. В результате этой работы получаются формулы, которые задают функции, незнакомые учащимся. ,.Вопрос : «Как бы вы назвали эту функции?» учащиеся говорят, что она логарифмическая, так как переменная стоит под знаком логарифма: .

Вопрос. Дайте определение функции. Определение: Функцию, заданную формулой у=log_ax называют логарифмической с основанием а (а>0, а 1)

III. Исследование функции y=log_ax

Совсем недавно мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида у=log_ax, и о ее графике и свойствах. Функцию, заданную формулой у=log_ax называют логарифмической с основанием а (а>0, а 1)

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.D(f)=R+

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных чисел.E(f)= (-∞; +∞)

3. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

4.Ллогарифмическая функция возрастает при а>1, и убывает при 0<х<1.

5. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция - функция общего вида.

6. Функция не имеет точек максимума и минимума, в области определения непрерывна.

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.

Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log₈(4 - 5x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных действительных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 - 5x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log₈(4 - 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)

Графики логарифмической функции в программе GeoGebra

Графики логарифмической функции

1) натуральный логарифм y = ln (x)

2) десятичный логарифм y = lg (x)

3) логарифм по основанию 2 y = ld (x)

V. Закрепление темы

Применяя полученные свойства логарифмической функции решим следующие задания:

1. Найти область определения функции: у=log₈(4-5x);у= log_0,5(2х+8);.

3. Схематично построить графики функций:у=log₂(х+2) -3 у= log₂(х) +2

Подводятся итоги урока: Рефлексия в форме диалога:

«На уроке я работал активно / пассивно»

«Совей работой на уроке я доволен / не доволен»

«Урок мне показался коротким / длинным»

«Я не достиг хорошего результата потому, что …»

«Материал урока мне был понятен / не понятен»

«Моё настроение стало лучше / хуже».

Вопросы диктанта

Логарифмическая функция у = log_ax определена при любом х. (^)

1. Функция у = log_ax логарифмическая при а>0, а ≠ 1, х>0. ( _ )

2. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел. (^)

3. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел. ( _ )

4. Логарифмическая функция - четная. (^)

5. Логарифмическая функция - нечетная. (^)

6. Функция у = log_ax (при основании большем 1) - возрастающая.( _ )

7. Функция у = log_ax при положительном, но меньшем единицы основании, - возрастающая. (^)

8. Логарифмическая функция имеет экстемум в точке (1; 0). (^)

9. График функции у = log_ax пересекается с осью Ох. ( _ )

10. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости. (^)

11. График логарифмической функции симметричен относительно Ох. (^)

12. График логарифмической функции всегда находится в I и IV четвертях. ( _ )

13. График логарифмической функции всегда пересекает Ох в точке (1; 0). ( _ )

14. Существует логарифм отрицательного числа. (^)

15. Существует логарифм дробного положительного числа.( _ )

16. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0). (^)

2. На каком из рисунков изображен график функции .

Укажите этот рисунок.

2)

3)

4)

</