План-конспект урока алгебры в 10 классе по теме«Однородные тригонометрические уравнения»

Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения»

Цели и задачи урока:

1. Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений;

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: проектор, карточки, тетради, стенды по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии.

Содержание урока

I. Организационный момент.

Взаимное приветствие: проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).

II. Проверка домашнего задания.

1. Проверка домашнего задания у доски. Учащиеся решают у доски уравнения:

№18.18

sin (2x - ) = -1

2x - = - + 2πn, nZ

2x = - + + 2πn, nZ

2x = - + 2πn, nZ

x = - + πn, nZ

a) наименьший положительный корень: если n=1, x =

б) корни, принадлежащие отрезку

[- ; ] n=0, х = -

n=1, х =

в) наименьший отрицательный корень n=0, х = -

г)корни, принадлежащие интервалу

(-π;) х = -

18.20 (б)

cos² 2x - 1 - cos x = - sin² 2x

cos² 2x - 1 - cos x - + (1 - cos² 2x)=0

- cos x - = 0

cos x = -

x= ±arccos ( 2πn, nZ

x= ± 2πn, nZ

2. Всему классу представляется устный диктант (на слайдах в презентации):

№1

- что называется arcsin a?

Если |a|≤1,то арксинусом a называется такое число из отрезка [- ; ], синус которого равен a.

- что называется arccos а?

Если |a|≤1, то арккосинусом a называется такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен a.

- что называется arctg a?

Арктангенс a - это такое число из интервала (- ;), тангенс которого равен a.

- что называется arcctg a?

Арккотангенс a - это такое число из интервала (0; π),котангенс которого равен a.

- назовите формулу нахождения корней уравнения вида sin x = a?

Если |a|≤1, то уравнение sin x=a, имеет решения x= (-1)ⁿ arcsin a +πn, где nZ

- назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos x = a.

Если |a|≤1, то уравнение cos x=a, имеет решения x = ± arccos a +2πк, где кZ

- назовите формулу нахождения корней уравнения вида tg x = a

Уравнение tgx=a имеет решения x=arctg a + πк, где кZ

Следить за правильностью ответов, активизировать мыслительную деятельность учащихся, зрительную память.

№2. Вычислите устно:

1) arcsin =

2) arcos =

3) arccos =

4) arcsin =

№3 Установите соответствие:

А) на доске записаны простейшие тригонометрические уравнения (частные случаи) необходимо каждому подобрать карточку с соответствующим решением и разместить напротив уравнения (выполняет 1 ученик)

Ответ: Л Эйлер

Сообщение об Эйлере.

Швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер прославил Петербургскую и Берлинскую академию наук, но наследие его принадлежит всему человечеству.

Родился Эйлер 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора. Начальное обучение прошел дома под руководством отца, закончил Базельский университет, затем был приглашен работать в создаваемую тогда Академию наук в Петербурге.

Именно в России Эйлер становится первым математиком мира, 886 работ - таков итог научной деятельности Эйлера. Долгую и плодотворную жизнь прожил Эйлер. Россия стала для него второй родиной, более 30 лет проработал он в Петербурге. В России выросли пять его детей, 38 внуков. Потомки великого ученого и сейчас живут в нашей стране.

Основы тригонометрии и ее символику изложил в своих трудах Эйлер, теперь этот раздел математики изучают школьники всего мира.

Б) Остальные учащиеся работают со слайдом

3. Самостоятельная работа через проектор на четыре варианта

Варианта I

2 sin² х + sin х - 1 = 0

Вариант II

8 sin²х + cos х + 1 = 0

Вариант III

2 cos² х - cosх-1=0

Вариант IV

√3 tg²х-3 tgх=0

эталон для самопроверки самостоятельной работы (для слабых учащихся)

2 sin² х + sin х - 1 = 0;

sin х = а, |a|≤1 ;

2а² + а - 1 = 0;

D = 9; а₁ = - 1; а₂ = ;

sin х = -1;

х₁ = - + 2πn, nN. sin х = ;

x₂ = (- 1)^k + πk, kN.

Ответ: - + 2πn;

(- 1)^k + πk, n, k N.

8 sin²х + cos х + 1 = 0;

8 (1 - cos²х) + cos х + 1 =0;

8 cos²х - cos х - 9 = 0;

cos х = а; |a|≤1;

8а² - а - 9 = 0;

D = 289; а₁ = ; а₂ = -1;

cos х = ; Нет решений т.к. >1

cos х = -1;

х = π + 2πn, n N.

Ответ: π + 2πn, nN.

2 cos ²х-cosх-1=0

Пусть cosх=t, где ltl≤1, тогда

2t²-t-1=0

D=9, t₁=1, t₂= -

1. cos х=1, х=2 πn, где nZ

2. cos х= - , х= ± + 2πк, где kZ

3. Ответ: 2 πn, где nZ, ± + 2πк, где kZ

В) √3 tg²х-3 tgх=0

tgх(√3 tgх-3)=0

tgх=0 или √3 tgх-3=0

х= πn, где nZ или х= +πk, где kZ

Ответ: πn, где nZ или +πk, где kZ

Дополнительные карточки

2 cos ²х+2sinх=2,5

2(1- sin²х)+2sinх-2,5=0

2-2 sin²х+2sinх-2,5=0

-2 sin²х+2sinх-0,5=0

2 sin²х-2sinх+0,5=0

Пусть sinх = t, где |t| ≤1,тогда

2t²-2t+0,5=0

D=0, t=

sinх =

х = (-1)ⁿ +πn, где nZ

Ответ: (-1)ⁿ +πn, где nZ

6 cos ²х+cosх-1=0

Пусть cosх=t, где |t| ≤1, тогда

6t²+t-1=0

D=25, t₁=, t₂=

1) cos х = , х= ± arccos +2πn, где nZ

2) cos х= , х= ± + 2πк, где kZ

Ответ: ± + 2πк,

± arccos +2πn, где nZ

III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений.

Обращаю внимание на доску (экран), где расположен слайд с записью тригонометрических уравнений, и предлагаю учащимся назвать те уравнения, которые они знают, каким способом можно решить.

cos (4х - 2) = ;

cos²х - 2cos х = 0;

cos²х - sin²х = 1;

3sin²х - 5sin х - 2 = 0;

2sin х - 3cos х = 0;

(tg х- √3)(2sin + 1) = 0;

3sin²х+sinх cos х=2cos²х.

Учащиеся называют уравнение и говорят, как они его решают. После сказанного, если нет замечаний, уравнение убирается с доски. В результате на доске остаются уравнения:

2sin х - 3cos х = 0;

3sin²х+sinх cos х=2cos²х.

IV. Усвоение новых знаний.

Зачади: дать учащимся понятие однородных уравнений, способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решения.

Называется вид уравнений, оставшихся на доске и предлагается записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».

Слайд: определение однородных тригонометрических уравнений

1. Уравнение вида аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;

2. Уравнение вида аsin²х + bsin х cos х + c cos² x = 0 где a 0, b0, с0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

При делении уравнения аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.

Пример 1. (можно решение разобрать с помощью слайдов):

Рассматривается решение уравнения 2sin x - 3cos x = 0,

Разделив обе части уравнения почленно на cos x, получим:

2tg x - 3 = 0;

tg x = ;

x = arctg + πn, nZ.

Ответ: x = arctg + πn, nZ.

Пример 2

Записывается на доске следующее уравнение

sin²х - 3sinх cosх + 2cos²х = 0

Проверяем: каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Это уравнение однородное 2-ой степени. Проверяем если в этом уравнении одночлен asin²x, если есть, то делим уравнение на cos²x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0, согласно основному тригонометрическому тождеству).

Получим: tg²x-3tg x+2 = 0

Введем новую переменную z = tg x,

z² - 3z + 2 =0

z₁ = 1, z₂ = 2

значит, либо tg x = 1, либо tg x = 2

tg x = 1

х = arctg 1 + πn, nZ

x = + πn, nZ

tg x = 2

х = arctg 2 + πn, nZ

Ответ: x = + πn, х = arctg 2 + πn, nZ

Пример 3 Решить уравнение √3 sinх cosх + cos²х = 0

Решение. Здесь отсутствует член вида а sin² х, значит, делить обе части уравнения на cos²х нельзя. Решим уравнение методом разложения на множители:

cosх (√3 sinх + cos х) = 0

cos х = 0 или √3 sinх + cos х = 0(однородное уравнение первой степени)

х = + πn √3 tg x + 1 = 0;

tg x = ;

х = arctg )+ πn, nZ;

х = - +πn, где nZ

Ответ: х = + πn, х = - +πn, где nZ

V. Физминутка

1. Исходное положение:

В положении стоя положите руки на бедра.

Медленно отклоняйтесь назад, глядя в потолок.

Вернитесь в исходное положение.

2. В положении стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.

VI. Закрепление нового материала

а) №18. 24(б)

sin 3х = cos 3х,

= ,

tg3х =1,

tg3х = ,

3х = ,

х= + .

Ответ: + .

№ 18.12 (б)

sin²х-4 sinх cosх+3 cos²х=0

Разделим уравнение на cos²х≠0

tg² х-4 tg х+3=0

Пусть tg х= t, тогда

t²-4t+3=0
t₁=1, t₂=3

1. tg х=1, х = + πk, где kZ

2. tg х=3, х=arctg3+πn, где nZ

Ответ: х = + πk, х=arctg3+πn, где k,nZ

№ 18.12(г)

3sin²х+ sinх cosх-2 cos²х=0

Разделим уравнение на cos ²х≠0

3tg²х+ tgх-2=0

Пусть tgх=t, тогда

3t²+t-2=0,D=25
t₁= -1, t₂=

1. tgх=-1, х= - + πk, где k Z

2. tgх=, х=arctg +πn, где nZ

Ответ: х= - + πk, х=arctg +πn, где k,nZ

VII. Домашнее задание

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

1. Упр № 18.25(а), 18.31 (б), 18.27 (а)

Учебник А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч (базовый уровень)М.: Мнемозина, 2009

VIII. Подведение итога урока.

Задача: систематизировать и обобщить знания учащихся по решению однородных тригонометрических уравнений.

1) Вопросы:

- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?

- Какой вид имеют однородные уравнения первой степени, второй степени?

- Как решаются эти уравнения?

- Как решаются однородные уравнения второй степени, если в нем нет одночлена sin²x?

карта для этапа рефлексии:

Рефлексия Подчеркни или напиши другое

На уроке мне было (скучно, интересно, неуютно……………

Содержание темы урока (интересное, понятно, непонятно, доступно, сложно…………..

По данной теме у меня есть вопросы ( да, нет)

Свою работу на уроке я оцениваю по 100 балльной системе (нарисуй флажок на отрезке)

0_____________________________100

Резерв

№ 18.10(а)

sinх +√3 cosх=0

Разделим уравнение на cosx≠0

tg х + √3 =0,

х = - + πk, где kZ

Ответ: - + πk, где kZ

1) А sinx + Вcosx =0- однородное уравнение 1-й степени

Разделим на cosx≠0

2) Уравнение tgx=a имеет решения

Х=arctg a + Пк, где к€Z

3) arctg(- a)=- arctg a

№ 18.12 (б)

sin²х-4 sinх cosх+3 cos²х=0

Разделим уравнение на cos ²х≠0

tg² х-4 tg х+3=0

Пусть tg х= t, тогда

t²-4t+3=0
t₁=1, t₂=3

3. tg х=1, х = + πk, где kZ

4. tg х=3, х=arctg3+πn, где nZ

Ответ: х = + πk, х=arctg3+πn, где k,nZ

1) А sin²x + Вsinx cosx+С cos²x=0- однородное уравнение 2-й степени

Разделим уравнение на cos ²x≠0

2) D=b²-4ac; t=(b±√D)/2а

3) Уравнение tgx=a имеет решения

Х=arctg a + Пк, где к€Z

№ 18.12(г)

3sin²х+ sinх cosх-2 cos²х=0

Разделим уравнение на cos ²х≠0

3tg²х+ tgх-2=0

Пусть tgх=t, тогда

3t²+t-2=0,D=25
t₁=-1, t₂=2/3

3. tgх=-1, х= - + πk, где kZ

4. tgх=, х=arctg +πn, где nZ

5. Ответ: х= - + πk, х=arctg +πn, где k,nZ

1) А sin²x + Вsinx cosx+С cos²x=0- однородное уравнение 2-й степени

Разделим уравнение на cos ²x≠0

2) D=b²-4ac; t=(b±√D)/2а

3) Уравнение tgx=a имеет решения

Х=arctg a + Пк, где к€Z

sinx=cosx

Разделим уравнение на cosx≠0

tgx =1,

х= П/4+ Пk, где k€Z

Ответ: П/4+ Пk, где k€Z

АSinx + Вcosx =0- однородное уравнение 1-й степени

Разделим на cosx≠0

2) Уравнение tgx=a имеет решения

Х=arctg a + Пк, где к€Z

№18.30

4sin²(х/2)-3=2 sinx(х/2) cos(х/2)

4sin²(х/2)- 2 sinx(х/2) cos(х/2)-3sin²(х/2)-3 cos²(х/2)=0

sin²(х/2)- 2 sinx(х/2) cos(х/2)- 3 cos²(х/2)=0

Разделим уравнение на cos ²(x/2)≠0

tg²(x/2)-2 tg(x/2)-3=0

Пусть tg(x/2)=t, тогда

t²-2t-3=0
t₁= - 1, t₂=3

1. tg(x/2)=-1, х/2=-П/4+Пk, где k€Z; х=-П/2+2Пk, , где k€Z

2. tg(x/2)=3, х/2=arctg3+Пn, где n€Z;х=2 arctg3+2Пn, где n€Z

Ответ: -П/2+2Пk, , где k€Z;2 arctg3+2Пn, где n€Z

№18.31 а)

sin(П/2+2х)+ cos(П/2+2х)=0

cos(2х)- sin(2х)=0

Разделим уравнение на cos(2x)≠0

tg(2x)-1 =0

tg(2x)=1

2х=П/4+Пn , где n€Z

Х=П/8+Пn/2, где n€Z

Ответ: П/8+Пn/2, где n€Z

№ 18.20 а)

sin²(3х/4)-√2/2=sinx- cos²(3x/4)+1

sin²(3х/4)+ cos²(3x/4) )-√2/2-1= sinx

1-1 -√2/2= sinx

sinx=-√2/2

Х=(-1)ⁿ arcsin (-√2/2) +Пn, где n€Z

Х=(-1)ⁿ (-П/4) +Пn, где n€Z

Х=(-1)ⁿ⁺¹(П/4) +Пn, где n€Z

Ответ: (-1)ⁿ⁺¹(П/4) +Пn, где n€Z

Литература

1. Учебник А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч (базовый уровень)М.: Мнемозина, 2009

2. Газета «Математика» издательский дом «Первое сентября»

3.

4.

5.

6.