Алгебра 9 класс. Мордкович. Геометрическая прогрессия 1-3 уроки

Содержание.

Геометрическая прогрессия

У р о к 1

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.

Актуализация знаний обучающихся.

Проверочная работа (10 мин).

В а р и а н т I

1. Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

2. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии -16; -13; …

В а р и а н т II

1. Выведите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

2. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.

II. Объяснение нового материала.

1. Сформулировать определение геометрической прогрессии. Знаменатель геометрической прогрессии

при b_n ≠ 0, q ≠ 0.

2. Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (b_n), заданная рекуррентно соотношениями

b₁ = b, b_n = b_{n - 1}  q

(n = 2; 3; 4; …)

b и q - заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0.

3. Рассмотреть решение примеров 1-5 по учебнику на с. 157. Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b₁ > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b₁ > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).

4. Обозначение геометрической прогрессии b₁, b₂, b₃, …, b_n, …

5. Решить устно № 17.1 (а; в) и № 17.2.

6. Решить устно № 17.4 (б; в) и № 17.6 (а; в).

7. Вывод формулы n-го члена геометрической прогрессии

b_n = b₁  q^{n - 1}.

8. Разобрать решение примеров 1-5 на с. 159-160 учебника.

9. Геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию у = mq^х, заданную на множестве N натуральных чисел.

На рис. 127а и рис. 127б изображены графики геометрической прогрессии у = 2^х и где х N.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 17.8 (в; г) с комментированием на месте.

в)

г) q = 3,5.

2. Решить № 17.12 (в; б) на доске и в тетрадях.

в) q = b₃ : b₂ = b₁ = b₂ : q =

б) q = b₅ : b₄ = b₄ = b₁  q³, отсюда

b₁ = b₄ : q³ = 1 : = -8; b₁ = -8.

О т в е т: б) -8; -0,5; в) 3; 0,5.

3. Решить № 17.13 (б; г). Учащиеся решают самостоятельно на доске и в тетрадях. Учитель при необходимости помогает в решении.

б)

г)

О т в е т: б) г)

4. Решить № 17.15 (в; г). Решение объясняет учитель.

в) b_n = b₁  q^{n - 1}; тогда отсюда значит,

г) найдем q из равенства

умножим обе части на получим

2^{1 - n} = q^{n - 1}; отсюда

О т в е т: в) г)

5. Решить. Учитель помогает в решении, если учащиеся затрудняются решить самостоятельно.

a) А = -1250; найдем номер n: -1250 = отсюда

= 625 = 5⁴, значит, n = 8 N.

О т в е т: да.

в) отсюда

О т в е т: нет.

IV. Итог урока. Рефлексия. Продолжите слова:

сегодня я узнал… теперь я могу… я научился… было интересно…

меня удивило… я приобрел… мне захотелось…

Домашнее задание: изучить материал учебника на с. 156-161; решить № 17.8 (а; б); № 17.12 (а; г); 17.13 (а; в); № 17.15 (а; б).

Содержание.

Геометрическая прогрессия

У р о к 2

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.

II. Актуализация знаний обучающихся.

1. Проверочная работа для подготовленных обучающихся.

Вариант I

(с_п) - геометрическая прогрессия

-3; 12, …

а) Найдите q.

б) Найдите с_3.

в) Запишите формулу п-го члена.

г) Найдите с_6.

д) Объясните, является ли эта прогрессия возрастающей или убывающей.

Вариант II

(b_п) - геометрическая прогрессия

7, -14, …

а) Найдите q.

б) Найдите b_5.

в) Запишите формулу п-го члена.

г) Найдите b_8.

д) Объясните, является ли эта прогрессия возрастающей или убывающей.

2. Работа по вопросам для менее подготовленных обучающихся.

1) Определение геометрической прогрессии.

2) Как определить, глядя на числовую последовательность, является ли она геометрической прогрессией?

3) Какая геометрическая прогрессия называется возрастающей (убывающей)?

4) Выясните, является ли последовательность 1, 3, 9, 27, 81 - геометрической прогрессией.

5) Вычислите b₆, q.

6) Ответьте, чему равно q, если b₁ = 4; b₂ = 16.

II. Выполнение упражнений и решение задач.

1. Решить № 17.13 (в; г) с комментированием на месте.

в) b₁ = 2,5; q = -0,2; b_n = b₁q^{n - 1} = 2,5  (-0,2)^{n - 1};

г)

2. Решить № 17.14 (в; г).

в) 4; 1; … b₁ = 4; b₂ = 1; q = b₂ : b₁ = b_n = 4

г) ; 2; ; b₂ = 2; ; q = b₃ : b₂ = ;

3. Решить № 17.9 устно.

4. Решить № 17.10 (б; г) самостоятельно с проверкой.

б) b₁ = 270; ; b₅ = b₁  q⁴ = ;

г) b₁ = b₈ = b₁  q⁷ =

5. Решить № 17.21 (в; г). Решение объясняет учитель.

в) b_n = b₁  q^{n - 1}; по условию b_n = 4  10^-3, тогда

отсюда

(0,2)^{n - 1} = (0,2)⁴; n - 1 = 4; n = 5.

г) b_n = -2401;

(-7)^{n - 1} = (-7)⁷; n - 1 = 7; n = 8.

О т в е т: в) 5; г) 8.

6. Решить № 17.22 (в; г) на доске и в тетрадях.

Решение № 17.22 (в) объясняет учитель.

в) Найти b₁ и q.

Разделим почленно второе уравнение на первое уравнение, получим:

г) b₃ = 12; b₅ = 48 (q < 0). Найти b₁ и q.

По условию q < 0, значит, q = -2; b₁ = 12 : 4 = 3.

О т в е т: в) -0,5; 13; г) -2; 3.

7. Решить задачу № 17.42.

Дано: b₁ = 4; b₃ + b₅ = 80. Найти q и b₁₀ (q  1).

b₃ + b₅ = 80; b₁  q² + b₁  q⁴ = 80; b₁(q² + q⁴) = 80; 4  (q² + q⁴) = 80;

q² + q⁴ = 20; q⁴ + q² - 20 = 0; q² = y; y² + y - 20 = 0; y₁ = -5; y₂ = 4; то q² =

= -5 нет решений; q² = 4; q₁ = 2 и q₂ = -2 не удовлетворяет условию q > 1.

Если q = 2, то b₁₀ = b₁  q⁹ = 4  2⁹ = 4  512 = 2048.

О т в е т: q = 2; b₁₀ = 2048.

8. Решить № 17.44. Учитель помогает в решении задачи.

О т в е т: b₁ = 72; q =

9. Решить № 17.45 на доске и в тетрадях.

Делим второе уравнение на первое уравнение, получим

q³ = 8; q = 2.

b₁ = 14 : (1 + 2 + 2²) = 14 : 7 = 2; b₁ = 2; b₂ = 4; b₃ = 8; b₄ = 16; b₅ = 32; b₆ = 64.

О т в е т: 2; 4; 8; 16; 32; 64.

III. Итог урока. Оцените, на какую отметку вы сегодня работали на уроке.

Домашнее задание: на отдельных листочках выполнить номера с 4 по 7 из домашней контрольной работы, № 4 на с. 118-119 на два варианта, к ним еще решить по 2 вариантам № 17.14 (а; б), № 17.21 (а; б) и № 17.22 (а; б).

Содержание.

Геометрическая прогрессия

У р о к 3

Ход урока

I. I. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.

II. Актуализация знаний обучающихся.

Проверка домашнего задания.

1. Собрать листочки с домашней контрольной работой.

2. Сообщение учащимися исторического материала.

1) Доклад «О прогрессиях».

2) Пересказ древней индийской легенды об изобретателе шахмат.

II. Объяснение нового материала.

1. Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.

(I) при q ≠ 1; (II) при q ≠ 1.

2. Разобрать решение примера 8 на с. 162-164 учебника.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 17.25 (г) (объясняет решение учитель).

г) b₁ = 4; q = n = 4;

2. Самостоятельно решить № 17.25 (б).

3. Решить № 17.27 (в; г) на доске и в тетрадях.

в) b₁ = -4; q = n = 13;

г) b₁ = 4,5; n = 8;

4. Решить № 17.47 (в). Решение объясняет учитель.

в) n = 6. Найти сумму квадратов ее членов. Воспользуемся формулой на с. 165 учебника.

О т в е т: 364.

5. Решить № 17.28 (в; г) на доске и в тетрадях.

в) -3; … Найти S₅.

b₁ = -3; b₂ = n = 5.

г) … q = 3; n = 5, тогда

О т в е т: а) г)

6. Решить № 17.39 (г). Учитель объясняет решение.

г) b₁ = 3; Найти n.

отсюда n = 5.

О т в е т: 5.

7. Решить задачу № 17.50

Дана характеристическая прогрессия b₁; b₂; b₃; b₄; … b_{2n - 1}; b_2n. Обозначим S сумму членов прогрессии, находящихся на четных местах: S = b₂ + b₄ + … + b_2n.

Имеем S = b₁q + b₁q³ + … b₁q^{2n - 1} = b₁q(1 + q² + … + q^{2n - 2}).

Обозначим Р сумму членов прогрессии, находящихся на нечетных местах: Р = b₁ + b₃ + … + b_{2n - 1}.

Имеем Р = b₁ + b₁q² + … b₁q^{2n - 2} = b₁(1 + q² + … + q^{2n - 2}).

Разделив S на Р, получим q, что и требовалось доказать.

IV. Итог урока.

1. Запишите на доске формулу n-го члена геометрической прогрессии.

2. Запишите формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

Домашнее задание: изучить по учебнику материал на с. 167-176; решить № 17.26 (а; в); № 17.27 (а; б); № 17.28 (а; б); № 17.47 (а); № 17.39 (а).