Подготовка к олимпиадам Задачи на разрезание

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

г. НОЯБРЬСК

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 6»

муниципального образования город Ноябрьск

(МБОУ СОШ № 6)

«Задачи на разрезание»

Запивахина Светлана Владимировна

2016- 2017 уч. г.

Содержание:

1. Введение

2. Историческая справка

3. Игра «Пентамино»

4. Игра «Танграм»

5. Задача «Торт»

6. Задача №4- «Разрежь прямоугольник»

7. Задача №5 - «Разрежь два квадрата»

8. Задача №6- «Разрежь два квадрата-2»

9. Задача №7 - Крест

10. Задача №8 - Крест -2

11. Задача №9- Квадрат 8*8

12. Задача №10 Площадь параллелограмма

13. Задача №11 Площадь трапеции

14. Задача №12 Площадь треугольника

15. Заключение

16. Литература.

Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады - школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на разрезание. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на разрезание.

Актуальность

• Математики открывают новые связи между математическими объектами. В результате этой работы находятся общие методы для решения различных задач. И эти задачи получают стандартные методы решения, переходя из разряда творческих в разряд технических, то есть требующих для своего решения применения уже известных методов.

• Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Объект исследования: задачи на разрезание

Предмет исследования: многообразие задач на разрезание, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на разрезание.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

• подобрать необходимую литературу

• научиться разрезать геометрические фигуры на части, необходимые для составления той или иной другой геометрической фигуры, используя их свойства и признаки;

• научиться доказывать, что площади фигур равны, разрезая их на определенные части и доказывая, что эти фигуры равносоставленные;

• провести геометрическое исследование, конструирование в решении задач различных типов.

• отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

• проанализировать и систематизировать полученную информацию

• найти различные методы и приёмы решения задач на разрезание

• классифицировать исследуемые задачи

• найти способы перекраивания: треугольника в равносоставленный параллелограмм; параллелограмма в равносоставленный треугольник; трапеции в равносоставленный треугольник.

• Создать электронную презентацию работы

Гипотеза: возможно, многообразие задач на разрезание, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на разрезание, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.

При решении задач на разрезание нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

Историческая справка

Задачи на разрезание, как один из видов головоломок, привлекали к себе внимание с древнейших времен. Первый трактат, в котором рассматриваются задачи на разрезание, написал знаменитый арабский астроном и математик из Хорасана Абу аль - Вефа ( 940 - 998 н.э. ). В начале XX века благодаря бурному росту периодических изданий решение задач на разрезание фигур на то или иное число частей и последующее составление из них новой фигуры привлекает внимание как средство развлечения широких слоев общества. Теперь и геометры всерьёз занялись этими задачами, тем более, что в их основе лежит старинная задача о равновеликих и равносоставленных фигурах, которая исходит еще от античных геометрах. Известными специалистами в этом разделе геометрии были знаменитые классики занимательной геометрии и составители головоломок Генри Э. Дьюдени и Гарри Линдгрен.

Энциклопедией решения различных задач на разрезание является книга Гарри Линдгрена «Геометрия разрезаний». В этой книге можно найти рекорды по разрезанию многоугольников на заданные фигуры

Рассматривая решения задач на разрезание понимаешь, что универсального алгоритма или метода не существует. Иногда начинающий геометр в своем решении может значительно превзойти более опытного человека. Это простота и доступность является основой популярности игр основанных на решении таких задач, например- ( Слайд 6) пентамино «родственницы» тетриса, танграмма.

Игра «Пентамино» Правила игры

Суть игры заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. Игра заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.

Игра «Танграмм»

В игре «Танграмм», из семи базовых элементов можно сложить значительное множество фигур. Все собираемые фигуры должны иметь равную площадь, т.к. собираются из одинаковых элементов. Отсюда следует что:

1. В каждую собираемую фигуру должны войти непременно все семь элементов.

2. При составлении фигуры элементы не должны налегать друг на друга, т.е. располагаться только в одной плоскости.

3. Элементы фигур должны примыкать один к другому.

Задания

В игре Танграмм можно выделить 3 основные категории заданий:

1. Поиск одного или нескольких способов построения данной фигуры или изящного доказательства невозможности построения фигуры.

2. Нахождение способа, позволяющего с наибольшей выразительностью или юмором (или тем и другим вмести) изобразить силуэты животных, людей и другие узнаваемые предметы.

3. Решение различных задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением фигур из 7 танов.

Задача Торт

Торт, украшенный розочками, тремя прямолинейными разрезами разделили на куски так, что на каждом куске оказалось, ровно по одной розочке. Какое наибольшее число розочек могло быть на торте?

Комментарий. В основе решения задачи лежит применение аксиомы: «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости». Следует изобразить всевозможные случаи расположения трех прямых. Из рисунка становится, что наибольшее число частей - 7 - получается, когда прямые пересекаются попарно. Следовательно, на торте могло быть не более 7 розочек.

Задача 4

Разрежьте прямоугольник, ax2a на такие части,что из них можно было составить равновеликий ему:

1) прямоугольный треугольник;

2) квадрат.

Решение задачи понятно из рисунков 2 и 3.

Задача 5

Разрежьте два квадрата 1х1 и 3х3 на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

Комментарий. Эта задача - на перекраивание фигуры, состоящий из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат. Площадь нового квадрата равна 3²+1², значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна , т. е. является гипотенузой прямоугольника с катетами 3 и 1. Построение такого квадрата понятно из рисунка 4

Задача 6

Разрежьте два произвольных квадрата на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

Решение задачи понятно из рисунка 5. Площадь нового квадрата равна a² + b², значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна

т. е. является гипотенузой прямоугольно- го треугольника с катетами a и b.

Задача 7

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрежьте его на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.

Решение задачи понятно из рисунка 6.

Задача 8

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Как шестью такими крестами оклеить поверхность луба, каждая грань которого равновелика кресту.

Комментарий. Крест накладывается на грань (рис. 7), обрезать и переклеивать «торчащие уши» не надо - они переходят на соседнюю грань и оказываются в нужных местах. Завернув «торчащие уши» на соседние грани, можно таким образом заклеить поверхность куба шестью крестами (рис.8).

Задача 9

Квадрат 8х8 разрезан на четыре части, как показано на рисунке 9. Из полученных частей составлен прямоугольник 13х5 . Площадь прямоугольника равна 65, а площадь квадрата - 64. Объясните, где ошибка?

Комментарий. Как следует из рисунка 10, квадрат разрезан на две трапеции (белая и синея) и два прямоугольных треугольника (белый и серый). Рассмотрим на рисунке 10 большой белый прямоугольный треугольник и найдем значение тангенса угла: tg a =5/13=0,385. Теперь рассмотрим маленький белый треугольник на рисунке 10 и найдем значение тангенса угла: tg a =3/8=0,375. Значение тангенсов угла не совпадают. Это означает, что гипотенуза маленького белого прямоугольного треугольника и боковая сторона белой трапеции не лежит на одной прямой, а являются звеньями ломаной. Аналогично доказывается, что гипотенуза маленького голубого прямоугольника и боковая сторона голубой трапеции не лежит на одной прямой. Следовательно, площадь прямоугольника равна сумме площадей фигуры, составленной из частей квадрата и черной «щели».

Задача 10

Теорема Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Перекроим параллелограмм в прямоугольник. Для этого разрежем его по высоте BH , и треугольник ABH приложим справа как показано на рисунке. Получим прямоугольник HBCH1 , равносоставленный с параллелограммом ABCD. Но равносоставленные фигуры являются равновеликими, т. е. SHBCH1=SABCD .

Задача11

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Перекроим трапецию в треугольник. Для этого разрежем её по отрезку BM, где M- середина стороны CD.Треугольник BCM приложим к отрезку MD как показан на рисунке. Получим треугольник ABN равносоставленный с трапецией ABCD, а следовательно и равновеликий , т. е. SABN=SABCD

SABN=1/2 AN x BH, (1)

Но AN =AD + DN, а DN = BC.

Откуда AN=AD + BC.

Подставим в (1), получим SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доказана.

Задача 12 (Слайд18)

Теорема Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Перекроим треугольник в параллелограмм. Для этого проведём среднюю линию MN и разрежем треугольник ABC на две части. Треугольник MNC приложим к отрезку BM как показано на рисунке. Получим параллелограмм ABDN, равносоставленный с треугольника ABC, а следовательно и равновеликий. Тогда SABDN=SABC

SABDH=AN x BH. Но AH=1/2 AC, т. к. N-середина AC.

Следовательно SABC=1/2 AC x BH. Теорема доказана.

Заключение:

Любители головоломок и увлекаются решением задач на разрезание, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи-Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно).

Рассмотренные нами задания имеют различный уровень трудности - от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Литература:

1. Дик В. Знаменитая китайская головоломка. //Квант, №5,1989. Обложка.

2. Энциклопедический словарь юного математика. С. 111.

3. Гершензон М.А. Головоломки профессора Головоломки: Сборник затей. Фокусов, с3. Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 - 8 классы. Метод. пособие. - М.: Глобус, 2010.

4. Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа: www.math.ru/lib/files/pdf/kukin.pdf

5. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. - М.: Наука, 1982.

6. Кенгуру - 2016. Задачи, решения, итоги. Режим доступа: russian-kenguru.ru/load</</p>