Конспект урока по математике на тему 'Арифметическая и геометрическая прогрессии' (9 класс)

ГАОУ АО СПО «Черноярский губернский колледж»

Открытый урок с использованием современных технологий

Учитель математики

Полякова Т.А.

Урок игра «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

9 класс

Учитель: Т.А.Полякова

Цели урока: повторение и систематизация знаний изученного;

продолжить формировать практические навыки;

Развитие интереса к математике через решение старинных задач; учить видеть связь между математикой и окружающей жизнью.

Оборудование: плакат к игре «Прогрессио - движение вперед», мультимедийный проектор. Ребята разбиты на 3 группы. За столом трое мудрецов.

Учитель.

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучены космос и моря,

Строенье звезд и вся Земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

«Прогрессио - движение вперед»

Учитель. Сегодня у нас необычный урок, а соревнования. Вы разделены на 3 команды. У нас пройдет несколько туров. Судить наши соревнования будут судья, которые сами себя представят.

За столом сидят: Архимед, Гаусс, Магницкий.

Архимед. Кто формулу суммы квадратов нашел?

И верной дорогой к прогрессу пришел?

Математик и физик. Я - Архимед.

О жизни моей ходит много легенд.

Гаусс. О! Я - Карл Гаусс! Нашел моментальную сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы.

Магницкий. Имею честь, представится. Я Леонтий Филиппович Магницкий - создатель первого учебника «Арифметика».

Учитель. Скажите, ребята, почему эти ученые вдруг собрались вместе за одним столом? Какой вопрос математики их объединяет?

Давайте посмотрим на сценку.

Сценка:

/В классе появляется индусский царь с двумя слугами./

Царь: Я, индусский царь Шерам, научился играть в шахматы и восхищен остроумием этой игры и разнообразием в ней положений. Позовите изобретателя Сету!

Сета: (входит) Слушаю, мой повелитель!

Царь: Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Назови награду, которая удовлетворит тебя, и ты ее получишь.

Сета: Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

Царь: Простое пшеничное зерно?

Сета: Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16 и так до 64-ой клетки.

Царь: (смеется) Ты удивил и рассмешил меня, Сета.

/Уходят. На обратной стороне доски запись: /

Архимед: О, мудрецы! Стоит ли царю смеяться? И так (открывает доску). За первую клетку царь должен отдать 1 зерно, за вторую - 2, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16 и так до 64-ой клетки. Что вы можете сказать об этих числах и сколько зерна должен отдать царь?

Ребята в группах обсуждают задачу. Один из учеников записывает решение на доске: Числа являются членами геометрической прогрессии.

b₁ = 1, q = 2, S₆₄ - ?

Учитель: А как велико это число?

Гаусс: Математика - это точная наука. Царь должен отдать

18 446 744 073 709 551 615 зерен.

18 квинтильонов

446 квадрильонов

744 триллиона

073 биллиона (миллиарда)

709 миллионов

551 тысячу

615

Архимед: Наимудрейшие! Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря и океаны, горы и пустыни, Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный результат, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться.

Учитель: спасибо, наимудрейшие. Так какой вопрос математики объединяет наших Мудрецов?

(Обращается к классу. Ребята дают ответ: «Прогрессия»)

Учитель. И так, тема урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Ученики класса работают в командах, а капитаны в конце урока назовут лучшего игрока команды. Игру капитанов оценит учитель.

Учитель. И так 1 тур. Разминка.

Гаусс: А сейчас под скрип пера о лист бумаги.

Заполните сии листы!

Да помогут вам наши начинанья! Раздаются заготовки листов для проверки знаний. Вся информация записывается по плану:

№

Прогрессии

Арифметическая

Геометрическая

1

Определение

a_n+1=a_n+d

b_n+1=b_ng (g0)

2

Формула n первых членов

a_n=a₁+d(n-1)

b_n=b₁g^n-1

3

Сумма n первых членов прогрессии

S_n =

S_n = ∙n

S_n =

S_n =

4

Свойства

a_n=

=∙

Ребята заполняют таблицы 3-4 минуты. Жюри проверяет.

В это время ребята отвечают устно. Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Какое число называют разностью арифметической прогрессии? Какая последовательность чисел называется геометрическая прогрессия? Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Учитель. А теперь устно.

1. Является ли последовательность арифметической прогрессией?

(а_п): 1;1;2;3;…….

(b_n): 2004; 2008;2012;2016;…..

(c_n): 4;9;16;25;……….

(d_n): 16;13;10;7;……..

(e_n): 32;16;8;4;….

2. Известно, что а₁=1; d=1.

Задайте эту последовательность.

3. Последовательность (а_п) - арифметическая прогрессия, в которой а₁=4; d=2. Найдите 50-й член прогрессии.

Учитель. А теперь послушаем из истории пргрессий.

2 тур. Из истории прогрессий.

Арифметические прогрессии в древности.

Архимед.

В клинописных табличках вавилонян в египетских пирамидах (II в. до н.э.), встречаются примеры арифметических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса:

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом меры»

Вот формула, которой пользовались египтяне:

a = - (n - 1 )∙ ( s= ∙n).

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхата (v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202 г. ( Леонардо Пизанский).

Слово жюри.

Учитель. Итак, мы вспомнили основные определения и формулы, а теперь посмотрим, как вы их применяете к решению задач. Переходим к основному этапу.

3 тур. «Прогрессии в жизни и быту».

Решите задачи. Слайд.

Наши гости принесли задачи.

Магнитский. Эта задача из старинного учебника арифметики Магнитского.

Покупка лошади.

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего

копейки, за второй - копейки, за третий - 1 копейку и т.д.»

Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца.

На сколько покупатель проторговался?

Решение:

b₁= , b₂= , b₃=1.

Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит нужно найти S₂₄. g= = =2, S=0,25(2²⁴ - 1)= 0,25(102410244 - 1)=4194303,75=42000 рублей.

41943,03 -156 =41787 рублей.

Вывод:

При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

Гаусс. Молодцы, ребята. Справились с задачей. А теперь решите мою.

Эта задача из старинного русского учебника математики, носящего странное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795)

Вознаграждение воина.

Служившему воину, дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью -4 копейки и т.д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 36 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение:

b₁=1, b₂=2, b₃=4

S_n=655,36. g = =2, S_n = 2ⁿ - 1=65535, 2ⁿ =65536, n=16

Вывод:

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых.

Архимед. И с этой задачей вы справились! А теперь решите мою.

Выгодная сделка.

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает».

«Сделаем,- говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно сказать - всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч - 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки.

Решение:

Богач-миллионер заплатил незнакомцу:

S₃₀ = 2³⁰ - 1 =10737418,23 =11 миллионов рублей.

Незнакомец заплатил богачу: 30∙100 тыс =3000 тыс. = 3000000 рублей.

Убыток 11000000 - 3000000=8000000 рублей.

Вывод:

Оказывается и не смешно. Недаром народная мудрость гласит: «Уговор дороже денег».

Учитель. Подошел к концу и этот тур. Слово жюри.

4 тур. Блиц - турнир.

Каждая команда в течение 4 минут должна ответить «кто быстрее».За каждый верный ответ - 1 балл. В случае, если команда не знает ответа или не хочет терять времени, команда говорит «Дальше».

Вопросы командам:

1. - арифметическая прогрессия, a₁=4, d=3. Назовите a₃.

2. Чему равна сумма первых трех членов арифметической прогрессии , если а₁ = 7, а₂ = 15 ?

3. Если в арифметической прогрессии : a₁ = 2, d = 5, то чему равен двадцать первый её член?

Итог урока:

Учитель. Математика математикой, а в жизни с растущими геометрическими прогрессиями надо обращаться осторожно. Если в геометрической прогрессии растет стадо - скоро ему не хватит пастбища. Если число распадов (в куче) плутония - дело идет к атомному взрыву. А если доходы фирмы , не связывайтесь с этими «благодетелями»!

Слово жюри: подсчитываются баллы каждой команды.

А теперь капитаны назовут лучшего игрока команды.

Все сегодня молодцы! Спасибо за урок.

Команде победителю присваивается звание «Знатоки прогрессий».

Домашнее задание.

«Прогрессио - движение вперед», девиз урока в 9 классе «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Урок повторения и систематизации знаний изученного. С учащимися продолжается работа по формированию практических навыков. Одна из целей урока развитие интереса к математике через решение старинных задач и связь с окружающей жизнью. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др..

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны еще китайским и индийским ученым.

Эти знания применяются и в современном мире. Математика математикой, а в жизни с растущими геометрическими прогрессиями надо обращаться осторожно. Если в геометрической прогрессии растет стадо - скоро ему не хватит пастбища. Если число распадов (в куче) плутония - дело идет к атомному взрыву. А если доходы фирмы , не связывайтесь с этими «благодетелями»!