- Учителю
- Научно-исследовательская работа 'Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни'
Научно-исследовательская работа 'Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни'
Муниципальное бюджетное образовате6льное учреждение Ширинская средняя общеобразовательная школа №18
Секция математики, информатики и физики
Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни
Шенкнехт Альбина
Ученица 9 б класса
Мункина А.Г.
Учитель математики
Шира
2013
Оглавление
-
Введение…………………………………………………………….…..3
-
Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий………………………………………………………………4
-
История возникновения арифметической и геометрической прогрессий…………………………………………………….….5
-
Арифметическая и геометрическая прогрессии…………...….7
-
Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни…………………………………………………………………...10
-
-
Арифметические и геометрические прогрессии в повседневной жизни……………………………………………10
-
-
Заключение………………………………………………………….....13
-
Библиографический список..………………………………………....14
-
Приложение
Введение
Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.
Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку.
В 9 классе мы начинаем изучать числовые последовательности. Изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии.
Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика - наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.
Объектом исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии.
Предмет исследования: практическое применение прогрессий.
Гипотеза исследования: если математика - наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, то и прогрессии имеют определенное практическое значение.
Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Задачи исследования:
-
Выяснить:
-
-
-
когда и в связи, с какими потребностями человека появилось
-
-
понятие последовательности, в частности - прогрессии;
-
-
-
какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и
-
-
практических знаний по изучаемой проблеме;
-
-
-
теоретические основы геометрической и арифметической
-
-
прогрессий.
-
Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.
Методы исследования:
-
анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета;
-
обобщение найденных фактов в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках.
В данной работе, мы отразим применение прогрессий в повседневной
жизни, и покажем, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.
Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий
-
-
История возникновения арифметической и геометрической прогрессий
-
Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Так еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ получения n-го члена последовательности простых чисел. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».
Идея предела последовательности восходит к V-IV вв. до н. э. Прогрессии - частные виды числовых последовательностей - встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э. [1].
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Например, вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия: « 10 братьев, мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом - на сколько он выше?»
При решении вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придержаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная от мины, или мины. [1].
А вот, например, задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры» [1].
Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах».
В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли, и т.д.
Таким образом, первые задачи дошедшие да нас на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д.
Однако, слово «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») в первые встречается у римского автора Боэция (V-VI в.). Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В конце средних веков и в начале нового времени это термин перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, ДЖ. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта (V в.) знал формулы общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользуется формулой суммы квадратов натуральных чисел
и другими более сложными конечными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202 г.) Леонардо Пизанского (Фибоначчи). В «Науке о числах» (1484 г.) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII в.[1]
В настоящее время прогрессии рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей.
-
2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
В толковом словаре понятия арифметической и геометрической прогрессии даются следующим образом:
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления или вычитания некоего постоянного числа.
Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем умножения или деления на некое постоянное число [4].
В школьном курсе «Алгебра» 9 класс по редакцией А.Г. Мордкович, понятия геометрической и арифметической прогрессии дается следующим образом:
Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической. При этом число d называют разностью прогрессий.
Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если .
Формула n-члена арифметической прогрессии.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего - в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого выполняется равенство
то - арифметическая прогрессия.
Теорема: Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего - в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего - в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.
Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого выполняется равенство
то - геометрическая прогрессия.
Теорема: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего - в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.
[2].
Таким образом, в первой главе нами было выяснено, когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; рассмотрены теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.
Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни
-
-
Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни
-
Первые задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и геометрической прогрессии используются при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более подробно:
-
Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении температуры от +20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз;
-
Физика: нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2 нейтрона. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё на 4 части и т.д. - это геометрическая прогрессия;
-
Литература: даже в литературе мы встречаемся с математикой. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина».
…Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить…
Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,
4, 6, 8… . Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…» (А.С.Пушкин)
Прогрессия 2, 4, 6, 8…
«Так бей, не знай отдохновенья,
Пусть жила жизни глубока:
Алмаз горит издалека -
Дроби, мой гневный ямб, каменья!» (И. Блок)
Прогрессия 2,4,6, 8, 10,12…
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…
«Я пропАл , как звЕрь в загОне…» (Б.Л.Пастернак)
Прогрессия 1, 3, 5, 7…
Листья падают в саду…
В этот старый сад, бывало,
Ранним утром я уйду
И блуждаю, где попало. (И.Бунин) [10].
-
Биология: в микробиологии также работают законы математики. Так, микроорганизмы размножаются делением пополам. При наличии благоприятных условий и через одинаковый промежуток времени их количество удваивается, например: летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?
Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)
-
Экономика: прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты - увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты - увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии.
Например, нужно рассчитать доход, который клиент получит после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку по вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 6 месяцев. Банк платит клиенту за пользование его средствами ставку в размере 6% годовых. Схема расчета такова: , тогда получаем (Приложение 1, Таблица 1).
Налицо геометрическая прогрессия: 103037.75 рублей, где 100 000 - первоначальная сумма депозита, а 1,005 - знаменатель прогрессии (Приложение 1, Диаграмма 1)
-
Медицина: по такой же схеме идёт распространение инфекционной болезни среди людей. Схематически это может выглядеть так: инфицированный человек (источник инфекции) передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n - ое число людей, т.е. возникает инфекция.
Или можно рассмотреть в качестве примера прием таблеток - 2 таблетки 3-4 раза в день, т.е. часы приема: 8 часов, 11 часов, 14 часов, 17 часов. На лицо арифметическая прогрессия: .
Таким образом, нами были рассмотрены примеры применения прогрессий в нашей жизни и мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия, так же можно сделать вывод, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.
Заключение
Целью данного исследования было установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Мы в соответствии поставленным задачам выявили: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.
Установили, какое прикладное значение имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, нашли и показали примеры применения прогрессий в нашей жизни.
В ходе исследования мы использовали следующие методы: анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета и обобщили найденные факты в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках по применению прогрессий.
Таким образом, мы подтвердили поставленную гипотезу о том, что математика - наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, значит и прогрессии имеют определенное практическое значение.
Библиографический список
-
Глейзер Г.И. История математики в школе VII - VIII кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1982. - 240 с.
-
Мордкович А.Г.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений. - 9-е изд., стер. - М.:Мнемозина, 2007. - 231 с.
-
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.
-
Современный толковый словарь русского языка / Гл. ред. С.А. Кузнецов. - СПб.: «Норинт», 2005. - 960 с.
-
Сонин
-
Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.
-
- статья о прогрессиях
-
- литературный словарь
-
- Размеры стихосложения.
Приложение
Сумма вклада
Доход за год
Открытие вклада
100000
0
Через 1месяц
100000
500
Через 2месяц
100500
502,5
Через 3месяц
101002,5
505,01
Через 4месяц
101507,5
507,54
Через 5месяц
102015,1
510,08
Через 6месяц
102525,1
512,63
Таблица 1.
Диаграмма 1.