Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике, по теме «Решение неравенств функционально-графическим способом»

Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ

по математике, по теме

«Решение неравенств функционально-графическим способом»

Учитель математики Хусаинова Диляра Дамировна.

1. Примерное планирование учебного времени. Всего 11 часов.

№

Количество часов

Содержание

1

1

Использование области определения функции.

2

1

Использование непрерывности функции. Обобщение метода интервалов.

3

1

Использование монотонности функций.

4

1

Использование ограниченности функций. Метод оценки. Неотрицательность функций.

5

1

Применение свойств модуля.

6

1

Применение классических неравенств.

7

2

Метод рационализации.

8

1

Графический метод.

9

2

Итоговая проверочная работа.

2. План-конспект урока.

Тема: Рационализация неравенств.

Цель урока: устранить трудности, связанные с непосредственным применением метода интервалов к трансцендентным неравенствам.

Раздаточный материал: таблица №1, ряд следствий.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G(x) ˅ 0 равносильно неравенству F(x) ˅ 0 на области определения выражения F(x).

Таблица №1. Замена некоторых типовых выражений:

№

Выражение F(x)

Выражение G(x)

1

1a

1b

− 1

(a

(a

(a

2

2a

2b

(h

(h

(h

3

(g ≠1,f ≠ 1)

(f−1)(g−1)(h

4

4a

(h>0)

(h − 1)(f − g)

(h − 1)f

5

−(f>0, g>0)

(f - g)h

6

(f − g)( f+ g)

Рассмотренный метод рационализации обобщается на произведение и частное любого числа типовых выражений.

Перечислим ряд следствий (с учетом области определения неравенства):

• · ˅ 0 (h−1)(f−1)(p−1)(g−1)˅0

• ˅ 0 (fg)

• ˅ 0 f - g ˅ 0

• (a - 1)(

В указанных равносильных переходах символ « ˅ » заменяет один из знаков неравенств:

≥ ; ≤ ; .

Докажем справедливость замен, представленных в таблице №1.

Доказательство:

1.Пусть
> 0, т.е. , причем а, а1, f > 0, g >0. (1)

Если 0 < a <1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств откуда следует неравенство

(a, верное на области определения выражения F =

Если a > 1,то f > g.Следовательно, имеет место неравенство (a.

Обратно, если выполняется неравенство (a на области (1), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств:

Из каждой системы следует неравенство , т.е. > 0. Аналогично рассматриваются неравенства вида F< 0, F≤ 0, F≥ 0.

2.Пусть некоторое число a > 0, a ≠ 1, тогда имеем
= =. Знак последнего совпадает со знаком выражения или (h.

3.Т.к. − = =

= ,то используя замены 2a, 2b, получаем , что знак последнего совпадает со знаком выражения (f−1)(g−1)(h.

4.Из неравенства > 0 следует, что Пусть число a > 1, тогда

или (f−g). Отсюда с учетом замены 1b и условия a >1 получаем: (f -g)(a−1)(h−1) >0, (f−g)(h−1) >0.

5.Доказательство аналогично доказательству 4.

6.Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств

и

Выполнить упражнения: в соответствии с методом рационализации замените неравенство на равносильное ему неравенство на области допустимых значений переменной.

а) ,

b) ,

c)

d) < 0.

Решить неравенство: 1) ≤ .

Решение:

Область допустимых значений неравенства задается системой:

Или

≤ ,

Далее используем метод рационализации:

(x+7

(x + 6)(x +3) (x −4) ≤ 0.
− + − +

//////////////////-6 -3 //////////////////////4 x

( − ∞; −6]∪[−3 ;4] . Учитывая О.Д.З.:

//////////////////////////// /////////////////////////////////////

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ x

-7 -6 -3 0 1 4

Ответ: (−7 ; −6)∪[.

2)

Решение. Область допустимых значений неравенства задается условиями:

///////////////// //////////////// /////////////////////// ////////////////////////////// x

−1 0 1

О.Д.З. (−∞ ; − 1)∪( −.

Далее используем метод рационализации:

(1−x +3x + 1 ,

−x( +3x + 1− 1 +2x -x²) ≥ 0,

x( x² +5x) ≤ 0,

x²( x + 5) ≤ 0.

• + +

////////////// x

−5 0

Учитывая О.Д.З. x ϵ (−∞ ; −5]

Ответ: (−∞ ; −5].

3) .

Решение. Область допустимых значений неравенства задается условиями:

x ϵ (−2; 1)∪(1 ; 2).

Далее используем метод рационализации:

(2 - x − 1)(x+2 −1)(x +3 −1)(3 - x −1) ≤ 0,

(1 - x)(x +1)(x + 2)(2 -x) ≤ 0.

+ − + − +

///////////////////// /////////////////////// x

−2 −1 1 2

Учитывая О.Д.З.:

х ϵ (− 2; −1] ∪ (1; 2).

Ответ: (− 2; −1] ∪ (1; 2).

Задания для самостоятельного решения:

а) ≥ ; Ответ: ; )

б) Ответ: (0 ; 0,5) ∪( 2; 3)

в) ; Ответ: (

г) Ответ: ( ]

д) ; Ответ: ( ; 5 ]

Проверочная работа.

1. ( −∞ ; 1) ∪ (2 ; 4 ]

2. > ( 0; 1)

3. (2 ; 5)

4. ≤ 0 (+1; 1 + ]

5. |x³+ 2x² + 8x - 7 | ≤ x³ + 4x² - 8x + 7 [- 3; 1] ∪ [7 ; +∞)

6. < (0; 2).