Исследовательская работа по теме 'Биссектриса угла треугольника', 9 класс

Министерство образования и науки Республики Татарстан

Управление образования исполнительного комитета

Бугульминского муниципального района Республики Татарстан

г. Бугульма

МБОУ СОШ №1 с углубленным изучением отдельных предметов

Класс: 9 А

Научно-исследовательская работа

Тема: Биссектриса угла треугольника

Учащийся: Александров А.А

Руководитель: Чуканова И.И.

Бугульма, 2012

Содержание.

1.Введение…………………………………………………………………………3

2.Основная часть:

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника……………...4

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника………………………………………………………………………..

2.21. Метод подобия……………………………………………………………

2.22. Метод площадей…………………………………………………………5

2.23. Описанная окружность …………………………………………………..

2.24 Теорема синусов. ………………………………………………………...6

2.25.Векторный метод…………………………………………………………7

2.26. Доказательство с применением осевой симметрии……………………

2.3. Решение задач на применение……………………………………………..8

2.31. Решение задач из учебника……………………………………………....

2.32. Решение олимпиадных задач…………………………………………….

2.33. Авторская задача…………………………………………………………9

3.Заключение………………………………………………………………...........10

4.Используемая литература…………………………………………………….11

1.Введение.

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал её богатства. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтёсывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Люди натягивали свои луки, изготавливали разные предметы с прямыми рёбрам и постепенно дошли до отвлечённого понятия прямой линии.

Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлечённых понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Геометрия стала наукой лишь после появления в ней теорем и доказательств.

К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о биссектрисе угла треугольника.

Теорема о биссектрисе треугольника часто используется при решении геометрических задач. Теорема интересна тем, что существует много методов ее доказательства (метод подобия, метод площадей, метод движений и т.д.). В данной работе предлагаются только 4 способа доказательства этой замечательной теоремы.

Цель и задачи исследования:

1. Изучить доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника.

2. Научиться работать с чертежами.

3. Решать задачи на применение теоремы.

4. Составлять и решать задачи практического содержания.

1. Основная часть.

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника.

Теорема: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит

противоположную сторону на части, пропорциональные

прилежащим сторонам треугольника.

Если BD - биссектриса ∆ ABC, то выполняется равенство.

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе

угла треугольника.

2.21. Метод подобия

Проведем прямую m параллельную биссектрисе BD.

1. ABD = DBC (т.к. BD - биссектриса).

2. DBC = BCD₁ (т.к. m ǁ BD и BC - секущая).

3. BD₁C = ABD (т.к. m ǁ BD и BD₁ - секущая).

4. BCD₁ = BD₁C.

Значит ∆BCD₁ - равнобедренный => BC=BD₁.

∆ABD ∆ AD₁C (по двум углам).

Следовательно:

.

Что и требовалось доказать.

2.22. Метод площадей.

Рассмотрим ∆ABD и ∆CBD.

S_{∆ ABD} : S_∆CBD = AD : DС ( так как h - общая высота).

BD - биссектриса ∆ ABC. Каждая точка биссектрисы BD равноудалена от

сторон ∆ABC. Значит DH = DM - высоты ∆ABD и ∆CBD.

S_{∆ ABD} : S_∆CBD = AB : BC.

Итак: AB : BC = AD : DС => AB : AD = BC : DС.

Что и требовалось доказать.

2.23.Описанная окружность.

Опишем вокруг ∆ ABC окружность. Продолжим BD до пересечения с

окружностью в точке Е.

∆BAE∆ BDC (по двум углам). Значит: (1).

∆BCE∆ BAD (по двум углам). Значит: (2).

Так как ∆ ACE - равнобедренный , то AE = CE. Тогда AB ∙ DC = BC ∙ AD =>

.

Что и требовалось доказать.

2.24. По теореме синусов.

В треугольнике ABC ABD =  DBC = β (т.к. BD - биссектриса ∆ ABC).

Рассмотрим ∆ ABD. По теореме синусов: (1).

Рассмотрим ∆ BCD. По теореме синусов:

(2).

Следовательно:.

Что и требовалось доказать.

2.25.Векторный метод.

Для любой точки Д отрезка АС вектор ,

где k = и 1- k = .

Действительно,

В нашем случае вектор параллелен вектору ∙+ ∙,

и поэтому = : , тогда = , откуда = .

Что и требовалось доказать.

2.26.Осевая симметрия.

Выполним осевую симметрию S треугольника ABC относительно BD,

получим S_BD (A) = A_{1 ,} S_BD (C) = C₁ и S_BD (B) = B.

Тогда ∆ CDC₁ ∆ ADA₁ (по двум углам) и ∆ СС₁B ∆ AA₁B (по двум углам).

AB = A₁B (т.к. ∆ ABA₁ - равнобедренный).

Тогда и . Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

2.3 Решение задач на применение.

2.31.Задача из учебника.

Медиана и высота делят треугольник на три равные части. Найдите углы треугольника.

∆ ACH=∆ MCH по катету и острому углу.

Поэтому ∆ ACМ - равнобедренный, АН=НМ. Пусть АН = НМ = а, МВ = 2а.

По свойству биссектрисы СМ ∆ HВС имеем: . Тогда СВ=2СН ,

ÐСВН=30⁰, ÐВСН= 60⁰, β=30⁰, ÐС=90⁰

Ответ: 30⁰, 60⁰, 90⁰.

2.32.Олимпиадная задача.

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N - прямая перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что BC = 6.

Решение:

В равнобедренном треугольнике BMN точка O является точкой пересечения высот. Поэтому BP - биссектриса треугольника BMN и треугольника ABC. По теореме о биссектрисе треугольника AB: BC = AP: PC, поэтому

AB = .

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника:

. Следовательно: BP = 5.

Ответ: BP = 5.

2.32.Авторская задача.

Дано:

ВС=6см, ВК=4см, ВК- биссектриса ∆ АВС.

КС=3см, R ∆ BKC =1см. S ∆ ABC=60см².

Найти: АВ.

Решение:

1. S∆ BKC = . Следовательно: S ∆ BKC =18см².

2. S ∆ АВК = S∆ АВС -S ∆ ВКС . Следовательно: S∆ АВК = 42см².

3.Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как

основания: = .

4. По теореме о биссектрисе треугольника: АК: КС=АВ: ВС.

Тогда 21: 9 = АВ: 4, отсюда: АВ=14см.

Ответ: АВ= 14 см.

3.Заключение.

• Подводя итог работе, хотелось бы сказать, что биссектриса очень важный элемент в геометрии. Она обладает огромным количеством свойств и эти свойства помогают при решении различных геометрических задач.

• Теорема о биссектрисе угла - одно из основных свойств биссектрисы. С помощью неё я смог доказывать другие теоремы.

• В этой работе, приведя различные способы эта доказательства, я показал насколько универсальна теорема.

• Она проста в понимании, но в то же время помогает мне при решении очень сложных и запутанных задач.

• Изучив эту теорему, я открыл много нового для себя, расширил свои знания и думаю, что проложил дорогу к дальнейшему изучению геометрии.

4.Используемая литература.

• Приложение к журналу КВАНТ №1/1995.

Статьи: Л.Н.Смоляков. Еще 13 доказательств теоремы о

биссектрисе.//Квант, №2,1985.

С.Р.Сефибеков. Четыре доказательства теоремы о

биссектрисе.//Квант, № 8, 1983.

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И.

Юдина. Учебник для общеобразовательных учреждений.

Просвещение, 2003 год.

• И.Ф.Шарыгин . Геометрия 7-9 классы. Москва, Издательский дом

«Дрофа», 1997.

• Единая коллекция ЦОР.

• Г.К.Пак. «Биссектриса». Серия: Готовимся к математической

олимпиаде. Владивосток, 2003.