Учителю
Формирование умения различать типы задач на дроби у учащихся 5 классов через работу над текстом задачи.

Формирование умения различать типы задач на дроби у учащихся 5 классов через работу над текстом задачи.

Автор публикации: Богатырева И.Г.

Дата публикации: 16.08.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей города Кирово - Чепецка Кировской области»

Формирование умения различать типы задач на дроби у учащихся 5 классов через работу над текстом задачи.

Номинация «Описание инновационной деятельности

по актуальным проблемам образования»

Автор опыта

учитель математики

первой категории

Богатырева Ирина Геннадьевна

г. Кирово - Чепецк

2015

Описание опыта

Обоснование актуальности опыта. Умение решать задачи на дроби - одно из базовых умений школьного курса математики. Задачи на дроби и проценты присутствуют в первой части ОГЭ, ЕГЭ. Ошибки учащихся при решении этих задач часто связаны не с незнанием алгоритма решения, а с неумением определить тип задачи.

Цель работы: создать условия для формирования умения различать типы задач на дроби у учащихся 5 классов через работу над текстом задачи.

Задачи работы:

Формировать умения: внимательно читать условие задачи, выделять что дано и что надо найти, по смыслу задачи понимать какое число является целой величиной, а какое значением дроби, составлять схему по условию задачи;

Новизна опыта

Новизна опыта заключается в системном использовании приемов работы с текстом задачи, обеспечивающих формирование умения определять тип задач на дроби. Эта работа проводится перед тем как изучаются алгоритмы решения задач на дроби. Сначала учащиеся учатся различать три типа задач на дроби, а затем учатся решать каждый тип задач по своему алгоритму.

Реализация происходит через использование УМК Математика 5 класс, Математика 6 класс, авторы Дорофеев Д.В., Петерсон Л.Г.,

Практическая значимость

Описание опыта

Умение решать задачи на дроби - одно из предметных УУД, которым должны овладеть учащиеся 5 класса. Требования к математической подготовке учащихся 5-6-х классов общеобразовательных учреждений предполагают, что в результате изучения курса математики учащиеся должны "решать основные задачи на дроби", уметь находить часть числа и числа по его части, "с пониманием смысла дроби связаны три основные задачи на дроби, осознанного решения которых важно добиться от учащихся".

Существуют три типа задач на дроби и каждый тип задач, решается по определенному алгоритму. В задачах на дроби речь идет о некоторой величине а, принятой за единицу ("целое"), и некоторой ее части в, выраженной дробью :

Тип задачи определяется тем, что неизвестно - а, в или . Соответственно, выделяются три типа задач на дроби:

1. Задачи на нахождение части от числа, выраженной дробью:

1 - а

- ?

Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на ее числитель:

b = a : n • m

2. Задачи на нахождение числа по его части, выраженной дробью:

1 - ?

- в

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на числитель дроби и умножить на ее знаменатель:

a = в : т • п

3. Задачи на нахождение дроби, которую одно число составляет от другого.

1 - а

? - в

Чтобы найти дробь, которую одно число составляет от другого, можно первое число разделить на второе:

= а: в

При изучении темы важно научить учащихся понимать, что принимается за единицу (целое) в каждой конкретной задаче, на сколько долей она разбивается, каково значение одной доли, сколько долей берут, каково значение всех взятых долей, каковы правила нахождения дроби от числа, числа по дроби и дроби, которую одно число составляет от другого.

Перед тем, как научить пользоваться алгоритмами решения задач на дроби каждого вида, я провожу работу с учащимися по распознаванию типа задачи на дроби. При чтении текста задачи выделяем условие (что дано) и вопрос (что надо найти). Учимся отвечать на вопрос: «Что известно часть или целое?». Для этого строим схему по условию задачи: целая величина - это единица, часть от целого - это дробь. Эта работа помогает учащимся определить тип задачи на дроби и в дальнейшем выбрать правильный алгоритм решения задачи на дроби.

№1. Саша гулял 40 мин. Из них 5/8 всего времени он играл в футбол. Сколько времени играл Саша в футбол?

Ответить на вопросы:

40 минут это все время прогулки или часть прогулки?
Что надо принять за единицу?
Составьте схему по условию задачи.
Что надо найти, чтобы ответить на вопрос задачи?
К какому типу задач на дроби относится эта задача?

№2. Турист прошел 18 км, что составляет 3/4 его маршрута.

Сколько всего километров должен пройти турист?

Ответить на вопросы:

18 км это весь путь или часть пути?
Что надо принять за единицу?
Составьте схему по условию задачи.
Что надо найти, чтобы ответить на вопрос задачи?
К какому типу задач на дроби относится эта задача?

№3. Урок длится 45 мин. На решение уравнения ушло 10 мин.

Какая часть урока была занята решением уравнения?

Ответить на вопросы:

45 мин. Это весь урок или часть урока?
Что надо принять за единицу?
Составьте схему по условию задачи.
Что надо найти, чтобы ответить на вопрос задачи?
К какому типу задач на дроби относится эта задача?

При закреплении умения определять тип задачи на дроби, использую парную и групповую формы работы. Предлагаю учащимся (паре или группе) карточку с текстами задач на дроби. Требуется распределить эти задачи по трем группам (найти часть от целого, найти целое по значению дроби, найти дробь).

задача

найти часть от целого

найти целое по значению дроби

найти дробь

Купили кусок ткани длиной 2 м 50 см и из куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье?

Сколько молока в бидоне, если этого молока составляет 13 л?

В январе 31 день, а в году 365 дней. Какую часть года составляет январь?

На путь от дома до школы Оля тратит 18 минут. Сколько минут займет всего пути?

В магазине за один день было продано 16 кг сахара и 56 кг муки. Остальных сыпучих продуктов было продано части от массы муки и сахара. Сколько в магазине было продано других сыпучих продуктов?

В своей работе применяю приемы технологии развития критического мышления

Приём «Согласен - Не согласен»

Универсальный прием, способствующий актуализации знаний учащихся и активизации мыслительной деятельности. Данный прием дает возможность быстро включить детей в мыслительную деятельность и логично перейти к изучению темы урока.
Формирует:

умение оценивать ситуацию или факты;
умение анализировать информацию;
умение отражать свое мнение.

Детям предлагается выразить свое отношение к ряду утверждений по правилу: согласен - «+», не согласен - «-».

Например:

На ветке сидели 12 птиц; две трети их числа улетели. Сколько птиц улетело?

Утверждения:

Не известно сколько всего было птиц
12 птиц надо принять за единицу
Неизвестно сколько птиц соответствует 2/3
Тип задачи: «Нахождение части от числа»

Приём "Игровая цель"

Универсальный приём-игра, направленный на активизацию мыслительной деятельности учащихся на уроке. Позволяет включить в игровую оболочку большое число однообразных примеров или заданий.

Формирует:

учебные умения;
умение работать в команде;
умение слушать и слышать друг друга.

Предлагается в игровой форме команде или группе учащихся выполнить ряд однотипных заданий на скорость и правильность.

Например:

Каждой группе учащихся предлагается карточка с однотипными задачами, требуется быстро и правильно заполнить карточку, проверить решение по образцу (приложение 1- 3)

Карточка 1

№

Текст задачи

Краткая запись

Схема

Решение

От дыни массой 2 кг 400 г Ване отрезали дыни, а Маше - дыни. Чему равна масса каждого отрезанного куска? Сколько граммов дыни осталось?

Петя готовил уроки 1 ч 40 мин. На математику он потратил этого времени, а на историю - оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько по истории?

На базу в Антарктиду доставили 22 собаки. Из всех собак составили упряжку, на которой отправились в поход. Сколько собак не вошло в упряжку?

Карточка 2

№

Текст задачи

Краткая запись

Схема

Решение

Сколько молока в бидоне, если этого молока составляет 13 л?

Дорога от Фабричного до Кратова равна 5 км, что составляет дороги от Фабричного до Ильинского. Найдите расстояние от Фабричного до Ильинского.

Человек прошел дороги. Какова длина всей дороги, если он прошел 4 км?

Велосипедист проехал дороги. Какова длина дороги, если он проехал 40 км?

Миша исписал 10 страниц тетради, что составляет всей тетради. Сколько страниц в тетради?

Карточка 3

№

Текст задачи

Краткая запись

Схема

Решение

Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км. Лена прошла по этой дороге

3 км. Какую часть дороги она прошла?

В январе 31 день, а в году 365 дней. Какую часть года составляет январь?

В январе 1995 года с 1 января по 10 января были зимние каникулы. 15, 22 и 29 января были воскресными днями, а остальные - учебными. Какую часть января составили свободные от учебы дни?

Какую часть составили учебные дни?

Площадь поля 16 км². Пшеницей засеяли 11 км², а рожью - 5 км². Какая часть поля засеяна пшеницей и какая рожью?

Приём "Лови ошибку"

Универсальный приём, активизирующий внимание учащихся.

Формирует:

умение анализировать информацию;
умение применять знания в нестандартной ситуации;
умение критически оценивать полученную информацию.

Учитель предлагает учащимся информацию, содержащую неизвестное количество ошибок. Учащиеся ищут ошибку группой или индивидуально, спорят, совещаются. Придя к определенному мнению, группа выбирает спикера. Спикер передает результаты учителю или оглашает задание и результат его решения перед всем классом. Чтобы обсуждение не затянулось, заранее определите на него время.

Например: найдите и исправьте ошибки.

Велосипедисты за два дня проехали 48км. В первый день они проехали две трети всего пути. Сколько км они проехали во второй день?

Решение: 48: 2*3= 72 км.

В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы?

Решение: 1) 4+3=7(цв.) - всего

2) 7:3=7/3(часть) - составляют белые

Мальчик прочитал 30 страниц, что составило всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

Решение: 30:5*2=12 страниц

Результативность опыта

В процессе применения опыта (2014-2015уч.г.) отслеживался уровень усвоения учащимися темы «Задачи на дроби». Была составлена работа, содержащая задачи на дроби всех трех типов. В некоторых задачах можно было догадаться по числовым данным на какое число надо делить, а на какое умножать. В других задачах такой подсказки не было. Приложение 6.

Работу выполняли учащиеся 5А,5В классов. Всего 50 учащихся.

Количество учащихся

Верно выполнили задачу №1(нашли дробь от числа)

Верно выполнили задачу №2(нашли все число по значению дроби)

Верно выполнили задачу №3(нашли дробь)

Верно выполнили задачу №4(нашли дробь от числа, известное число было кратным как числителю, так и знаменателю дроби)

Полученные результаты показывают, что учащиеся 5 классов ориентируются на числовые данные в задачах на дроби, не анализируют условие задачи, чтобы правильно определить тип задачи, и уже после этого подобрать алгоритм решения.

После проделанной работы учащимся вновь была предложена работа, содержащая задачи на дроби всех трех типов. Работа была проведена в форме математического диктанта. Задание - составить буквенное выражение. Проверялось умение определить тип задачи на дроби и записать алгоритм решения. Приложение 7. Работу выполняли учащиеся 5А,5В классов. Всего 49 учащихся.

Количество учащихся

Верно выполнили задачу №1(нашли дробь от числа)

Верно выполнили задачу №2(нашли все число по значению дроби)

Верно выполнили задачу №3(нашли дробь)

Верно выполнили задачу №4 (задача на проценты)

Верно выполнили задачу №5 (задача на проценты)

Полученные результаты показывают, что учащиеся 5 классов умеют определять типы задач на дроби, работают над текстом задачи.

Цель работы достигнута.

Приложение 1

Задачи на нахождение части от числа, выраженной дробью

№

Текст задачи

Краткая запись

Схема

Решение

250см -1

?см -(от 250см)

250:5·1=50(см)

Ответ: 50см

2400г - 1

?г -(от 2400г)

?г - (от 2400г)

ост.-?г

2400:5·1=480(г)

2400:6·1=400(г)

3) 2400--(480+400)= =1520(г)

Ответ: 480г, 400г, 1520г

120мин-1

?мин-(от120мин)

ост.- ?мин

?мин - (от ост.)

120:5·1=24(мин)

120-24=96(мин)

96:4·1=24(мин)

Ответ: 24 мин, 24 мин

22с. - 1

?с. - (от22с.)

ост. -?с.

1) 22:11·5=10 (с.)

2) 22-10=12 (с.)

Ответ: 12 собак

Приложение 2

Задачи на нахождение части от числа, выраженной дробью

№

Текст задачи

Краткая запись

Схема

Решение

Сколько молока в бидоне, если этого молока составляет 13 л?

13 л -

? л - 1(все молоко)

13:1·5=65(л)

Ответ: 65 л

5 км -

? км - 1(расстояние от Ф.до И.)

5:5·8=8(км)

Ответ: 8 км

Человек прошел дороги. Какова длина всей дороги, если он прошел 4 км?

4 км -

? км - 1(вся дорога)

4:2·3=6(км)

Ответ: 6 км

Велосипедист проехал дороги. Какова длина дороги, если он проехал 40 км?

40 км -

? км - 1(вся дорога)

40:2·9=180(км)

Ответ:180 км

Миша исписал 10 страниц тетради, что составляет всей тетради. Сколько страниц в тетради?

10 стр. -

? стр. - 1(вся тетрадь)

10:5·6=12 (стр.)

Ответ: 10 страниц

Приложение 3

Задачи на нахождение дроби, которую одно число составляет от другого

№

Текст задачи

Краткая запись

Схема

Решение

Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км. Лена прошла по этой дороге

3 км. Какую часть дороги она прошла?

8 км - 1

3 км - ? часть (от всей дороги)

3:8=(часть)

Ответ: часть от всей дороги

В январе 31 день, а в году 365 дней. Какую часть года составляет январь?

365 дней - 1

31 день (январь) - ? часть (от года)

31:365=(часть)

Ответ:январь - часть от года.

Какую часть составили учебные дни?

31 день - 1

13 дней (свободные) - ? часть (от января)

18 дней (учебные) - ? часть (от января)

13:31=(часть)

18:31=(часть)

Ответ: часть от января- свободные дни, часть - учебные.

Площадь поля 16 км². Пшеницей засеяли 11 км², а рожью - 5 км². Какая часть поля засеяна пшеницей и какая рожью?

16 км² - 1

11 км² - ? часть (от поля)

5 км² - ? часть (от поля)

1) 11:16=(часть) - пшеница

2) 5:16=(часть) - рожь

Ответ: и частей поля.

Приложение 4

Задачи на дроби с решениями

Задача 1

В книге 100 страниц. Саша прочитал всех страниц. Сколько страниц прочитал Саша.

Решение

1) 100 : 2 * 1 = 50.

Ответ: Саша прочитал 50 страниц.

Задача 2

Стеклянная бутылка с водой весит 550 грамм. Когда из бутылки вылили всей воды, ее масса составляла 300 грамм. Сколько грамм воды было в бутылке сначала? Сколько весит пустая бутылка?

Решение

1) 550 - 300 = 250 (г) воды вылили из бутылки;

всей воды это половина, следовательно масса всей воды равна:

2) 250 * 2 = 500 (г);

3) 550 - 500 = 50(г).

Ответ: сначала в бутылке было 500 грамм воды. Масса бутылки равна 50 грамм.

Задача 3

В кассе было 450 рублей. Сколько денег осталось в кассе, когда истратили всех денег?

Решение

1) 450 : 3 * 1 = 150 (рублей);

2) 450 - 150 = 300 (рублей).

Ответ: в кассе осталось 300 рублей.

Задача 4

В швейную мастерскую привезли 320 метров ленты. В тот же день израсходовали всей ленты. Сколько метров ленты осталось в мастерской?

Решение

1) 320 : 8 * 1 = 40 (м) ленты израсходовали в тот день;

2) 320 - 40 = 280 (м).

Ответ: в мастерской осталось 280 метров ленты.

Задача 5

Чтобы пройти до конца компьютерную игру Саша потратил всего 42 часа. Сколько часов в день играл Саша, если каждый день он проходил всей игры?

Решение

1) 42 : 14 * 1 = 3 (часа).

Ответ: каждый день Саша тратил на игру 3 часа.

Задача 6

На путь от дома до школы Оля тратит 18 минут. Сколько минут займет всего пути?

Решение

1) 18 : 3 * 2 = 6 * 2 = 12 (минут).

Ответ: пути у Оли занимают 12 минут.

Задача 7

Столяр должен изготовить 48 табуретов. Сколько всего дней понадобится столяру для выполнения работы, если за 1 день он выполнил ее часть?

Решение

1) 48 : 8 * 1 = 6 (дней).

Ответ: для выполнения работы столяру понадобится 6 дней.

Задача 8

Чтобы добраться из поселка в город на автомобиле понадобится 12 литров горючего. Сколько горючего понадобится для преодоления этого расстояния?

Решение

1) 12 : 6 * 5 = 2 * 5 = 10(л).

Ответ: понадобится 10 литров горючего.

Задача 9

Решение

1) 16 + 56 = 72 (кг) сахара и муки было продано;

2) 72 : 4 * 3 = 18 * 3 = 54(кг).

Ответ: в магазине было продано 54 кг других сыпучих продуктов.

Задача 10

Каменщик за 1 рабочий день может положить 150 кирпичей. Сколько кирпичей положит каменщик за рабочего дня?

Решение

1) 150 : 5 * 2 = 30 * 2 = 60 (кирпичей).

Ответ: за рабочего дня каменщик положит 60 кирпичей.

Задача 11

В беге на 100 метров спортсмен показал результат - 12 секунд. За сколько секунд пробежит спортсмен этого расстояния, если предположить, что он постоянно двигается с одинаковой скоростью? Сколько метров он пробежит за это время?

Решение

1) 12 : 4 * 1 = 3 (сек);

2) 100 : 4 * 1 = 25 (м).

Ответ: расстояния спортсмен пробежит за 3 секунды. За это время он пробежит 25 метров.

Задача 12

На выполнение домашнего задания Вите нужно 150 минут. всего времени Витя тратит на математику. Сколько минут остается у Вити для выполнения заданий по остальным предметам?

Решение

1) 150 : 3 * 1 = 50(мин) Витя тратит на математику;

2) 150 - 50 = 100 (мин)

Ответ: у Вити останется 100 минут.

Приложение 5

Практикум решения задач на дроби.

1.Сколько сантиметров содержится в половине, в четверти, в пятой части метра? Сколько минут содержится в половине, в трети, в четверти часа?

2.Работу выполнили за 4ч. Какую часть работы выполняли в каждый час?

3.Путник проходит в час одну пятую часть пути. За сколько часов он пройдет весь путь?

4.Из семи дней недели было 3 солнечных дня. Какую часть недели составляют солнечные дни?

5.В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы?

6.У Алеши 80 марок, у Бори на 20 марок больше, у Вовы - третья часть числа всех марок первых двух мальчиков. Сколько марок у Вовы?

7.Из 36 белых грибов половину нашел папа, третью часть остатка - мама, а остальные белые грибы нашел сын. Сколько белых грибов нашел сын?

8.Мальчик прочитал 30 страниц, что составило треть всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

9. На ветке сидели 12 птиц; две трети их числа улетели. Сколько птиц улетело?

10. Велосипедисты за два дня проехали 48км. В первый день они проехали две трети всего пути. Сколько км они проехали во второй день?

11. У Васи было 350 рублей. Он потратил 5/7 своих денег. Сколько денег у него осталось?

12. Старинная задача. Купивши комод за 36руб., я потом вынужден был продать его за 7/12 цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже?

13. Автотуристы за три дня проехали 360км; в первый день они проехали 2/5, а во второй день - 3/8 всего пути. Сколько км проехали в третий день?

14. В прошлом месяце цена товара составляла 90 рублей. Теперь она понизилась на 3/10 этой суммы. Какова теперь цена товара?

15. 120 рублей составляют 3/4 имеющейся суммы денег. Какова эта сумма?

16. Определите длину отрезка, 3/5 которого равны 15 сантиметрам.

17. Сыну 10 лет. Его возраст составляет 2/7 возраста отца. Сколько лет отцу?

18. Уменьшите 90 рублей на 1/10 этой суммы.

19. Увеличьте 80 рублей на 2/5 этой суммы.

20. Отец купил сыну костюм за 240 рублей, на что израсходовал 1/3 своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 рублей. Сколько стоили книги?

21. Сыну 8 лет, его возраст составляет 2/9 возраста отца. А возраст отца составляет 3/5 возраста дедушки. Сколько лет дедушке?

22. Половина учащихся класса участвовала в конкурсе чтецов, треть из них стала победителями. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5?

23. Литровая бутылка, наполненная растительным маслом, весит 950г. Когда из нее вылили половину масла, она стала весить 550г. Сколько весит масло? Сколько весит пустая бутылка?

24. В вазе лежало 5 яблок. Мальчик взял половину всех яблок и еще пол яблока. Сколько яблок взял мальчик?

25. В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и еще пол карандаша. Остальные 4 карандаша взял брат. Сколько карандашей было в коробке первоначально?

26. Из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого. Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 48000 рублей и завещал жене 1/8 всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников?

27. Мама дала своим детям конфеты: дочери половину всех конфет и еще одну конфету, сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям?

28. Старинная задача. Отец дает деньги своим детям. Старшему - половину всего и 1 рубль, среднему - половину остатка и еще 1 рубль, младшему - половину остатка и еще 3 рубля. И таким образом всю сумму раздал. Сколько было денег?

29. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая половину остатка и еще пол-яйца, а третья - последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

30. Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 г. до н.э.). Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?» Пастух отвечает: «Я привожу две трети от трети скота». Сочти! Сколько быков в стаде?

Приложение 6

Диагностическая работа №1

Вариант 1

Вариант 2

В школе 1600 учащихся, всех учеников учится в начальных классах. Сколько учащихся в начальных классах?"

В кувшин помещается 750 г воды. Его заполнили на . Сколько воды можно еще добавить в кувшин?

От поселка до почты 8 км, что составляет расстояния от поселка до станции. Чему равно расстояние от поселка до станции?

За 6 ч поезд прошел всего расстояния. За какое время он пройдет все расстояние, если будет двигаться с той же скоростью?

Для школьного завтрака привезли 150 л сока, причем 75 л - это томатный сок. Какую часть привезенного сока составляет томатный?

У пристани находится 10 двухместных лодок и 30 одноместных. Какую часть всех лодок составляют двухместные лодки?

У мальчика было 280 рублей. На покупку книги он потратил 5/7 денег. Сколько денег у него осталось?

В банку помещается 600 г черники. Наташа набрала банки. Сколько граммов ягод набрала Наташа?

Приложение 7

Составь выражение

В тетради а страниц. Записи занимают числа всех страниц. Сколько в тетради страниц с записями?
Папа собрал d грибов, что составило числа грибов собранных сыном. Сколько грибов собрал сын?
В саду с деревьев. 5 из них груши. Какую часть всех деревьев составляют груши?
Книга стоила k рублей. Ее цена возросла на 10%. Какова новая цена книги?
В драмкружке b девочек, что составляет 75% числа мальчиков. Сколько всего учащихся в кружке?

Информационные источники

Жохов В.И. Разработки уроков, нормативные и контрольно-методические материалы: Математика, 5-6: Книга для учителя. - Москва: ИЛНКСА, 2007.
Шевкин А. В. Материалы курса "Текстовые задачи в школьном курсе математики": Лекции 1-4, 5-8. - Москва: Педагогический университет "Первое сентября", 2006.
Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1, 2. - Москва: Издательство "Ювента". 2005.
Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 2. - Москва: Издательство "Ювента". 2006.
Программы для общеобразовательных учреждений. Математика/ Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк, - Москва, 2000.
Смирнова Е.С. Самостоятельные и контрольные работы по метематике. 5 класс. - 2-е изд., испр. И доп. - М.: УЦ «Перспектива». 2004. - 160 с.

⇧

⇩