Конспект для 10 класса на тему Призма. Площадь поверхности призмы

Призма. Площадь поверхности призмы

Класс: 10

Цель урока:

образовательная: познакомить учащихся с понятием призмы и видами призм, понятием площади полной и боковой поверхностей призмы, с доказательством теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы, научить применять формулы для вычисления площадей при решении задач;

развивающая: развивать вычислительные навыки, логическое и пространственное мышление, речь учащихся;

воспитательная: воспитывать интерес к предмету, аккуратность при выполнении чертежей.

Форма урока: урок-лекция.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Метод обучения: дедуктивно-репродуктивный метод.

Требования к ЗУН: учащиеся должны знать понятие призмы и виды призм, понятие площади полной и боковой поверхностей призмы, формулировку и доказательство теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы, уметь применять формулы для вычисления площадей при решении задач по данной теме.

Оборудование: ПК, экран, проектор, мультимедиа презентация, бланки с лекциями.

Литература:

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 11-е изд. - М.: Просвещение, 2002 г.

2. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. - 2-е изд. - М. Просвещение, 2003. - 222 с.: ил. - ISBN 5-09-011836-1.

3. Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. - 416 с..

План урока:

I. Орг. момент (2 мин)

II. Актуализация знаний. (5 мин.)

III. Изучение нового материала (20 мин)

1. Формирование понятия призмы.

2. Виды призм: прямая, наклонная правильная.

3. Формирование понятия площадей полной и боковой поверхностей призмы.

4. Доказательство теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы.

IV. Первичное закрепление материала. (13 мин)

V. Подведение итогов (5 мин)

VI. Домашнее задание. (1 мин)

Ход урока:

I. Орг. момент

Приветствие учеников, проверка готовности учащихся к уроку, проверка отсутствующих.

Учитель: (слайд 1) Мы с вами приступили к изучению новой большой главы: «Многогранники». Тема нашего сегодняшнего урока: «Призма». Мы поговорим о видах призм, познакомимся с понятием площади поверхности призмы, с теоремой о площади боковой поверхности прямой призмы и затем рассмотрим задачи.

II. Актуализация знаний.

Учитель: (слайд 2) Призма является многогранником. С какими многогранниками мы уже знакомы?

Ученик: Параллелепипед, тетраэдр.

Учитель:

- Что называется многогранником? Какая поверхность называется параллелепипедом? Тетраэдром?

- Что называют гранями многогранника? Вершинами? Ребрами? Диагональю?

- Какой многогранник называется выпуклым? (ответы детей, демонстрация слайда)

III. Изучение нового материала

Учитель раздает учащимся бланки с лекцией.

Учитель: Перейдем к изучению нового материала. Возьмите бланки с лекциями и запишите число и тему урока «Призма. Площадь поверхности призмы».

Запись на доске и в бланках.

Число

Классная работа

ТЕМА УРОКА: Призма. Площадь поверхности призмы

1. Формирование понятия призмы

Учитель: Призма тоже многогранник. Значит, в первую очередь, что мы будем понимать под призмой?

Ученик: Это поверхность, составленная из многоугольников.

Учитель: Какие элементы можно выделить у призмы?

Ученик: Основания, боковые грани, вершины, ребра.

Учитель: Теперь нам нужно разобраться, из каких именно многоугольников составлена поверхность и сколько их. У призмы 2 основания, основаниями являются два равных многоугольника, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани, боковые, - параллелограммы. Их столько, сколько и углов у многоугольника в основании.

Учитель: Итак, как мы можем сформулировать определение призмы?

Ученик: Призмой называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и параллелограммов

Учитель: Запишите в бланки это определение призмы.

Запись в бланках:

Призмой называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников,

лежащих в параллельных плоскостях, и параллелограммов_

Учитель: (слайд 3) Рассмотрим два равных многоугольника А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n, расположенных в параллельных плоскостях α и β так, что отрезки А₁В₁, А₂В₂…А_nB_n, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны. Каждый из n четырехугольников А₁А₂В₂В₁, А₁А₂В₂В₁,…А_nА₁В₁В_n является параллелограммом.

Учитель: Перед нами многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁А₂…А_n и B₁B₂…B_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n. Что мы получили?

Ученик: Призму.

Учитель: (слайд 3) Правильно. Многоугольники А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n называются основаниями, а А₁А₂В₂В₁, А₁А₂В₂В₁,…А_nА₁В₁В_n - боковыми гранями призмы, а отрезки А₁В₁, А₂В₂…А_nB_n - ее боковыми ребрами.

Учитель: Подумайте и скажите, как можно обозначить пирамиду?

Ученик: А₁А₂…А_nВ₁В₂В_n.

Учитель: Верно. Призму с основаниями А₁А₂…А_n и B₁B₂…B_n обозначают А₁А₂…А_nВ₁В₂В_n и называют n-угольной призмой.

Учитель: Теперь сделайте соответствующие записи в ваших бланках.

Запись в бланках:

Учитель: (слайд 4) Запишем определение высоты призмы

Запись в бланках:

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется _высотой_ призмы

2. Виды призм: прямая, наклонная правильная

Учитель: (слайд 5) Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае - наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Запишем это.

Запись в бланках:

Призма называется _прямой_, если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, в противном случае призма называется _наклонной_. Высота прямой призмы равна ее _боковому ребру .

Учитель: (слайд 6) Рассмотрим примеры призм.

Учитель: Название призмы зависит от того, какие многоугольники лежат в её основаниях: треугольники - треугольная призма, пятиугольники - пятиугольная и т.д. Четырёхугольная призма является параллелепипедом.

Учитель: (слайд 7) А какая призма будет называться правильной?

Ученик: Если ее основания - правильные многоугольники.

Учитель: Правильно. Но изначально эта призма ещё должна быть прямой. У такой призмы все боковые грани являются равными прямоугольниками. Запишите это в свои бланки.

Запись в бланках:

Прямая призма называется _правильной_, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - _равные прямоугольники_.

3. Формирование понятия площадей полной и боковой поверхностей призмы.

Учитель: Подумайте и ответьте на вопрос: из чего состоит площадь полной поверхности призмы?

Ученик: Площадь полной поверхности призмы состоит из площадей оснований и площади боковой поверхности.

У

S_полн = S_бок + 2S_оснчитель: (слайд 8) Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь полной поверхности выражается через площадь боковой поверхности и площадь основания призмы формулой: Запишем это.

Запись в бланках:

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней.

S_полн = S_бок + 2S_осн - площадь полной поверхности призмы

4. Доказательство теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы.

Учитель: (слайд 9) Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Учитель: Формулировка теоремы звучит так: «Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы». Это выражается формулой: S_бок = Ph. Сделайте записи в бланках.

Запись в бланках:

ТЕОРЕМА: _Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра

основания на высоту призмы.____________________________________________

S_бок = Ph - площадь боковой поверхности прямой призмы

Учитель: Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников. По-другому, чему равна?

Ученик: Равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, то есть его периметр Р. Итак, S_бок=Ph.

4. Первичное закрепление материала.

Учитель: (Слайд 10) Среди изображенных тел выберите те, которые являются призмами, ответ обоснуйте.

Учитель: (Слайд 11) Перейдем к решению задач.

№ 222. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Учитель: Сделаем рисунок и запишем, что нам дано и, что нужно найти.

Ученик: Нам дано: АВСDA₁В₁C₁D₁ - прямая призма, ABCD - равнобедренная трапеция, АВ = 25, СD = 9, DH = 8. Нужно найти А₁В₁C₁ и В₁C₁В₁ (АВC и ВCD)_.

Запись на доске (учителем) и в бланках (учениками):

Дано: АВСDA₁В₁C₁D₁ - прямая призма, ABCD -трапеция, AD = BC, АВ = 25, СD = 9, DH = 8.

Найти: А₁В₁C₁ и В₁C₁D₁ (АВC и ВCD).

Решение.

Учитель: Что мы можем найти из условия задачи?

Ученик: Так как трапеция правильная, то А = В и C = D (А_{1 =} В_1, C₁ = D₁).

Учитель: Как мы можем найти эти углы?

Ученик: Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с высотами DH и CF.

Учитель: HF = 9см, AH = FB = (25 - 9) : 2 = 8.

Запись на доске (учителем) и в бланках (учениками).

Учитель: Можно заметить, что ∆ADH = ∆CBF - прямоугольные и равнобедренные, следовательно DAB = ABC = 45° и значит D = C = 45° + 90° = 135°.

Запись на доске (учителем) и в бланках (учениками)

Учитель: Таким образом, ABC и А₁В₁C₁ - линейные углы двугранного угла передней и боковой граней, ABC = А₁В₁C₁ = 45°. BCD и В₁C₁D₁ - линейные углы двугранного угла задней и боковой граней, BCD = В₁C₁D₁ = 135°.

Запись задачи в бланках:

1) Т.к трапеция правильная, то А = В и C = D (А_{1 =} В_1, C₁ = D₁).

2) Т.к ABCD - равноб., HF = 9см, DH = CF = 8см, = > AH = FB = (25 - 9) : 2 = 8 см.

3) ∆ADH = ∆CBF - прямоуг. и равноб. = > DAB = ABC = 45° и значит D = C = 45° + 90° = 135°.

4) Т.о, ABC и А₁В₁C₁ - лин.углы, ABC = А₁В₁C₁ = 45°. BCD и В₁C₁D₁ - лин.углы, BCD = В₁C₁D₁ = 135°.

Ответ: 45°, 135°.

(Слайд 12) Учитель: Следующий № 221

№ 221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Учитель: Сделаем рисунок и запишем, что нам дано и, что нужно найти.

Ученик: Нам дана правильная треугольная призма АВСA₁В₁C₁ со стороной основания равной 8см и боковым ребром равным 6см. Найти площадь сечения..

Запись на доске (учителем) и в бланках (учениками)

Дано: АВСA₁В₁C₁ - правильная призма, AВ = BC = АС = 8см, СC₁ = 6см.

Найти: S A₁ВC₁.

Решение.

Учитель: Так как АВСA₁В₁C₁ - правильная призма, то боковые грани - равные прямоугольники, ∆A₁ВC₁ - равнобедренный. Что мы можем узнать, исходя из данных?

Ученик: Так как нам известна сторона основания и боковое ребро, то мы можем найти A₁В = ВC₁

Учитель: A₁В = ВC_1, ВC₁ = √СВ² + СС₁², ВC₁ = √8²+6² = 10см

Запись на доске (учителем) и в бланках (учениками).

Учитель: Проведём высоту ВН, получим, что A₁Н =НC₁ = 4см. Как мы найдем ВН?

Ученик: По формуле Пифагора.

Учитель: ВН = √100 - 16 = 2√21см

Запись на доске (учителем) и в бланках (учениками):

Учитель: Итак, можем мы ответить на вопрос задачи?

Ученик: Можем, все данные для вычисления площади нам известны.

Учитель: S A₁ВC₁ = ½ * 8 * 2√21 = 8√21 (см²)

Запись на доске (учителем) и в бланках (учениками):

Запись задачи в бланках:

1) Т.к АВСA₁В₁C₁ - правильная, то боковые грани - равн. прямоуг., ∆A₁ВC₁ - равноб. = > A₁В = ВC_1, ВC₁ = √СВ² + СС₁², ВC₁ = √8²+6² = 10(см)

2) ВН┴ A₁C₁, A₁Н =НC₁ = 4см, значит ВН = √100 - 16 = 2√21(см) (По ф-ле Пифагора)

3) S A₁ВC₁ = ½ * 8 * 2√21 = 8√21 (см²)°.

Ответ: 8√21 (см²).

4. Подведение итогов

Вопросы учащимся:

- Что такое призма? Какие бывают призмы? На какие виды делятся?

- От чего зависит правильная призма или наклонная, прямая или нет?

- Сформулируйте теорему о площади боковой поверхности прямой призмы и назовите формулу, которой она выражается.

Оценка работы учащихся на уроке, выставление отметок.

4. Домашнее задание.

Учитель: запишите в дневники домашнее задание

§1, п.25, 27; №№ 223, 229.