Правила по геометрии на тему Алгебра пәнінен дидактикалық материалдар

№1 ЕГІНДІКӨЛ ОРТА МЕКТЕБІ

Пән мұғалімі: Кубжетерова А.А.

Егіндікөл ауданы

Г. Кызылорда

Аннотация

алгебра пәнінен деңгейлік дидактикалық материалдарға (карточкалар)

Бұл дидактикалық материалдар оқушылардың алған білімдерін бекітуге және оны жеке меңгеруге мүмкіндік береді.

Карточкалардағы берілген тапсырмалар бірнеше нұсқаларда беріліп, тақырыптарға бөлінген.

Карточкалардағы тапсырмалар деңгей бойынша берілген. Үшбұрыш қойылған тапсырма орындалса, «3» бағасы қойылады, егер оқушы үшбұрыш және квадрат қойылған тапсырмаларды орындаса, «4» бағасын алады, ал егерде үшбұрыш, квадрат және жұлдызша қойылған тапсырмаларды орындаса , онда «5» бағасын алады.

Осы берілген карточкалар арқылы, оқушының тақрыптар бойынша алған білімдерін қаншалықты қай деңгейде меңгергендерін білуге болады.

Дидактикалық карточкалардың мақсаты:

1. Оқушылардың жеке жұмыс істеулері.

2. Оқушылардың озін-өзі бағалау дамуы

3. Өзінің деңгей тапсырмасын таңдап білуінің дамуы

4. Нәтіжесін көтеруге талпынуының күшеюі

5. Сын тұрғысынан ойлауының дамуы

6. Карточкалардағы тапсырмаларды жеке орындауға тәрбиеленуі.

7. Бағала қорының көбеюі.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Журнал « 1 сентября - математика»

2. Оқулық « Алгебра - 8» - автор С.А. Теляковский.

3. Оқулық « Алгебра - 8» - автор Ю.Н. Макарычев, Н.г. Миндюк, В.М. Монахов

4. Алгебра пәнінен дидактикалық материалдар, В.И. Жохов, Ю.Н.Макарычев.

5. Оқулық « Алгебра - 8» автор Н.Я.Виленкин

Алгебра пәнінен дидактикалық карточкалардың

КАТАЛОГы

1. Қайталау

2. Квадрат түбірлер.

3. Квадрат теңдеу.

4. Квадрат тіңсіздік.

4. Теңдеулер жүйесі.

• Геометрия грек тілінен аударғанда «жер өлшеу» деген мағынаны білдіреді. Геометрия екі бөлімнен тұрады. Планиметрия және стереметрия. Планиметрия жазықтықтағы фигураларды, ал стереометрия кеңістіктегі геометриялық фигураларды қарастырады. Планиметрия курсының ең негізгі элементтері болып нүкте мен түзу, кесінді болып табылады.

• Нүкте координатасымен анықталады және оның ұзындығы болмайды, яғни 0-ге тең.

• Түзу -2 екі жағынан да шектелмеген нүктелер жиыны. Ұзындығы - шексіз.

• Кесінді - екі жағынан да шектелген түзудің бөлігі, ұзындығы әрқашан айқындалады.

• Түзу дегеніміз нүктелер жиынтығы болып табылады.

• Түзудің бойында жататын және жатпайтын нүктелер болады.

• Нүктелер латын алфавитінің бас әріптерімен, ал түзулер кіші әріптерімен белгіленеді.

• Кез-келген екі нүкте арқылы тек қана бір түзу жүргізуге болады.

• Екі түзудің ортақ нүктесі бар болса, онда мұндай түзулер қиылысады.

• Егер екі түзу өзара қиылыспайтын болса, онда мұндай түзулерді параллель түзулер деп атаймыз.

• Бір нүктеден шыққан екі сәуленің қиылысуынан пайда болған геометриялық фигура бұрыш деп аталады.

• Бұрыш теріс және оң бағытта болуы мүмкін.

Бұрыштардың түрлері:

• Доғал бұрыш:

• Сүйір бұрыш:

• Тік бұрыш:

• Жазыңқы бұрыш:

• Бір қабырғасы ортақ, ал қалған екі қабырғасы бір-бірінің толықтауышы болып кеелетін екі бұрыш сыбайлас бұрыштар деп аталады. Осы бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең болады.

• Екі түзу қиылысқанда пайда болған қарама-қарсы бұрыштар вертикаль бұрыштар деп аталады және олар өзара тең болады.

• Үшбұрыштың түрлері:

• Тең қабырғалы, тең бүйірлі, тік бұрышты, қабырғалары әртүрлі үшбұрыштар

• Үшбұрыштар теңдігінің негізгі қасиеті:

• Үшбұрыш қандай болса да, оған тең үшбұрышбар болады.

• Үшбұрыштар теңдігінің 1-ші белгісі.

Теорема1 /І белгі/

Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Теорема 2. ІІ-белгі.

Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

• Анықтама. Нүктеден түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығын нүктеден түзуге дейінгі қашықтық деп атайды.

• Үшбұрыштың биіктігі деп оның төбесіне қарсы жатқан қабырғасы арқылы өтетін түзуге түсірілген перпендиклярды атайды.

• Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген биссектриссасы деп осы төбесіндегі бұрыш биссектриссасының қарсы жатқан қабырғасымен шектелетін кесіндісін айтады.

• Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені қарсы жатқан қабырғасының ортасымен қосатын кесіндіні айтады.

• Екі қабырғасы тең үшбұрышты тең бүйірлі үшбұрыш деп атайды. Тең қабырғаларын үшбұрыштың бүйір қабырғалары деп, ал үшінші қабырғасын оның табаны деп атайды.

• Барлық қабырығалары тең үшбұрышты тең қабырғалы үшбұрыш деп атайды.

• Теорема, 3. Тең бүйірлі үшбұрыштың төбесінен табанына жүргізілген биссектриссасы оның әрі медианасы, әрі биіктігі болады.

• Екі қабырғасы тең үшбұрышты тең бүйірлі үшбұрыш деп атайды. Тең қабырғаларын үшбұрыштың бүйір қабырғалары деп, ал үшінші қабырғасын оның табаны деп атайды.

Барлық қабырығалары тең үшбұрышты тең қабырғалы үшбұрыш деп атайды.

Теорема,3.

• Үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы 180⁰-қа тең.

• Үшбұрыштың кез келген бұрышымен сыбайлас бұрыш үшбұрыштың сыртқы бұрышы деп атайды.

• Теорема: Үшбұрыштың сыртқы бұрышы өзімен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең.

• Салдар: Үшбұрыштың сыртқы бұрышы өзімен сыбайлас емес ішкі бұрыштардың әрқайсысынан үлкен.

Оқулықпен, тақтамен жұмыс.

• Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы сыртқы бұрыштың шамасы 112⁰. үшбұрыштың барлық бұрыштарын анықтаңыз. Жауабы:

• Үшбұрыштың бұрыштары 3:7:8 сандарына пропорционал. Үшбұрыштың ең үлкен бұрышын анықтаңыз. Жауабы: 80⁰

• Үшбұрыштың бұрыштары 7:5:6 сандарына пропорционал. Үшбұрыштың ең кіші бұрышын анықтаңыз. Жауабы: 50⁰

• Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы сыртқы бұрышының шамасы 140⁰. үшбұрыштың барлық бұрыштарын табыңыз. Жауабы: 40⁰, 40⁰, 100⁰

• Тең бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі сыртқы бұрышы 70⁰. үшбұрыштың барлық бұрыштарын табыңыз. Жауабы: 35⁰, 35⁰, 100⁰

• АВС үшбұрышында АС және ВС қабырғалары тең. В төбесіндегі сыртқы бұрыш 130⁰-қа тең. АВС үшбұрышының бұрыштарын табыңыз. Жауабы: 50⁰, 50⁰, 80⁰

• АВС үшбұрышында . С төбесіндегі сыртқы бұрышты табыңыз. Жауабы: 140⁰

• Үшбұрыштың әрбір төбесінде неше сыртқы бұрыш болады. Жауабы: 2

• Үшбұрыштың сыртқы екі бұрышы 100⁰-қа және 150⁰-қа тең. Үшінші сыртқы бұрышын табыңыз. Жауабы: 110⁰

• Үшбұрыштың сыртқы бұрышы 112⁰-қа тең. Осы бұрышпен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштарының бірі 37⁰. үшбұрыштардың ішкі бұрыштарын есептеңіз.

Жауабы: 68⁰, 37⁰, 75⁰

• Үшбұрыштардың бұрыштары мен қабырғаларының арасындағы байланыс туралы теорема

• Теорема,1. Үшбұрыштың үлкен қабырғасына үлкен бұрышы қарсы жатады және керісінше, үлкен қабырғасына үлкен бұрышы жатады.

Мысалдар.

• Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы катетінен үлкен болатынын көрсетейік.

• Тік бұрышты үшбұрыштарда гипотенуза катеттен үлкен болатынын көрсетіңдер?

• Үшбұрыштар теңсіздігі жөніндегі теореманы тұжырымдап, дәлелдеңдер.

• Үшбұрыш теңсіздігі.

• Теорема, 2

• Үшбұрыштың әрбір қабырғасы өзге екі қабырғаларының қосындысынан кіші болады.

• 

Мысал1.Қабырғалары2см, 3см және 5см

• 2,1 дм, 2дм, 4дм Болатын үшбұрыш табыла ма?

• Шешуі:

2<3+5 2,1< 2+4

3<2+5 2<2.1+4

5<2+3 орындалмайды. 4<2.1+2 орындалады.

• Үлкен бұрышқа қарсы ұзын қабырға жатады

• Қысқа қабырғаға қарсы кіші бұрыш жатады

• Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180⁰-қа тең.

• Тік бұрышты үшбұрыштардың теңдігінің белгілері.

• Егер үшбұрыштың бір бұрышы 90⁰-қа тең болса, онда мұндай үшбұрышты тік бұрышты үшбұрыш деп атаймыз.Тік бұрышқа а қарсы жатқан қабырға гипотенуза деп, ал қалған екі қабырға катеттер деп аталады. Тік бұрышты үшбұрыштардың бір ортақ элементі бар - ол тік бұрышы. Сондықтан тік бұрышты үшбұрыштар үшін теңдік белгілерін былай айтуға болады.

• І белгі:

Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың екі катеті екінші тік бұрышты үшбұрыштың екі катетіне тең болса, онда бұл тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.

• ІІ белгі:

Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың катеті мен оған іргелес сүйір бұрышы екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес катеті мен оған іргелес сүйір бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

• ІІІ белгі:

• Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес гипотенузасы мен сүйір бұрышына тең болса, онда бұл тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.

• IVбелгі:

• Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың катеті мен гипотенузасы екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес катеті мен гипотенузасына тең болса, онда бұл тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.

• Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.

• Алдыңғы тақырыбымызды жалғастыра отырып тағы бірнеше маңызды ұғымдар енгізейік. Егер АВСүшбұрышы тік бұрышты болса, онда ВС катеті мен АС түзуіне түсірілген перпендикляр болады.

АВ гипотенузасын В нүктесінен АС түзуіне жүргізілген көлбеу деп атайды. Ал АС катетін АВ көлбеуінің АС түзуіндегі проекциясы деп атайды. Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышы оның өзге бұрыштарынан үлкен болғандықтан, гипотенуза оның кез келген катетінен үлкен болады. Онда қандай да бір нүктеден түзуге түсірілген перпендикуляр осы нүктеден берілген түзуге түсірілген көлбеуден кіші болады. Көлбеудің проекциясы көлбеудің өзінен кіші.

В үктесінен АС түзуіне дейінгі қашықтық деп ВС перпендикулярының ұзындығын айтады.

Параллель түзулер

Егер екі түзу дің әрқайсысы үшінші бір түзуге параллель болса, онда бұл екі түзу өзара параллель болады.

Егер екі түзуді қиюшымен қиғанда пайда болған: 1) айқыш бұрыштар тең болса; 2) сәйкес бұрыштар тең болса; 3) ішкі тұстас бұрыштарының қосындысы 180⁰-қа тең болса, онда бұл екі түзу параллель болады.

Параллель түзулердің қасиеттері.

Теорема. Егер екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде айқыш бұрыштар тең болса, онда берілген екі түзу өзара параллель болады.

Теорема. Егер екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде сәйкес бұрыш тең болса, онда берілген екі түзу өзара параллель болады.Теорема. Егер екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰ -қа тең болса, онда берілген екі түзу өзара параллель болады.

Паралллель түзулердің арақашықтығы

• Параллель түзулердің біреуінің кез келген нүктесінен келесі түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы параллель түзулердің ара қашықтығы деп аталады.

• Шеңбер және оның элементтері

Шеңбер. Жазықтықтың берілген нүктеден бірдей ара қашықтықта орналасқан нүктелер жиыны шеңбер деп аталады. Берілген нүктені шеңбер центрі деп, ал шеңбердің кез-келген нүктесінен оның центріне дейінгі қашықтықты радиусы деп атайды. Шеңбердің екі нүктесін қосатын кесіндіні хорда деп, ал центр арқылы өтетін хорданы диаметр деп атайды.

• Әрбір диаметр екі радиустан құралады, сондықтан оның ұзындығы екі радиусқа тең. Төбесі шеңбердің О центрі, ал қабырғалары шеңбер радиустары болатын бұрыш центрлік бұрыш деп аталады.

• Шеңбер өзінде жатқан екі нүкте арқылы екі бөлікке бөлінеді. Бұл бөліктер шеңбер доғасы деп аталады. Шеңбер мен түзудің екі ортақ нүктесі, бір ортақ нүктесі немесе ортақ нүктелері мүлде болмауы мүмкін. Шеңбермен бір ғана ортақ нүктесі бар түзуді жанама деп, ал осы ортақ нүктені жанасу нүктесі деп атайды

• Шеңберге жүргізілген жанама.

• Шеңбер мен түзудің екі ортақ нүктесі, бір ортақ нүктесі немесе ортақ нүктелері мүлде болмауы мүмкін. Шеңбермен бір ғана ортақ нүктесі бар түзуді жанама деп, ал осы ортақ нүктені жанасу нүктесі деп атайды.

• Жанасу нүктесі шеңбер бойында жатқандықтан, оның центрге дейінгі қашықтығы радиусқа тең. Жанаманың өзге нүктелері шеңберден тысқары орналасқан, яғни олардан центрге дейінгі қашықтықтар радиустан үлкен. Олай болса, а жанамасы радиусқа перпендикуляр.

• Екі шеңбердің өзара орналасуы.

• Егер екі шеңбердің ортақ жанамасы және ортақ жанасу нүктесі бар болса, онда бұл шеңберлерді бір-бірімен жанасады деп атайды. Егер шеңберлердің центрлері ортақ жанаманың бір жағында жатса, онда бұл шеңберлерді іштей жанасады деп,

• ал егер шеңберлер центрлері ортақ жанаманың екі жақ бөлігінде жататын болса, онда шеңберлерді сырттай жанасады деп атайды.

• Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер.

• Егер шеңбер үшбұрыштың барлық төбелері арқылы өтсе, онда бұл шеңбер үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер деп аталады. Үшбұрыш қабырғасының ортасы арқылы өтетін және оған перпендикуляр түзуді үшбұрыштың орта перпендикуляры деп атайды.

• Теорема,1

• Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың орта перпендикулярының қиылысу нүктесі болады.

Дәлелдеуі

• АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі О болсын. Онда АВС үшбұрышының қабырғалары осы шеңбердің хордалары болып табылады. 1-мысал бойынша үшбұрыш қабырғаларының орта перпендикулярлары шеңбер диаметрінде жатады, яғни шеңбер центрі арқылы өтеді

• Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер.

• Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер.

• Үшбұрыш қабырғалаын жанайтын шеңбер осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер деп аталады.

Теорема, 2

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер центрі үшбұрыш биссектриссаларының қиылысу нүктесі болады.

Дәлелдеуі

АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі О, ал қабырғаларымен жанасу нүктелері Д, Е және F болсын.

• АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі О, ал қабырғаларымен жанасу нүктелері Д, Е және F болсын.

• OD=OE (шеңбер радиустары) және АО гипотенузасы ортақ болғандықтан, ∆АОД=∆АОЕ. Онда └ОАД=└ОАЕ, яғни үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер центрі О АО биссектриссасында жатыр. Осы сияқты О нүктесі үшбұрыштың өзге биссектриссаларында жататынын көрсетуге болады.

Тіктөртбұрыштар. 8-сынып

Тіктөртбұрыштар. 8-сынып

• 5 теорема: Тіктөртбұрыштың диагональдары тең болады.

• 6 теорема: (5-теоремаға кері теорема) Егер параллелограммның диагональдары тең болса, онда ол тіктөртбұрыш болады.

• Р О М Б

• Анықтама: Барлық қабырғалары тең болатын параллелограммды ромб деп айтамыз.

• Теорема : Ромбының диагональдары тік бұрыш жасап қиылысады және оның бұрыштарының биссектрисасы болып табылады.

• Бер: АВСД-ромб. АД АС

• Д\к: АД АС АС ВД- биссектриса

• Д/і : АВС тең. Бүй.Үшбұрыш АО ОС параллелограмның диог.

• Қиылысу нүктесінде қаққа бөлінеді ВО-медиана.

• Тең бүй. Үшбұрыштың медианасы, биіктігі және бисс.болып табылады

Квадрат

• Барлық қабырғалары тең тіктөртбұрыш к в а д р а т деп аталады.

• Квадрат тіктөртбұрыштың дербес түрі болғандықтан, тіктөртбұрыштың барлық қасиеттері квадрат үшін орындалады.

• Квадратты барлық бұрыштары тік ромб деп те қарастыруға болады.

• Сондықтан квадраттың диагональдары перапендикуляр болады.

Үшбұрыштың орта сызығы

• Анықтама. Үшбұрыштың екі қабырғасының ортасын қосатын кесіндіні үшбұрыштың орта сызығы деп атайды.

• теорема: Үшбұрыштың екі қабырғасының ортасын қосатын орта сызық үшінші қабырғаға параллель және оның жартысына тең болады.

• Үшбұрыштың төбесін сол төбеге қарсы жатқан қабырғаның ортасымен қосатын кесінді медиана деп аталады.

11-теорема:

• Үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қиылысады және ол нүкте әрбір медиананы оның табанынан бастап есептегенде 1/3 бөлікке бөледі.

Ескерту: Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесін оның ауырлқ центрі деп атайды.

• Трапеция

Анықтама.

• Екі қабырғасы ғана параллель болатын дөңес төртбұрыш трапеция деп аталады.

• Трапецияның параллель қабырғалары табандары, ал параллель емес қабырғалары бүйір қабырғалары деп аталады.

• Бүйір қабырғалары тең трапеция теңбүйірлі трапеция деп аталады.

• Егер трапецияның бір бұрышы 90 градусқа тең болса, онда ол тікбұрышты трапеция деп аталады.

Трапецияның орта сызығы

• Анықтама. Трапецияның бүйір қабырғаларының ортасын қосатын кесіндіні трапецияның орта сызығы деп атайды.

• 12теорема: Трапецияның орта сызығы табандарына параллель және табандарының қосындысының жартысына тең.

1-мысал. Диагоналі бүйір қабырғасына перпендикуляр және табанымен 20градус бұрыш жасайтын теңбүйірлі трапецияның бұрыштарын табайық.

Шешуі: АВСД теңбүйірлі трапециясын салайық. Теңбүйірлі трапецияның табанындағы бұрыштары тең екені белгілі. Бұрыш ВАД =бұрышСДА, бАВС=бДСВ, АС перпендикляр СД, БұрышАСВ=20гр, демек, праллель түзулер мен қиюшының қасиеті бойынша бұрыш САД=20.

Тақтадағы суреттен бВСД=бВСА+бАСД=20+90=110. Ал үшбұрыш СДА-дан бАВС=180-(90+20)=70. Сонымен біз трапецияның ВС табанындағы бұрышы 110, ал АД табанындағы бұрышы 70 болатынын таптық.

Үшбұрыштың тамаша нүктелері.

• Төртбұрыштар: қалай ажыратылады?

• Тіктөртбұрыштың диагональдары тең болады.

• Егер параллелограммның диагональдары тең болса, онда ол тіктөртбұрыш болады.

• Үшбұрыш бұрышының биссектрисасының қарсы қабырғаға дейінгі кесіндісі үшбұрыштың биссектрисасы деп аталады.

• Үшбұрыштың үш биссектрисасы бар.

• Теорема: Биссектрисаның кез-келген нүктесі бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтыта жатады.

• Теорема: Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысады.

• Анықтама: Кесіндінің ортасы арқылы оған перпендикуляр өтетін түзуді кесіндіге орта перпендикуляр түзу дейміз.

• 16-теорема: Кесіндіге орта перпендикулярдың кез келген нүктесі осы кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.

• 18-теорема: Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.

• Теорема: Кез келген үшбұрыштың биіктіктері бір нүктеде қиылысады.

Әрбір үшбұрышпен төрт нүкте байланысты:

• Үш медиана бір нүктеде қиылысады, ол нүкте үшбұрыштың ауырлық центрі болады

• Үш биссектриса бір нүктеде қиылысады, ол нүкте іштей сызылған шеңбердің центрі болады

• Үш биіктік (немесе олардың созындылары) бір нүктеде қиылысады, ол нүкте үшбұрыштың ортоцентрі деп аталады

• Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген үш орта перпендикуляр бір нүктеде қиылысады, ол нүкте сырттай сызылған шеңбердің центрі болады

Бұл нүктелер үшбұрыштың тамаша нүктелері деп аталады.

• Үш медиана бір нүктеде қиылысады, ол нүкте үшбұрыштың ауырлық центрі болады

• Үш биссектриса бір нүктеде қиылысады, ол нүкте іштей сызылған шеңбердің центрі болады

• Үш биіктік (немесе олардың созындылары) бір нүктеде қиылысады, ол нүкте үшбұрыштың ортоцентрі деп аталады

• Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген үш орта перпендикуляр бір нүктеде қиылысады, ол нүкте сырттай сызылған шеңбердің центрі болады.

Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі

• Анықтама: Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышына іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы осы бұрыштың косинусы деп аталады.

• Теорема: Бұрыштың косинусы тек оның градустық өлшеміне ғана тәуелді.

• Анықтама: Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышына қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы осы бұрыштың синусы деп аталады.

• Анықтама: Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышына қарсы жатқан катеттің іргелес жатқан қабырғасына қатынасы осы бұрыштың тангенсі деп аталады.

• Пифагор теоремасы

• 21 теорема: (Пифагор теоремасы)

• Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең, яғни

22 теорема (Пифагор теоремасына кері теорема):

• Үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда үшбұрыш тік бұрышты болады.

Перпендикуляр және көлбеу. Египет үшбұрышы

• Есеп.

• Егер үшбұрыштың қабырғалары а,в,с болып, және де а²+в²=с² болса, онда с қабырғасына қарсы жатқан бұрышы тік болатындығын дәлелдеу керек.

• Шешуі: Айталық АВС - берілген үшбұрыш, ал АВ=с, АС =а, ВС=в болсын. Катеттері А ₁В ₁=а және В ₁С ₁=а болып келген тік бұрышты А₁В₁С₁ үшбұрышын салайық. Пифагор теоремасы бойынша оның гипотенузасы А₁ В₁==с болады. Сонымен АВС мен А₁В₁С₁үшбұрыштары үшінші белгі бойынша тең. Үшбұрыштардың теңдігінен АВС үшбұрышының С төбесндегі бұрышының тік екндігі шығады.

Ежелгі мысырлықтар жер өлшегенде мынадай тәсілді қолданған: жіпті түйін салып тең 12-ге бөлген де, ұштарын біріктіріп байлаған. Содан кейін қабырғалары 3,4 және 5 бөлікке тең (египеттік үшбұрыш) үшбұрыш шығатындай етіп жіпті жердің бетімен керіп тартады. Сонда үшбұрыштың 5 бөлік қабырғасына қарсы жатқан бұрышы тік болады.

Пифагор теоремасынан мынандай салдар шығады: егер де бір нүктеден түзуге перпендикуляр және көлбеулер жүргізілген болса, онда көлбеулердің қай-қайсысы да перпендикулярдан үлкен болады, тең көлбеулердің проекциялары да тең болады, ал екі көлбеудің қайсысының проекциясы үлкенболса, сонысы үлкен болады.

• Есеп.

• АВС үшбұрышының АВ қабырғасынан х нүктесі алынған. Сонда СХ кесіндісі АС немесе ВС қабырғаларының кем дегенде бірінен кіші болатынын дәлелдеу керек.

• Шешуі: Үшбұрыштың СД биіктігін жүргіземіз. Қай жағдайда да ДХ кесіндісі не АД-дан, не ВД-дан кіші болады. Бір нүктеден жүргізілген көлбеулердің қасиеті бойынша бұдан шығатыны СХ кесіндісі не АС не ВС кесінділерінің кем дегенде біреуінен кіші болады.

Үшбұрыш теңсіздігі.

Теорема:

Үш нүкте қандай болғанмен де, ол үш нүктенің кез келген екеуінің ара қашықтығы олардың үшінші нүктеге дейінгі ара қашықтықтарының қосындысынан артық болмайды.

Үш нүкте бір түзудің бойында жатпайтын жағдайда үшбұрыш теңсіздігі - қатаң теңсіздік екенін ескеру керек. Мұның мәнісі - кез келген үшбұрыштың әрбір қабырғасы былайғы екі қабырғасының қосындысынан кіші болады.

Есеп.

Шеңбердің кез келген хордасы диаметрінен артық болмайтындығын және оның өзі диаметр болғанда ғана оған тең болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі: Үшбұрыш теңсіздігі бойынша АВ≤ОА+ОВ=2R, сонда шеңбердің О центрі АВ-ның бойында жатпаса, онда теңсіздік қатаң болады. Хорда центр арқылы өткенде, яғни оның өзі диаметр болып келгенде теңдік орындалады.

Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер.

1. 

2. 3)

3. 1+tq² 4)1+ctq²

4. cos(90⁰-

5. sin(90⁰-

6. 1+tq²

7. cos(9⁰⁰- sin(9⁰⁰-

синустар теоремасы

(Пифагор теоремасы) Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең, яғни

АВС тікбұрышты үшбұрышының бір бұрышы: С бұрышы -тік, с-гипотенуза, а,в - катеттер, ал а₁ және в₁ катеттерінің проекциялары болса

формулалары дұрыс болады.

Берілген кез келген үшбұрыштың төбелерінің қарсы жатқан қабырғаларына қатынасы тура пропорционал болады, яғни

бұл Пифагор теоремасының дербес жағдайы

Косинустар теоремасы

Теорема:

Қандай-да болсын .шбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғаның квадраттарының қосындысынан екі еселенген осы квадраттардың көбейтіндісін cosα көбейткенге тең:

Вектор. Коллинеар векторлар. 9-сынып

• Өзінің сан мәнімен ғана емес кеңістіктегі бағытымен де сипатталатын шамалар - векторлық шамалар.

• Ұштарының басы мен ұшы көрсетілген кесінді бағытталған кесінді немесе вектор д.а.

• Жазықтықтың кез келген нүктесін вектор деп қарастыруға болады. Ол нөлдік вектор д.а.

• Нөлдік вектордан өзгеше екі вектор бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жатса, онда мүндай векторлар коллинеар векторлар д.а. Нөлдік вектор кез келген векторға коллинеар.

• Екі вектор бірдей бағытталған болса, олар бағыттас векторлар д.а. Коллинеар, бірақ бағыттас болмаса, бағыттары қарама-қарсы векторлар д.а.