Контрольная работа 11 класс

Контрольная (итоговая) по геометрии 11 класс

Вариант 1.

Задание 1.

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке.

В ответе укажите .

Задание 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

Задание 3

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Задание 4.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Задание 5.(доп.) Высота конуса равна 8, а длина образующей - 10.

Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Вариант 2.

Задание 1.

Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Задание 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

Задание 3.

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Задание 4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Задание 5.(доп.)

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей - 10.

Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Вариант 1

Задание 1. Найдите значение выражения

Задание 2.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Задание 3. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Задание 4.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Задание 5.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Вариант 2.

Задание 1. Найдите значение выражения .

Задание 2. .

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Задание 3.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Задание 4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Задание 5.

Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй - 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора меньше массы второго?

Задание Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Задание а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

Задание 15 № 509042. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Имеем:

б) Из полученных решений в промежутке лежат только числа

Ответ: а) б)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Из данного уравнения получаем:

Значит, или откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) ; б)

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

Ответ: 0,0545.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение.

Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем:

Ответ: 0,0296.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Данные интервалы содержат целые точки -6, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна -3.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава кг, а масса второго - кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах и , соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему уравнений:

Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.

Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй - 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого раствора кг, а масса второго - кг. Тогда массовое содержание соли в первом и втором растворах и , соответственно. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. Получаем систему уравнений:

Таким образом, масса первого раствора меньше массы второго на 100 килограммов.

Ответ: 100.

Найдите значение выражения

Решение.

Пусть Тогда имеем

Поскольку полученное выражение не зависит от исходное выражение также равно 25.

Ответ:25.

. Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 10.

Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение.

По теореме Пифагора

Ответ: 6.

Найдите квадрат расстояния между вершина-ми и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора

Ответ: 17.

В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина,

, . Найдите длину отрезка .

Решение.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный,

т. к. - высота, она перпендикулярна основанию , а значит и прямой . Тогда по теореме Пифагора

.

Ответ: 4.

Аналогичные задания:

№

Условие

20

Задание 12 № 284350. В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

Решение.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный: т. к. - высота, она перпендикулярна основанию , а значит и прямой . Тогда по теореме Пифагора

.

Высота конуса равна 8, а длина образующей - 10.

Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Решение.

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Образующая конуса , его высота и радиус основания связаны соотношением откуда Следовательно, диаметр осевого сечения конуса равен 12, а площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

Ответ: 48.

18

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей - 10.

Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Решение.

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Образующая конуса , его высота и радиус основания связаны соотношением откуда Следовательно, площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

Ответ: 48.

Задание 12 № 27198. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.

Объем данной части цилиндра равен

.

Ответ: 144.

адание 12 № 27196. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.

Объем данной части цилиндра равен

.

Ответ: 45.

адание 12 № 27126. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Решение.

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: . Тогда объем шара

.

Ответ: 4,5.

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Решение.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара R равен половине диагонали куба:

.

Поэтому объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.

дание 12 № 245351.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Решение.

Запишем формулу для объёма шара:

.

Объём конуса в 4 раза меньше:

.

Ответ: 7.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение.

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.

Ответ: 490.