Урок в 7 классе на тему'Системы линейных уравнений'

Урок "Системы линейных уравнений с двумя переменными"

Девиз урока:

"Деятельность - единственный путь к знанию"

Дж. Бернард Шоу

Цели урока.

Дидактическая: Создать условия для формирования понятия "системы линейных уравнений с двумя переменными", опираясь на имеющиеся знания и жизненный опыт детей.

Развивающая: Продолжить формирование абстрактно-понятийного мышления на основе анализа взаимосвязи систем линейных уравнений с двумя переменными и их изображением на плоскости в виде графиков. На основе дедуктивных рассуждений, помочь ученикам в составлении алгоритма решения систем графическим способом и апробации его в самостоятельной работе.

Воспитательная: Способствовать формированию системного мышления и адекватной самооценки. Развитие способности к самостоятельной организации работы; развитие умений находить и использовать необходимую информацию в сети Интернет.

1 этап. Подготовка к восприятию нового материала

а) Мотивация

Я хочу загадать вам загадку:

Что самое быстрое, но и самое медленное.

Самое большое, но и самое маленькое.

Самое продолжительное, но и самое краткое.

Самое дорогое, но и дёшево ценимое нами?

Это ребята - время. У нас всего 40 мин, но мне бы очень хотелось, чтобы они не тянулись, а пролетели. Не оказались прожитыми впустую, а были затрачены с пользой.

б) Вводная беседа

- В нашей повседневной жизни нам приходится решать как простые задачи "Таня, сходи в магазин", так и сложные "Таня сходи в магазин, постирай, свари суп, выучи уроки и т.д.", при этом требуется одновременное выполнение нескольких условий.

В математике тоже бывают задачи простые: "Сумма двух чисел равна 15. Найди эти числа", чуть сложнее: "Разность двух чисел равна 5. Найди эти числа" и сложные, требующие одновременного выполнения двух и более условий. Именно с одной из таких задач мы познакомимся сегодня на уроке.

Рассмотрим решение такой задачи: на доске

"Сумма двух чисел равна 15, а их разность равна 5. Найдите эти числа." Определите вид задачи: простая или сложная. Сколько условий должно быть выполнено одновременно? Объединим эти два условия фигурной скобкой (символ целого). В чем сложность решения? Верно, подбор решения займет много времени, а другого способа мы пока не знаем. Как быть? - Познакомиться с новым способом решения таких задач.

б) Работа с терминами (слайд)

Давайте вспомним, какие понятия вам известны :

Линейное уравнение с двумя переменными -…

График линейного уравнения с 2 переменными - …

Алгоритм построения графика - …

Взаимное расположение графиков - …

Система - …

Система линейных уравнений с 2 переменными - …

Решение системы - …

Способы решения систем - …

- Озвучьте формулировки известных вам терминов (проверка Д.З.)

Какие из терминов вам незнакомы? Какой термин встретился несколько раз? Действительно, ключевым термином нашего урока является "система".

2 этап. Изучение нового материала

а) Понятие системы

Оказывается, предложенную задачу можно решить быстрее, если воспользоваться таким понятием как система. Знакомо ли вам это слово? Как вы его понимаете? В словаре иностранных слов дается 9 толкований этого слова. Послушайте некоторые из них. (Зачитываю выборочно.) от греч. - , составленное из частей; соединение), совокупность элементов, находящихся вотношениях и связях друг с другом, которая образует определ. , единство.

Систе́ма (от σύστημα - целое, составленное из частей; соединение) - , находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определённую целостность, .Сведение множества к единому - в этом первооснова красоты.

В повседневной практике слово «система» может употребляться в различных значениях, в частности:

теория, например, система ;

• классификация, например, Д. И. Менделеева;

• завершённый метод практической деятельности, например, ;

• способ организации мыслительной деятельности, например, ;

• совокупность объектов природы, например, ;

• некоторое свойство общества, например, , и т. п.;

• совокупность установившихся норм жизни и правил поведения, например, или система ценностей;

• закономерность («в его действиях прослеживается система»);

• конструкция («оружие новой системы»);

Какие варианты нам больше подходят? Почему?

"Система (греческое слово) - … целое, составленное из частей; соединение.

- символ (знак);

- форма записи одновременного выполнения двух и более условий "

- Как вы считаете, какая тема урока?

Тема урока
Системы линейных уравнений с двумя переменными

(Записываем тему урока в тетради и на доске)

б) Целеполагание

- Какая цель у вас на уроке?- Мы должны понять, что такое - система линейных уравнений и как она используется при решении задач, что является решением системы, как ее решать, способы решения системы. Применить эти знания в самостоятельной работе.

- Мне остается пожелать вам успешного достижения поставленной вами цели и помочь каждому из вас, по возможности.

в) Решение системы уравнений

(Символическая запись системы, оформление условия и решения задачи появляются на доске и в тетрадях в процессе решения задачи.)

Вернемся к формулировке задачи и выполним краткую запись условия:

Пусть х - первое число, у - второе число. По 1 условию, их сумма равна 15. Значит, х+у=15. Получили 1 уравнение с двумя переменными. По 2 условию, их разность равна 5. Значит, х-у=5 . Получили 2 уравнение с двумя переменными.

- Как ответить на вопрос задачи?

- Чтобы ответить на вопрос задачи надо найти такие значения переменных х и у, которые обращают в верное равенство каждое из уравнений, т.е. найти общие решения этих двух уравнений - требуется решить систему двух уравнений с двумя переменными.

- Как записать систему? С помощью какого символа? (Выслушиваю все версии ответов)

- Действительно, систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, только скобка ставится слева. (Делаю запись системы в общем виде, рядом с системой по задаче.)

Системой линейных уравнений с 2 переменными называется…запись

- Что значит - решить систему? Как это сделать?

- Мы можем подобрать пары чисел. (Подбирают решение)

- Проверим ваше решение, подставив эту пару чисел в систему: 10 и 5

Оба равенства являются верными, значит пара чисел (10;5) - это решение системы. (Записываем ответ) Ответ: (10;5)

- Подбор пары чисел - это универсальный способ решения систем? Почему? Какие есть предположения? Познакомимся с другими способами решения систем уравнений, но для этого нужно знать, что является решением системы.

- Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными. (Показываю на записанную в общем виде систему.)

- Сформулируйте, что называется решением системы. Сравните вашу версию с определением в учебнике. (Работа с определением по учебнику.) Чья версия подтвердилась?

Решением системы линейных уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных (пара чисел), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

- Поработайте с определением по известному вам алгоритму: читаем, , выделяем ключевые слова, проговариваем определение в парах.

- Проверим, как поняли: - Что значит "решить уравнение"?

- Что является решением первого (второго) уравнения?

- Это две разные пары чисел?

- Что значит - "решить систему"? Сформулируйте определение и проверьте себя аналогичным способом. (Работа с определением по алгоритму)

Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Проверим, как поняли: Сколько может быть решений системы: 0,1,2 или больше? Проверить правильность вашего ответа вы сможете, дочитав пункт до конца.

3 этап. Первичное закрепление новых знаний

Решим № 1056 (устно) Кто понял?

Кто сможет решить аналогичный номер. Какой? Выберите любой из двух: №1057 или №1058.

Эмоциональная пауза. Любопытные есть? Загляните себе под стул. Ничего нет? Странно. А что вы хотели увидеть? А что я хотела увидеть? Верно, я хотела увидеть способы заглядывания под стул. Продемонстрируйте еще раз - пусть и другие посмотрят. К чему все это? Это слово в названии следующего этапа нашего урока:

4 этап. Получение новых знаний

а) Способы решения систем …

Мы уже говорили об их существовании в начале урока. Сколько их? Как они называются?

Это просто здорово, что в вашем классе есть любознательные люди. В чем разница между любопытными и любознательными?

Давайте полистаем учебник вперед и отыщем ответ на вопрос о способах. (Листают или смотрят в оглавление). Запишем способы решения систем на доске и в тетради.

Способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический способ; способ подстановки; способ сложения.

- Рассмотрим способ решения систем, который опирается на материал предыдущего урока. Напомню вам, что результатом групповой самостоятельной работы были графики взаимного расположения линейных уравнений с двумя переменными. Кроме того, мы сделали несколько выводов о взаимном расположении графиков, их формулировки вы записали в тетрадь.

- В самом названии способа прячется подсказка. Какой это способ? Запишем.

Графический способ.

В начале урока мы вспомнили ряд терминов. (Возвращаемся к списку терминов)

- Какие знания нам сейчас нужны? (Ответы учащихся):

- Графиком линейного уравнения с 2 переменными является прямая.

- В системе записано два таких уравнения, значит нужно построить две прямые.

- Две прямые на плоскости могут пересекаться, не пересекаться или совпадать. (Подвожу детей к выводу о сути графического способа)

Правильно ли я вас поняла, что суть графического способа решения систем в том, что: Графическое решение системы линейных уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений (т.е. прямых).

- Как это сделать? (Обращаюсь ко всем, выслушиваю все версии, поддерживая тех, кто на правильном пути - создания алгоритма. ).

- Графики двух линейных уравнений системы - это две прямые; для построения каждой нужно две точки. Если прямые пересекутся, то будет одна общая точка (одно решение системы), если прямые не пересекутся - общих точек нет (нет решений системы), а если прямые совпадут - все точки будут общими (бесконечно много решений системы).

5 этап. Первичное закрепление нового материала

- Давайте, опробуем открытый вами способ решения систем на той задаче, которую вы решили подбором вначале урока, ведь нам уже известен ее ответ. Способы решения могут быть разные, а ответ один и тот же. (Решаем систему графическим способом, комментируя решение фразами, из которых в дальнейшем составим алгоритм.)

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом

На доске крепятся листочки с графическим решением системы

6 этап. Закрепление и первичный контроль знаний

а) Составление алгоритма (Работа в группах)

Инструктаж: Объединитесь в группы по 4 человека, возьмите конверт с разрезанным на части алгоритмом решения систем графическим способом. Вам нужно:

1) собрать алгоритм на листе бумаги, пронумеровав его части.

2) воспользоваться готовым алгоритмом при решении предложенной вам системы (№1060 ,1061)

3) проверить правильность выполнения заданий - на слайде

Время выполнения задания группой 10 минут (после выполнения задания группа проверяет алгоритм и решение системы, оценивает работу группы, комментируя свою оценку).

Результатом работы группы будет собранный алгоритм следующего вида:

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом:

1. Строим в координатной плоскости графики каждого уравнения системы, т.е. две прямые (опираясь на алгоритм построения графика линейного уравнения с 2 переменными).

2. Отыскиваем точку пересечения графиков. Записываем ее координаты.

3. Делаем вывод о числе решений системы.

4. Записываем ответ.

- Этот способ решения систем называется графическим. У него есть один недостаток. О каком недостатке идет речь?

Подводя итог работы групп, еще раз проговариваем этапы алгоритма (раздаю памятки с алгоритмом)

- Ноутбуки (урок- исследование)

б) Решение с комментированием №1060,а,б,в,г и 1061 а), б) - по группам).

- Кто понял, как выполняются такие задания? (Самооценивание)

Оцените свои знания (ставят оценку на полях тетради).

7 этап. Решите графически системы уравнений и исследуйте их по указанному алгоритму

1. при решении системы уравнений выразите в каждом из уравнений переменную y через x и постройте графики в одной системе координат);

2. сравнить для каждой системы отношение коэффициентов при x, при y и свободных членах системы;

3. сформулировать и записать признак, по которому можно определить, что система

а) имеет одно решение; б) не имеет решений; в) имеет бесконечно много решений.

(Приложение 2.)

Получив результаты своего исследования, заполните таблицу:

Дана система двух линейных уравнений , если

То система имеет единственное решение

То система не имеет решений

То система имеет множество решений

8 этап. Домашнее задание

(Приложение 3.)

1.Решите тестовые задания и заполните таблицу:

1.Какая пара чисел является решением системы уравнений:

А) (-3;-2); Б) (-3;1); В) (1;-3); Г) (3;5).

2.Какая из перечисленных систем не имеет решений:

1. 3)

2. 4)

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

3.Какая из перечисленных систем имеет единственное решение:

1. 3)

2. 4)

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

4.При каком значении система уравнений имеет бесконечно много решений?

А) -4; Б) -2,5; В) 1; Г) 4.

5.В какой из координатных четвертей пересекаются графики уравнений и ?

А) I; Б) II; В) III; Г) IV.

6. Дано уравнение. Составьте еще одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:

а) имеющую бесконечно много решений;

б) не имеющую решений.

Ответ: а) б)

Возможность формулировать одни и те же утверждения и на геометрическом, и на алгебраическом языке дает нам система координат, изобретение которой, как вы уже знаете, принадлежит Рене Декарту - французскому философу, математику и физику. Именно он создал основы аналитической геометрии, ввел понятие геометрической величины, разработал систему координат, осуществил связь алгебры с геометрией.

В качестве дополнительного задания вам предлагается подготовить сообщение и презентацию о жизни и деятельности Рене Декарта. Ваша презентация может содержать исторические сведения, научные факты. Вы можете посвятить ее какой-нибудь одной задаче или проблеме, связанной с Рене Декартом. Основное требование - ваше сообщение не должно превышать 10-12 мин. Срок выполнения данного задания - 1 неделя. Желаю успеха!

Критерии, по которым будет оцениваться презентация:

критерии к содержанию презентации (5-7 баллов);

критерии к дизайну презентации (5-7 баллов);

соблюдение авторских прав (2-3 балла).

9 этап. Подведение итогов урока

- Вспомним ключевые моменты урока - новые термины (прием неоконченных предложений: я фразу начинаю, а дети ее заканчивают) система, способы решения…

Рефлексия - листочки. Оценки после теста

Эпиграф-итог. Наблюдая, как сосед решает математические задачи, никогда не научишься решать сам.