Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Алгебра (8-й класс)

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Алгебра (8-й класс)

Цель урока

- отработка навыков решения задач на составление дробных рациональных уравнений;

- знакомство с геометрическим способом решения уравнений;

- развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии;

- развитие алгоритмического мышления;

- повышение интереса к решению математических задач

- показать связь с другими предметами, с жизнью.

Пусть математика сложна,

Ее до края не познать

Откроет двери всем она,

В них только надо постучать.

Чтобы двери в мир математики открывались как можно легче мы сегодня будем учиться… Чему?

Ребус этот разреши,

А ответ нам напиши

Сей ответ встречаешь часто,

Не решаешь их напрасно.

- Правильно, наш урок посвящен задачам, и не простым, а задачам на составление дробных рациональных уравнений.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Большинство задач на составление дробных рациональных уравнений в результате сводится к решению квадратных уравнений. Большой вклад в решение уравнений внес французский математик - … Как его звали? -Франсуа Виет "вызывает вас на соревнование, предлагая для решения следующие уравнения:

(На экране и на партах уравнения)

- Как называются такие уравнения?

- С помощью какой теоремы решим данные уравнения?

- Какое свойство коэффициентов квадратного уравнения можно использовать при решений некоторых уравнений?

В-1

1. Х² + 7Х +10 = 0

2. Х²- 19 Х+18=0

3. Х²+9Х+20=0

4. Х²-17Х+30=0

5. 13Х²-29Х+16=0

6. 17Х²-19Х-36=0

В-2

1. Х² + 7Х-8 = 0

2. Х²+ 17Х-18=0

3. Х²-15Х+50=0

4. Х²+13Х+30=0

5. 12Х²-35Х+23=0

6. 100Х²+150Х+50=0

7. А сейчас поменяйтесь работами с соседом по парте, делаем проверку, выставляем оценку (ответы на экране) Собираем работы, чтобы я тоже могла посмотреть и выставить оценки.

8. 2. Проверка домашнего задания с последующим использованием для углубленного изучения темы:

9. - нужно оформить решение домашней задачи № 610 на доске (1 ученик);

10. - а мы поработаем устно.

11. 1) Верно ли решены уравнения?

12. А) х₁ =1, х₂=4

13. Ответ: нет, корень х=1 - посторонний.

14. Почему?

15. Б) х=1

16. Ответ: нет, есть еще один корен Х=2.

17. Какой вывод нужно сделать?

18. 2) Найти общий знаменатель дробей в каждом из уравнений:

19. Ответ: 5х-2 или 2-5х

20. Ответ: у²-4

22. Ответ: х(x+2)

23. II. Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.

24. - Мы научились решать дробные уравнения.

25. А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению?

26. - Такие ,в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.

27. Например: время =; ;

28. Cторона прямоугольника=;

29. ;

30. и другие.

31. Итак, вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на дробно-рациональные уравнения.

32. И на свете нет профессий
    
    Вы заметьте-ка
    
    Где бы нам не пригодилась Ма-те-ма-ти-ка!

33. III. Решение задач + рисунок.

34. Проверим домашнюю задачу № 610. Поезд опаздывал на 1 час,чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.720

35. Х

    44. На самом деле

    45. 720

    46. Х+10

    47. 72О

    48. Х+10

36. 720х+7200-720х-х2-10х=0

37. х ² +10х-7200=0

38. Х₁=80 х₂= -90 (не удовлетворяет условию задачи).

39. 80 км/час- скорость поезда по расписанию.

40. Ответ: 80 км/час.

41. Вы решили эту задачу алгебраическим методом. Я предлагаю решить используя геометрический метод

42. 2. Геометрический метод.

43. Экскурс в историю. Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида ( 3 век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Развивалась геометрическая алгебра. В старинных индийских сочинениях этого времени доказательство или решение сводилось к чертежу, подписанному одним словом "Смотри!". Решение алгебраической задачи геометрическим методом осуществляется в три этапа:

44. 1) построение геометрической задачи, то есть перевод ее на язык геометрии,

45. 2) решение получившейся геометрической задачи,

46. 3) перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

48. АВ=х -скорость поезда по расписанию (км/час).

49. АД - время движения поезда по расписанию (ч).

50. SАВСД = АВ х АД =720

51. Так как поезд увеличил скорость на 10 км/час, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, условно изображающий 10 км/час. C увеличенной скоростью поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка АД отрезок ДК, условно изображающий 1 час.

52. S AEFK=SАВСД =720

53. S1+S3=S2+S3 -> S1=S2. S1 = Х и S2 =10 х EF.

54. Отсюда

55. 

56. Получили, что используя что S 1=S2 получим уравнение:

57. 

58. Решив это уравнен мы узнаем, что скорость поезда по расписанию была 80 км/час

59. Уравнения могут быть такими:

60. 

61. Обратите внимание, что переход к квадратному уравнению от первого и последнего уравнений осуществляется быстрее, чем в случае с другими составленными уравнениями.

62. IV.Физкультминутка (упражнение для глаз).

63. V. Задача ( ЕГЭ) В9.

64. Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей, другая, за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7. Сколько деталей в день изготовляла вторая мастерская, если известно, что ежедневно она изготовляла на 5 деталей больше, чем первая?

65. - О чем идет речь в задаче? (О двух мастерских)

66. - Значит имеем: 1 и 2 мастерские

67. - Чем занимались эти мастерские ?

68. - Что спрашивается в задаче?

69. Пусть х (х>0)l деталей в день изготавливала П мастерская, тогда 1 изготавливала (Х-5) деталей в день. Сколько дней работала каждая мастерская?

70. - Какая из них быстрее справилась с работой?

71. - На сколько? (На 3 дня раньше чем 1 мастерская)

    Получим уравнение х(х-5)

72. 420х?-500(х-5)-3(х?-5х)=0

73. 420х-500х +2500-3х?+15х =0

74. -3х? -65х -2500=0

75. Д=4225 +30000=34225=185?

76. Х ₁ =

77. Х₂= (не удовлетворяет условию задачи)

78. - Значит 2 мастерская изготавливала в день 20 деталей.

79. Ответ: 20 деталей.

80. VI. Домашнее задание: (заранее написать на доске) № 609.

81. (Придумать задачу по уравнению и решить ее )

82. VII. Самостоятельно решить задачу № 615.

83. 

84. 12(Х+10)+12Х-(х²+10Х)=0

85. 12Х+120+12Х-х²-10Х=0

86. Х² -14Х-120=0 Д=196+480=676=26? Х₁=

87. Один из рабочих выполнит работу за 20 дней, а другой за 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.

88. Итог урока: Общеизвестно высказывание: "Решение математической задачи можно сравнить со взятием крепости".

89. После данного урока решение большинства задач, я надеюсь,со взятием крепости уже не ассоциируется. Вы согласны со мной, ребята?

90. Математика всегда

91. То интересна, то сложна.
    
    Получается задача -
    
    Радуется душа.

92. Пусть вам будут по плечу любые задачи. Успехов! Спасибо за урок!