Разработка урока алгебры: «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии».

Конспект открытого урока в 9 «А» классе

Тема урока: «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии».

Предмет: алгебра.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Цель урока: усвоить понятие геометрической прогрессии, вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии, применить на практике полученные знания. Задачи урока:

Образовательные:

• ввести определение геометрической прогрессии и вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии;

• ознакомить с понятиями возрастающей, убывающей и конечной геометрической прогрессии;

• показать практическое применение понятия геометрической прогрессии и формулы n-го члена при решении задач.

Развивающие:

• развивать аналитическое и логическое мышление;

• развивать интеллектуальные умения: сравнивать, делать выводы, выявлять закономерности, анализировать;

• развивать творческие способности учащихся;

Воспитательные:

• воспитывать умение делать самооценку своих знаний, умение

работать в паре, в группе, умение аргументировано отстаивать

свои взгляды

• воспитывать познавательную активность, стремление расширять свой кругозор.

Формируемые УУД:

Личностные: развитие познавательных интересов, учебных мотивов, оценка и самооценка;

Регулятивные : целеполагание как способность соотносить то, что уже известно и усвоено, и то, что еще неизвестно; планирование как определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; оценка как выделение и осознание того, что уже освоено и что еще подлежит усвоению; осознание качества и уровня усвоения; волевая саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии;

Коммуникативные: включаемость в коллективное обсуждение вопросов, постановка вопросов, умение слушать и вступать в диалог, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации, умение аргументировать свою точку зрения; Познавательные: выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, выбор способа действия, умение осознанно применять полученные знания на практике,

умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, презентация в программе «Power Point», раздаточный материал.

Ход урока.

Организационный этап:

- Здравствуйте. Я рада видеть вас. Сегодня на уроке присутствуют гости. Давайте договоримся: думать, трудиться в полную силу и не бояться допустить ошибку!

Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучен космос и моря, Строенье звёзд и вся земля. Но математиков зовёт Известный лозунг: «Прогрессия-движение вперёд».

- Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression) и действительно означает «движение вперед», он был введен римским автором Боэцием (VI в.). Движение вперед! Пусть это будет девизом нашего урока.(слайд 1).

Запишите в тетрадях число 27.02.2015. Классная работа.

Актуализация знаний.³ = - 27

нет1) Вы изучили тему «Числовые последовательности», познакомились с различными способами задания последовательностей, но среди всего разнообразия выделили только арифметическую прогрессию. Возникает вопрос: «Существуют ли ещё какие-нибудь разновидности числовых последовательностей, обладающих определенными свойствами?». Сегодня ответим на вопрос, но начнем с повторения изученного. Перед вами задание №1 Если утверждение истинно - отвечаете «да», если ложно - «нет». Работаем в парах.

Проверка с помощью Слайда

2) Выпишите в тетрадь номера последовательностей, которые являются арифметическими прогрессиями:

1) 2; 5; 8; 11; …

2) 1; 2; 4; 8;…

3) 65; 60; 55; 50…

4) 5; 1; -3; -7…

5) 32, 16, 8, 4,…

6) 10; 15; 20; 25…

7) 6; 10;14;18…

8) 3, 9, 27, 81 …

Учащиеся отвечают: № 1,3,4,6,7. Поднимите руку, кто верно выписал все номера.

Объясните свой выбор. Выявите закономерность, которой подчиняются числа в оставшихся последовательностях. Что вы заметили? Используя замеченные вами особенности, придумайте и запишите в тетради еще несколько последовательностей, составленных по тому же принципу.(Учитель предлагает ученикам озвучить свои записи. Учитель записывает за ребятами на доске 2-3 последовательности, например 1, 5, 25, 125). Такие последовательности называются геометрическими прогрессиями.

Мотивация, постановка цели:

Как вы полагаете - какова тема нашего урока? Вы правы - тема урока: «Определение геометрической прогрессии». Сформулируйте цели и задачи урока.

Учащиеся: Дать определение геометрической прогрессии, узнать формулу n-го члена геометрической прогрессии, научиться выделять среди всех последовательностей геометрическую прогрессию, изучить её свойства, применять полученные знания при решении задач). Почему нам нужно изучать эту тему?

Учащиеся: Задания на прогрессии встречаются при подготовке к экзаменам.

Изучать геометрическую прогрессию мы будем путем сравнения с арифметической прогрессией. У вас у каждого на столах лежат таблицы. В левой части таблицы систематизировано все изученное по арифметической прогрессии, вы в ходе урока должны заполнить правую часть. У вас получится памятка, которую будете использовать в дальнейшем.

«Открытие» нового знания:

- Предлагаю начать нашу работу с легенды о шахматах. Шахматная игра была придумана в

Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней комбинаций. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя.

- Я желаю достойно вознаградить тебя.

Мудрец молчал.

- Я достаточно богат, чтобы исполнить твоё самое смелое пожелание. Назови награду, которая тебя удовлетворит.

- Повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зернышко, за вторую - 2, за третью - 4, за четвёртую - 8, за пятую - 16 и так далее до 64 клетки.

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. - Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости.

Сета улыбнулся и покинул залу.

Каково было удивление царя , когда он узнал, что не сможет выдать подобной награды. Как вы думаете, почему?

На следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что для выполнения его приказа не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Необходимо 18.446.744.073.709.551.615 зерен .Число звучит так: 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.Много это или мало? Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

-Итак, чем интересна эта легенда для нас сейчас на уроке алгебры?

- При распределении зерен пшеницы по шахматной доске мы видим последовательность натуральных степеней числа 2, т.е геометрическую прогрессию 1,2,4,8,16,32,.. в которой каждое последующее число больше предыдущего в 2 раза.

Попробуйте дать определение геометрической прогрессии.

Учащиеся: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. Прочитайте определение по учебнику §27 с.153 и определите, насколько верно мы рассуждали. Почему члены последовательности должны быть отличны от нуля? Сравните с определением арифметической прогрессии. В чем отличие? Заполните вторую строку таблицы. Мы достигли первой цели?

Учащиеся: Да

Сравните рекуррентные формулы прогрессий. В чем отличие? Какую строку заполняем?

- Чтобы задать геометрическую прогрессию, что достаточно указать?

Учащиеся: Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

В тетрадях решаем.

Дано: b1=3, q=4. Найдите, пользуясь определением: b2, b3 , b4,

b2=b1∙ q= 3 ∙ 4 = 12,

b3=b2∙ q= 12 ∙ 4 = 48,

b4=b3∙ q= 48 ∙ 4=192 и т.д.

-Итак, легко ли найти, например 100 член геометрической прогрессии, пользуясь определением?

Учащиеся: Нет. Очевидно, для этого нам нужна будет формула. Вспомните, как мы выводили формулу для арифметической прогрессии. Найдите в учебнике вывод

формулы n-го члена геометрической прогрессии.

b2= b1∙ q,

b3= b2∙ q= b3 ∙ q∙ q= b3∙ q2,

b4= b3∙ q= b1 ∙ q2∙ q= b1∙ q3

(Предлагаю учащимся самостоятельно написать b5, b6, b7).

- Какую закономерность вы заметили?

Учащиеся: В каждой формуле присутствуют b1, q. Показатель степени q на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии.

Получим bn= b1∙ qn-1 .

Поработаем с данной формулой

Выразите b8, b17 через b1и q.

Учащиеся: b8= b1∙ q⁷ b17= b1∙ q¹⁶

Ребята, вторая цель учения нами достигнута?

Учащиеся: Да. Мы узнали как найти n-ый член геометрической прогрессии.

Физкультминутка. Гимнастика для глаз.

Я буду называть последовательность. Если арифметическая прогрессия, то 4 раза сжимаем и разжимаем кулачки, если геометрическая прогрессия, то моргаем глазами 4 раза.

1) 1,2,3, 4, ... арифм

2) 5, 25, 125, 625,.. геом

3) 3, 6, 9, 12…арифм

4) 2, 4, 8, 16, 32,.. геом

5) 1, 3, 10, 20.. ?

6) 7, 7, 7, 7….и арифм и геом

Ранее видели, что название арифметической прогрессии связано с особым свойством членов этой прогрессии. Название геометрической прогрессии также связано со свойством её членов. Итак, квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, смотрим на слайд. Для любых трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется равенство на слайде. А число, которое получилось в правой части равенства называется средним геометрическим двух чисел. Итак, запишем характеристическое свойство. В таблице остались формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии, вы их запишите на следующем уроке.

У нас осталась одна цель, к ее реализации мы и приступим.

Закрепление и применение знаний и способов действий

Устные упражнения на слайдах

1. Является ли последовательность геометрической прогрессией? Если да, то

найти b1 и знаменатель q.

1) 1; 3; 9; 27; . . .

2) - 1; 2; 4; . . .

3) - 2; - 6; - 18; 54;…

4) 5; - 5; 5; - 5; . . .

5)

2. Найдите первые 5 членов геометрической прогрессии , если первый член -2, а знаменатель -0,5.

3. Имеется радиоактивное вещество массой 256 г,вес которого за сутки уменьшается вдвое.Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи сутки? На 8 - ые сутки?

4. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b1 = 81, q = 1/3

Молодцы. А теперь несколько интересных фактов о прогрессиях в нашей жизни.

Работа с учебником № 626 1 ученик у доски.

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Работа в группах по карточкам

1.Найти первые пять членов геометрической прогрессии, если

а) b₁₌ 6; q = 2 б) b₁₌ 0.4; q =

2. Последовательность (С_n) - геометрическая прогрессия, первый член которой с_1, а знаменатель q. Выразите через с_{1 и} q С₆; С₂₀; С₁₂₅

3.Последовательность (хn) -геометрическая прогрессия. Найдите

Х₇, если х₁=16. q =

Проверяется с помощью проектора.

Рефлексия. А сейчас, в завершении урока достойный итог изучения нового материала - синквейн. Найдите в учебном материале самое важное, сделайте выводы и выразите всё это в краткой форме, дается 3 минуты.

Прогрессия. Арифметическая, геометрическая. Складывать, умножать, суммировать.(считать, вычислять) Широко используется в практической деятельности. Движение вперед.

Д омашнее задание: П.27, п. 27 № 625, 623(б,в), подготовить сообщение на тему: «Прогрессии вокруг нас»

И мне хочется ещё раз обратиться к нашему лозунгу «Прогрессио - движение вперед»

Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса? Достигли мы целей?

А в чём заключается наш прогресс?

Скажите, что у нас не получилась?

Спасибо за урок