Разработка урока Теорема Виета 8 класс

Тема урока: Теорема Виета и теорема, обратная теореме Виета

Тип урока: комбинированный

Технология: проблемно - диалогическая

Цель урока: изучить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета

Задачи урока:

Образовательные:

- формировать умение применять теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета в приведенных квадратных уравнениях;

- совершенствовать навык решения квадратных уравнений;

- обеспечить мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.

Развивающие:

- формировать самостоятельность и коммуникативность;

- создавать условия для проявления познавательной активности учащихся;

- учить формулировать проблему, выдвигать гипотезы и искать их подтверждение, формулировать и высказывать суждения.

Воспитательные:

- воспитание личностно значимых ценностей (установка на самообразование, самооценку);

- воспитывать культуру умственного труда.

Материалы к занятию: презентация, задания на карточках, эталоны и критерии для проверки и оценки, карточки для рефлексии.

Ход урока

I.Организационный момент (1 мин)

- Приветствие учителя.

- Прочитайте высказывание Бернарда Шоу (ирландский драматург, философ и прозаик): «Единственный путь, ведущий к знаниям, - это деятельность».

- Как вы понимаете это высказывание?

-Урок не может быть вне деятельности, мы с вами будем трудиться в поисках научной истины. Пожелайте друг другу удачи.

II. Актуализация знаний(5 мин)

- Какую тему мы изучаем последние уроки? (Квадратные уравнения)

- Какие уравнения называются квадратными?

- Какие уравнения называются приведенными квадратными?

- Можно ли неприведенное квадратное уравнение представить в виде приведенного?

- Каким образом?

Реши уравнения:

№

Уравнение

Корни уравнения

Сумма корней

Произведение корней

1.

х² + х -12 = 0

3 и -4

-1

-12

2.

х² - 12х - 45 = 0

-3 и 15

12

-45

3.

у²+ 8у +15 = 0

-3 и -5

-8

15

4.

у²- 5у +6 = 0

2 и 3

5

6

5.

z²-10z +21 = 0

3 и 7

10

21

6.

z²- 3z -10 = 0

-2 и 5

3

-10

Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Сделайте вывод.

Сформулировать и доказать теорему Виета.

Если и - корни уравнения , то справедливы формулы , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.

Пример. . p=-5,q=6.

. . Значит числа и - числа

положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых

равно 6, а сумма равна 5. =2, =3 - корни уравнения.

С её помощью можно:

• Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,

• Зная один из корней , найти другой,

• Определить знаки корней уравнения,

• Подобрать корни уравнения, не решая его.

• По данным двум числам составлять квадратное уравнение.

4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.

Если числа p, q, и таковы, что удовлетворяют соотношения , то , - корни квадратного уравнения .

III.Создание проблемной ситуации (2 мин)

- А сейчас я приглашаю вас в сказку «Попадет ли Золушка на бал»?

В некотором царстве, в некотором государстве произошла такая история. Король пригласил всех жителей своей сказочной страны на бал, но злая мачеха не хотела брать с собой свою падчерицу Золушку.

Мачеха: Золушка, ты сможешь поехать на бал, если за 5 минут найдешь сумму и произведение корней 20 уравнений.

Золушка: Я хорошо решаю уравнения, но за 5 минут мне никак не успеть!!!

Учитель: На помощь Золушке спешит Фея.

Золушка: Здравствуй, дорогая Фея!

Фея: Золушка, не горюй. Я открою тебе секрет, и ты справишься с заданием даже быстрей!

И Фея открыла Золушке секрет. А этот секрет, который вы сами откроете, и будет являться темой нашего урока.

Золушка: Я все поняла, дорогая Фея! Спасибо!

И через 5 минут Золушка дала ответы.А вы сможете найти суммы и произведения корней этих уравнений так же быстро? (Нет)

IV. Выдвижение гипотез (3 мин)

- Почему вы не можете также быстро выполнить это задание? (Не знаем секрета, не знаем быстрого способа определения суммы и произведения корней приведенных квадратных уравнений).

- Как вы думаете, с чем могут быть связаны корни квадратного уравнения? (C коэффициентами).

- Какой у вас возникает вопрос? Что вам предстоит выяснить? (Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения?Если да, то какова эта связь?

Сформулируйте цель своей деятельности (Узнать, существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.Если да, то какова эта связь.)

- Предположите, существует связь между корнями и коэффициентами или нет? Какова она? (Выдвижение гипотез, учитель все принимает)

- Если есть версии, нужно их проверить.

Уравнение

х² + рх + q=0

p

q

Корни

Сумма корней

Произведение корней

х² + 6х + 5 = 0

6

5

х₁= -1, х₂= -5

-6

5

х² - х - 12 = 0

-1

-12

х₁= 4, х₂= -3

1

-12

х² + 5х + 6 = 0

5

6

х₁= -3, х₂= -2

-5

6

х² + 3х - 10 = 0

3

-10

х₁= -5, х₂= 2

-3

-10

х² - 8х - 9 = 0

-8

-9

х₁= -1, х₂= 9

8

-9

Проверка выполнения заданий в группах и на доске, выводы.

Общий вывод:

- Ваше предположение подтвердилось? (да)

- Сделайте вывод(Связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения существует) .

-Какова она? (Сумма корней равна второму коэффициенту р взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену q).

- Вывод: Утверждение верно для всех уравнений, имеющих корни .

- Это утверждение называется теоремой Виета, названной в честь французского математика Франсуа Виета.

- Послушайте небольшую историческую справку об этом математике. (Выступление ученика, сопровождающееся презентацией с портретом Виета)

Сообщение. Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. В родном городке Виет был лучшим адвокатом, но главным делом его жизни была математика. Занимаясь наукой, Виет пришел к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения и для неизвестных, и для коэффициентов уравнения. Ввел формулы. Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспособностью. Иногда, увлекшись каким-нибудь исследованием, он проводил за письменным столом по трое суток подряд.

- Какой же секрет открыла Фея Золушке (Теорему Виета).

- В этой теореме о каких квадратных уравнениях идет речь? (О приведенных)

-Как быть с неприведенными? (Вначале представить в виде приведенных и применить теорему Виета). Что вы умеете делать с неприведенными квадратными уравнениями?

- Запишите в виде символов в тетрадь.

- Для закрепления теоремы Виета я предлагаю вам послушать стихотворение «Теорема Виета».

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а;

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда -

В числителе b, в знаменателе а.

- Существует и теорема, обратная теореме Виета.

VI. Применение новых знаний (18 мин)

Задание №1 (5 мин)

- Теперь вы сможете также быстро, как Золушка, найти суммы и произведения корней 20 уравнений? (Да).

- Что будете применять? (Теорему Виета). Сумму и произведение корней первых 10 уравнений находите, работая в паре, а оставшихся 10 решаете самостоятельно.

№

x² + pх + q = 0

x₁ + x₂

x₁ · x₂

1.

x² + 17x - 38 = 0

2.

x²- 16x + 4 = 0

3.

3x² + 8x - 15 = 0

4.

7x² + 23x + 5 = 0

5.

x² + 2x - 3 = 0

6.

x² + 12x + 32 = 0

7.

x²- 7x + 10 = 0

8.

x²- 2x -3 = 0

9.

- x² + 12x + 32 = 0

10.

2x²- 11x + 15 = 0

11.

3x² + 3x - 18 = 0

12.

2x²- 7x + 3 = 0

13.

x² + 17x -18 = 0

14.

x²-17x -18 = 0

15.

x²-11x + 18 = 0

16.

x² + 7x - 38 = 0

17.

x²-9x + 18 = 0

18.

x²- 13x + 36 = 0

19.

x²- 15x +36 = 0

20.

x²- 5x - 36 = 0

Эталон для самопроверки задания №1

1. x₁ + x₂ = -17; x₁ • x₂ = -38.

2. x₁ + x₂ = 16; x₁ • x₂ = 4

3. x₁+ x₂ = -8/3 ; x₁ • x₂ = -5.

4. x₁ + x₂ = -23/7; x₁ • x₂ = 5/7.

5. x₁ + x₂ = - 2; x₁ • x₂ = -3.

6. x₁ + x₂ = -12; x₁ • x₂ = 32.

7. x₁ + x₂ = 7; x₁ • x₂ = 10.

8. x₁ + x₂ = 2; x₁• x₂ = -3.

9. x₁ + x₂ = 12; x₁ • x₂ = 32.

10. x₁ + x₂ = 5,5; x₁ • x₂ = 7,5.

11. x₁ + x₂ = -1; x₁ • x₂ = -6.

12. x₁ + x₂ = 3,5; x₁ • x₂ = 1,5.

13. x₁ + x₂ = -17; x₁ • x₂ = -18.

14. x₁ + x₂ = 17; x₁ • x₂ = -18.

15. x₁ + x₂ = 11; x₁ • x₂ = 18.

16. x₁ + x₂ = -7; x₁ • x₂ = -38.

17. x₁ + x₂ = 9; x₁ • x₂ = 18.

18. x₁ + x₂ = 13; x₁ • x₂ = 36.

19. x₁ + x₂ = 15; x₁ • x₂ = 36.

20. x₁ + x₂ = 5; x₁ • x₂ = -36.

- Выполните самопроверку по эталону и поставьте отметку по критериям:

«5» - правильно найдены суммы и произведения в 9 - 10 уравнениях

«4» - правильно найдены суммы и произведения в 7 -8 уравнениях

«3» - правильно найдены суммы и произведения в 5 - 6 уравнениях

«2» - правильно найдены суммы и произведения менее 5уравнений.

- А теперь поставьте себе отметку за весь урок, основываясь на теотметкив листах самооценки, которые вы ставили себе на протяжении урока.

Давайте еще раз сформулируем теорему Виета:

Теорема Виета. Нет формул важней

Для приведенного уравнения:

р - это сумма его корней,

q - его корней произведение.

1. Решение упражнений.

Тест (по карточкам, с проверкой)

Задание. Выпишите цифры, стоящие возле правиль­ных ответов. (В результате должны получиться годы жиз­ни Франсуа Виета: 1540-1603).

1 вариант

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

Зх² - 7х + 6 = 0 (5),

х² - Зх - 2 = 0 (1),

-х² - 2х + 1 = 0 (4).

2. Для уравнения 7х² + 14х - 21 =0 приведенным является

х² + 2х - 3 = 0 (5),

-х² -2х + 3 = 0 (6),
7х + 14x-21= 0 (7).

3. Сумма корней уравнения х² - 5х - 6 = 0 равна

-6 (2),

-5 (3),

5 (4).

4. Произведение корней уравнения х² + х - 2 - 0 равно

-1 (2),

2 (1),

-2 (0).

5. Какое из уравнений имеет корни противоположных
знаков?

х² - 0,4х -1=0 (-),

х² + 4х + 0,2= 0 (+),

х² - Зх + 48 = 0 (*)?

2 вариант

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

4х² - 17х +1 = 0 (5),

х² + 8х - 2 = 0 (1),

-х² - х + 1 = 0 (4)?

2. Для уравнения 8х²-24х+ 16= 0 приведенным является

х² - Зх + 2 = 0 (6),

-х² +3х - 2 = 0 (5),

-8х² + 24х - 16 = 0 (7).

3. Сумма корней уравнения х² + 8х -7 - 0 равна

-7 (2),

-8 (0),

8 (4).

4. Произведение корней уравнения х² -2 х - 3 = 0 равно

-3 (3),

4 (1),

-2 (0).

5. Какое из уравнений имеет корни противоположных знаков

х² + 57х + 15,1 = 0 (-),
х²-4,1х + 3,5 = 0 (+),

х² - 18х - 0,48 = 0 (.)?