Лекция по математике для учащихся колледжа 2-го курса, обучающихся по программе ППССЗ Интегрирование

</ Лекция 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ

1. Первообразная и неопределённый интеграл

В этом параграфе рассмотрим задачу отыскания функции, для которой заданная функция является производной.

Определение. Функция называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции на промежутке , если

(4.1)

Пример. Функция является первообразной функции на всей числовой оси, т.к. .

Теорема. Две дифференцируемые на некотором промежутке функции и являются первообразными одной и той же функции тогда и только тогда, когда они отличаются на некоторую постоянную:

. (4.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - первообразная для , т.е. .Тогда - также первообразная, поскольку .

Обратно: если и две первообразные одной и той же функции , т.е.и , то .

Следовательно, , или .

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределённым интегралом от и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Таким образом,

. (4.3)

Пример. .

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

1. Свойства неопределённого интеграла.

Табличные интегралы

Неопределенный интеграл имеет следующие основные свойства:

2.1. 2.4.

2.2. где - постоянная величина

2.3. 2.5. .

Докажите эти свойства самостоятельно, или с помощью учебника.

Следующие интегралы от некоторых элементарных функций в дальнейшем будем называть табличными:

1. . 8. .

2. . 9. .

3. . 10. .

4. . 11. .

5. . 12. .

6. . 13. .

7. .

Справедливость этих формул проверяется непосредственным дифференциро-ванием.

Примеры. Найти интегралы:

а) ; б) ; в)

Решение.

_{а) (см. табл. № 4)}

_{б) (см. табл. № 11)}

_в)

(см. табл. №2, №3).

1.3 Методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям

Метод замены переменной (метод подстановки) осуществляют следующим образом:

(4.4)

Замечания: 1) -функция, дифференцируемая на заданном промежутке;

2) после вычисления интеграла следует вернуться к исходной переменной.

Пример.

Теорема. Пусть - некоторая первообразная для , тогда

(4.5)

где , -некоторые числа,

Д о к а з а т е л ь с т в о.

.

Пример. .

Пусть и - дифференцируемые функции. По свойству дифференциала

, или .

Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получим:

, или

. (4.6)

Формула (6) называется формулой интегрирования по частям.

Пример.

.

В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза. Кроме этого, на практике метод интегрирования по частям часто комбинируют с другими методами.

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1.2 1.3 1.4 ;

1.5 ; 1.6 ; 1.7 ; 1.8 ;

1.9 ; 1.10 ; 1.11 ; 1.12 ;

1.13 ; 1.14 ; 1.15 .

Лекция 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

5.1 Понятие определенного интеграла. Геометрический и

экономический смысл

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок произвольным образом на частей: (см. рис.4.1)

Сумма вида

, (5.1)

где называется интегральной суммой функции на . Геометрически представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих прямоугольников (см. рис.4.1)

Определение. Предел суммы при условии, что число разбиений стремится к бесконечности, а наибольшая из разностей - к нулю, называется определенным интегралом функции в пределах от до , т.е.

(5.2)

Геометрически определенный интеграл (4.2) представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию a AB b, в которой площади частей, распложенных выше оси OX, берутся со знаком плюс, а площади частей, расположенных ниже оси OX, -со знаком минус.

Замечание. Не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования:

поскольку смена обозначений никак не влияет на поведение интегральной суммы (4.1)

При определении интеграла предполагалось, что a<b. По определению положим, что

. (5.3)

Пусть в a=b тогда получим

следовательно

(5.4)

К экономическому смыслу определенного интеграла приводит следующая задача.

Пусть которая описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции U произведенной за промежуток времени . Разобьем на промежутки времени точками:

0=

Величину объёма продукции ∆, произведенный за промежуток времени ∆ приближенно можно изменить в виде:

∆ ∆, где , i = 0, 1, 2,…,(n-1)

Тогда U∆.

При n и max ∆

∆.

Таким образом, если - производительность труда в момент времени t, то есть объём продукции, выпущенной за промежуток времени . Достаточные условия интегрируемости функции (существования определённого интеграла) формулирует следующая теорема.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [а, в], то она интегрируема на этом отрезке.

5.2 Свойства определённого интеграла

Будем рассматривать интегрируемые функции. Имеют место следующие свойства.

1. , где = const (5.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Разобьём отрезок интегрирования [a, в] на n частей точками:

a = ,,…,= в.

На каждом из отрезков разбиения ∆x выберем точку ξ(i=0,1,2,…,n-1).

Используя ассоциативный (распределительный) закон умножения чисел, имеем

Перейдя к пределу в обеих частях этого равенства при n и , получим (4.5).

2. (5.6)

Доказательство аналогично предыдущему (докажите самостоятельно).

Нетрудно видеть, что это свойство выполняется для любого числа слагаемых.

3. (5.7)

Действительно, пусть <<. Рассмотрим геометрический смысл этого свойства (см. рис.).Очевидно , но ,а . Тогда

Разберите самостоятельно другие варианты расположения точек .

4. Если на , где , то

. (5.8)

Это неравенство вытекает из аналогичного неравенства для интегральных сумм.

Следствие. Пусть на , где , где m и - некоторые числа. Тогда

(5.9)

5. Теорема о среднем. Если непрерывна на [a,b], где a<b, то найдется

такое

,что (4.10)

Геометрически (4.10) означает, что если f(x)- непрерывная функция на [a,b] то всегда найдется точка, что площадь криволинейной трапеции aABb равняется площади прямоугольника .

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и -любая ее первообразная на . Тогда определенный интеграл от на равен приращению первообразной на этом отрезке:

(5.10)

Формула (4.12) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1.

2.

5.3. Геометрические приложения определенного интеграла

5.3.1. Вычисление площадей

В соответствии с геометрическим смыслом, определенный интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной линиями , , , . При этом, в зависимости от расположения графика перед интегралом должен стоять знак «плюс», или «минус» (см. рисунки 5.1-5.4).

. .

. .

Примеры.

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ;.

Решение.

Сделаем чертеж (рис.5.5).

Из чертежа видно, что

.

Найдем границы интегрирования:

;.

(ед².).

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ;.

Решение.

Сделаем чертеж (рис.5.6).

Найдем абсциссы точек C и B.

;

, ( не подходит).

.

Значит, , .

(ед.²).

3