Разработка урока по теме Последовательности, способы задания и свойства

Методическая разработка

урока на тему:

Последовательности, способы задания и свойства

по дисциплине Математика: алгебра и начала

математического анализа; геометрия

Разработала:

преподаватель математики первой категории

Снопкова Ирина Владимировна

Тайшет 2015

Снопкова И.В., преподаватель математики первой категории ГБПОУ ИО ТПТТ, «Последовательности, способы задания и свойства»: Методическая разработка урока по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для профессии 23.01.07 «Машинист крана (крановщик)»

Тайшет 2015г. - 23 с.

Методическая разработка представляет интерес для преподавателей математики. Содержит информацию о последовательностях, способах задания последовательностей и их свойствах, рассматриваются примеры последовательностей. Имеет мультимедийное сопровождение.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка

План-конспект урока

Литература

Приложения

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Урок по теме «Последовательности, способы задания и

свойства» разработан для студентов технического

профиля группы Ма 26-14 по профессии 23.01.07

«Машинист крана (крановщик)».

По форме урока - это урок изучения нового материала.

По типу -урок-лекция с элементами беседы.

Урок является звеном в цепочке уроков, предшествующих введению понятия производной функции. На уроке студенты знакомятся с понятием последовательности, со способами задания последовательностей и свойствами последовательностей. На следующем уроке вводится понятие предела последовательности. Понятие предела применяется при введении определения производной.

Целью урока является формирование у студентов новых знаний, формирование умений реализации новых способов действия, расширение понятийной базы за счет включения в нее новых элементов.

Задачами урока являются:

Образовательные: обеспечить знание студентами понятия числовой последовательности, способов задания последовательностей, свойства последовательностей.

Развивающие: развивать логическое мышление, навыки счёта, обеспечить развитие у студентов умений сравнивать, делать выводы, сформировать умение наблюдать, обобщать, проводить рассуждения по аналогии; развивать мышление и речь студентов;

Воспитательные: воспитание сознательного и серьёзного отношения к дисциплине, воспитание умения слушать других, умения выражать свои мысли, воспитание уверенности в своих силах.

План -конспект урока

Оформление доски:

На доске записаны последовательности чисел:

1; 2; 3; 4; 5;…

1; 4; 9; 16; 25; …

1; 3; 9; 27; 81; …

1 этап

Организационный этап

Деятельность учителя

Деятельность студентов

Приветствует студентов, проверяет присутствующих, задает положительный настрой на урок

Приветствуют учителя, сообщают количество присутствующих и отсутствующих, настраиваются на работу

2 этап

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной

деятельности студентов.

Деятельность учителя

Деятельность студентов

На доске записаны последовательности чисел:

1; 2; 3; 4; 5;…

1; 4; 9; 16; 25; …

1; 3; 9; 27; 81; …

-Посмотрите, пожалуйста, на доску и скажите, вам знакома такая запись чисел?

-А как называют такую запись чисел?

-Правильно. Вы изучали последовательности чисел в школе.

-Можете сформулировать тему нашего сегодняшнего урока?

-Правильно. Сегодня на уроке мы тоже будем изучать последовательности чисел, способы задания и свойства последовательностей.

Запишите в тетрадях число, тему урока.

Презентация 1

Фрейм 1

Слушают учителя, смотрят на записи на доске, осмысливают и отвечают на вопрос:

-Да, знакома.

-Последовательность чисел.

-Мы будем изучать

последовательности.

Открывают тетради, записывают число, тему урока.

3 этап

Актуализация знаний

Деятельность учителя

Деятельность студентов

Давайте вспомним, какие последовательности вы изучали в школе.

Посмотрите, пожалуйста, на первую последовательность. Как можно получить второй элемент последовательности? -Третий элемент?

- Как называется последовательность, если все её элементы, начиная со второго, можно получить путем прибавления к предыдущему элементу одного и того же числа?

-А если путем умножения на одно и тоже число?

-Когда вы знакомились в школе с арифметической и геометрической прогрессиями, вы изучали формулы, по которым можно найти…..

-а сегодня мы с вами рассмотрим….

Студенты слушают учителя, осмысливают, отвечают на вопросы:

Второй элемент последовательности можно получить, если к первому элементу прибавить число 1.

Третий элемент -если к второму числу тоже прибавить число 1.

И так далее…

-арифметическая прогрессия.

-геометрическая прогрессия.

- любой элемент последовательности,

- сумму элементов

-способы задания последовательностей и свойства.

4 этап

Первичное усвоение новых знаний.

Деятельность учителя

Деятельность студентов

1. Понятие последовательности

Последовательность можно понимать как частный вид функции.

Числовая последовательность определяется правилом, по которому для всякого натурального числа n можно вычислить n-ый элемент этой последовательности.

Областью определения последовательности как функции являются все натуральные числа N.

Значением этой функции является число.

y = f (n)

Однако для последовательностей традиционно выбирается другое обозначение:

элементы последовательности обозначаются малыми латинскими буквами -а, b, c и т.д., а значение аргумента n пишется в виде индекса: a_n; b_n; c_n и т.д.

2. Способы задания последовательностей:

Давайте рассмотрим, какие же существуют способы задания последовательностей.

Фрейм 2

Словесный.

-Что это за способ?

-приведите примеры последовательности, заданной словесно.

Рассмотреть примеры, записать некоторые на доске.

Например:

-последовательность натуральных чисел:

a_n: 1; 2; 3; 4; ….

-последовательность четных чисел:

b_n: 2; 4; 6; 8; …

вывод:

Фрейм 3

-как ещё можно задать последовательность?

Учитель направляет ход размышлений студентов, подводит к следующему способу задания последовательностей:

-с помощью формулы

Способ называется аналитический

Фрейм 4

Давайте запишем его в тетрадях и поясним: Фрейм 5

-Например, пусть последовательность задана аналитически с помощью формулы a_n = 4n -1

Давайте вычислим несколько первых элементов этой последовательности:

а₁ = 4·1 -1 =3

а₂ = 4·2 -1 =7

а₃ = 4·3 -1 =11

а₄ = 4·4 -1 =15 и т.д.

- А можем мы сейчас вычислить десятый элемент этой последовательности?

Конечно, можем:

а₁₀ = 4·10 -1 =39

-А сотый элемент?

а₁₀₀ = 4·100 -1 =399

-Какой вывод можно сделать?

Давайте рассмотрим еще один способ задания последовательностей:

Фрейм 6

Как он называется?

Чем характеризуется этот способ?

Фрейм 7

Запишите в тетрадях и давайте рассмотрим примеры задания последовательностей рекуррентным способом.

-при рекуррентном способе задания последовательности тоже используется формула, например,

a_n+1 = a_n + 5

-чтобы воспользоваться этой формулой и найти второй элемент надо знать первый элемент последовательности, поэтому он всегда задается.

Пусть а₁=2, тогда

а₂ = а₁ +5 = 2 + 5 =7

а₃ = а₂ + 5 = 7 + 2 = 9

а₄ = а₃ + 5 = 9 + 5 = 14

-Найдите десятый элемент последовательности.

-Почему ?

-Правильно. С помощью рекуррентной формулы мы можем вычислять элементы, только зная предыдущие. Молодцы!

-Итак, сколько способов задания последовательностей мы рассмотрели?

-Перечислите их.

А теперь давайте рассмотрим свойства последовательностей.

3. Свойства последовательностей.

-Так как мы рассматриваем последовательности, элементами которых являются числа, то над ними можно производить арифметические операции:

Фрейм 8

сложение, вычитание, умножение и деление.

Давайте рассмотрим на примере: Фрейм 9

Пусть

a_n: 1; 3; 5; 7; 9; ….

b_n: 2; 4; 6;8; 10; …

a_n + b_n : 3; 7; 11; 15; 19; …

a_n - b_n: -1; -1; -1; -1; -1; …

a_n · b_n: 2; 12; 30: 56; 90;….

Всегда ли можно выполнять действия над последовательностями? Или существуют какие-то ограничения?

-Правильно. Элементы b_n не должны равняться 0.

-Так как последовательность является функцией, то она ещё обладает и функциональными свойствами.

Фрейм 10

Монотонность: возрастание и убывание.

Фрейм 11

Возрастает, если каждый её элемент больше предыдущего.

Рассмотрите примеры, записанные на доске, и скажите, какую последовательность можно назвать возрастающей?

-какая последовательность называется убывающей?

- приведите пример убывающей последовательности.

-Давайте рассмотрим следующие свойства

Фрейм 12

Ограниченность: сверху, снизу, и сверху и снизу.

Фрейм 13

Последовательность называется ограниченной снизу, если все её элементы, кроме первого, больше некоторого числа М.

Например,

a_n: 1; 3; 5; 7; 9; ….

Все элементы больше числа 1, М=1‹3‹5‹7….

М является нижней границей последовательности.

Каким свойством ещё обладает эта последовательность?

Вывод?

Фрейм 14

-Последовательность называется ограниченной сверху, если все её элементы, кроме первого, меньше некоторого числа М.

например, -1; -2; -3;….

М = -1›-2›-3› ….

-Что ещё можно про неё сказать?

-запишите вывод.

Фрейм 15

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то её называют ограниченной последовательностью.

Пусть последовательность задана формулой а_n=,

Получаем:

1;

Это убывающая последовательность, наибольшее значение равно 1, поэтому она ограничена сверху. Если внимательно посмотреть, то видно, что её элементы убывают и всё ближе и ближе приближаются к числу 0. Поэтому число 0 будет являться нижней границей последовательности. Все элементы располагаются на отрезке (0;1] -последовательность называется ограниченной.

Слушают, осмысливают и записывают в тетрадях:

Числовая последовательность определяется правилом, по которому для всякого натурального числа n можно вычислить n-ый элемент этой последовательности.

Обозначение: a_n; b_n; c_n

Записывают в тетрадях:

2. Способы задания последовательностей:

-Когда последовательность задается словами.

-приводят примеры, осмысливают материал, закрепляют полученные знания, записывают примеры в тетрадях

Делают записи в тетрадях

-размышляют, выдвигают версии.

Делают записи в тетрадях

По желанию, кто-нибудь из студентов выходит к доске и выполняет вычисления. Все остальные работают в тетрадях

-да, можем.

-Да

С помощью данной формулы можно вычислить любой элемент последовательности

-рекуррентный.

-Надо знать предыдущие элементы

-делают запись в тетрадях:

при рекуррентном способе задания последовательности тоже используется формула, например,

a_n+1 = a_n + 5

Пусть а₁=2, тогда

а₂ = а₁ +5 = 2 + 5 =7

а₃ = а₂ + 5 = 7 + 2 = 9

а₄ = а₃ + 5 = 9 + 5 = 14

Вычисляют элементы последовательности, делают записи в тетрадях.

- мы его не можем найти.

- чтобы найти десятый элемент, надо знать девятый, а чтобы найти девятый, надо знать восьмой и т.д.

- Три.

-Словесный, аналитический, рекуррентный.

Записывают в тетрадях:

Свойства последовательностей.

1. можно производить арифметические операции:

сложение, вычитание, умножение и деление.

Примеры:

a_n: 1; 3; 5; 7; 9; ….

b_n: 2; 4; 6;8; 10; …

a_n + b_n : 3; 7; 11; 15; 19; …

a_n - b_n: -1; -1; -1; -1; -1; …

a_n · b_n: 2; 12; 30: 56; 90;….

- Нет, не всегда. Нельзя выполнить деление, т.к. на 0 делить нельзя.

Записать: b_n≠ 0

Записать в тетрадях:

Монотонность: возрастание и убывание.

Возрастает, если каждый её элемент, кроме первого, больше предыдущего

-все, кроме четвертой. У неё все элементы равны -1.

Формулируют определение и записывают его в тетрадь.

-например, -1; -2; -3;….

Делают записи в тетрадях:

Последовательность называется ограниченной снизу, если все её элементы, кроме первого, больше некоторого числа М.

Например,

a_n: 1; 3; 5; 7; 9; ….

Все элементы больше числа 1, М=1‹3‹5‹7….

М - нижняя граница

-она возрастает.

Возрастающая последовательность является ограниченной снизу.

Делают записи в тетрадях:

-Последовательность называется ограниченной сверху, если все её элементы, кроме первого, меньше некоторого числа М.

например, -1; -2; -3;….

М = -1›-2›-3› ….

-она убывает.

-Убывающая последовательность является ограниченной сверху.

Делают записи в тетрадях:

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то её называют ограниченной последовательностью.

Пример:

а_n=,

1;

Все элементы располагаются на отрезке (0;1] -последовательность называется ограниченной.

5 этап

Первичная проверка понимания

Деятельность учителя

Деятельность студентов

Мы с вами рассмотрели способы задания последовательностей и их свойства.

А теперь давайте посмотрим, как вы усвоили материал.

У вас на столах лежат карточки.

В первом задании вам надо поставить «+», если утверждение верное, и «-» -если нет.

Презентация 2

Фрейм 1.

Фрейм 2.

Фрейм 3.

Фрейм 4.

Фрейм 5.

Фрейм 6.

Задание 2. Обведите кружком цифру или цифры, под которыми записаны рекуррентные формулы или формула.

Фрейм 7

А теперь давайте проверим, как вы справились с заданием.

Фрейм 8 с ответами

Фрейм 9.Количество

Баллов

Оценка

10

5

8-9

4

5-7

3

Разбор ошибок, выставление оценок

Фрейм 10.

Слушают учителя, осмысливают задания, отвечают, используя полученные знания.

Приношу извинения:

в презентации есть недочеты (формулы получились непонятные) и ошибка( при проверки ответов написано балов), это моя невнимательность, а исправлять у меня не получается.

</ ниже привожу математический диктант на бумажном носителе

Проверяют, выставляют оценки в соответствии с таблицей.

6 этап

Первичное закрепление.

Деятельность учителя

Деятельность студентов

Задание № 9.1 А(1,2,6)

Запишите первые шесть членов последовательности, заданной различными способами:

1. а_n -n-е натуральное число, делящееся на 6

Решение: а_n: 6; 12;18; 24; 30; 36;….

2. а_n -n-е простое число

Решение:

а_n : 2; 3; 5;7;11;13; …

6)а_n =2ⁿ +1

Решение:

а_n : 3; 5; 9; 17;33; 65;….

Один студент работает у доски, остальные работают в тетрадях.

7 этап

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Деятельность учителя

Деятельность студентов

Задает домашнее задание, комментирует.

Домашнее задание: учебник -стр165-166,

Задачник: № 9.1А(3, 7,8)

Подготовить сообщение «Последовательность Фибоначчи»

Записывают домашнее задание, задают вопросы

8 этап

Рефлексия, подведение итога урока

Деятельность учителя

Деятельность студентов

1)Как вы оцениваете свои знания, приобретенные на уроке - поставьте галочку около соответствующего заключения.

-Все понял

-Почти все понял

-Ничего не понял

-Не понял и не хочу понимать

2. выставление оценок за урок

Оценивают свои знания

Спасибо за урок.

До свидания.

Математический диктант

«Свойства последовательностей»

№ 1. Выберите верные и неверные утверждения

1).а: 4; 6; 8;…возрастающая последовательность

2) в: -1; 3; -5; 4; … возрастающая последовательность

3)С: -7; -10; -13; -ограниченная сверху последовательность

4)Р: -28; -27; -26;… убывающая последовательность

5) Если А: 1; 3; 9; 27;….

С: 2; 4; 8; 16;… то А+С : 3; 7; 18; 42….

6)Если

А: -3; -5; -7; -9;…

Р: 10; -11; 12; -13; …., то А-Р: -13; 6; -19; 4;…

№ 2. Найдите пять первых элементов последовательности, заданной формулой а_n =4n-2. Можно ли вычислить сорок первый элемент данной последовательности? Если можно, то вычислите его.

№ 3. Выпишите последовательности, заданные рекуррентной формулой:

1) A_n+1 =2a_n 2) a_n = n² +4n -1 3) a_n+2 = a_n+1 + 3a_n 4) a_n-1 =3a_n-2

1. Место (время) выполнения задания: задание выполняется в аудитории во время занятия_

2. Максимальное время выполнения задания: ____10____ мин.

3. Вам нельзя воспользоваться конспектом лекций, учебником

Литература

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач.и сред. проф. образования / М.И.Башмаков.-4-е изд., стер.-М.: Издательский центр «Академия», 2012.-256с.

Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб.пособие для образоват.учреждений нач. и сред.проф.образования / М.И.Башмаков. - 2-е изд., стер. - М.:Издательский центр «Академия», 2013.

Приложение1

Бланк ответов

Фамилия, имя________________________группа________Задание 1: если высказывание верное, поставьте «+»,

Если высказывание неверное, поставьте «-»

1)

4)

2)

5)

3)

6)

Задание 2.

Обведите кружком номера рекуррентных формул

1 2 3 4

Приложение2

Все понял

Почти все понял

Ничего не понял

Не понял и не хочу понимать