- Учителю
- Опорные конспекты по основным темам математики 6 класса
Опорные конспекты по основным темам математики 6 класса
Опорный конспект №1
Д
ЕЛИТЕЛИ
И КРАТНЫЕ.
N
а
:
ДЕЛИТЕЛЬ
N , на которое делится а………
называется
Примеры:
Г
ОВОРИМ:
Число 12 имеет делители 1; 2;3;4;6;12.
ПИШЕМ: 12 : 1; 2; 3; 4; 6; 12.
1 -ДЕЛИТЕЛЬ ЛЮБОГО НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА а
N
К
РАТНОЕ :
а
N
называется
которое делится ……..на а
Примеры :
ГОВОРИМ: Числа 8; 16; 32; 40……. - кратные числа 8.
П
ИШЕМ: 8;
16; 32; 40… : 8
?
m : ?
? : m ??
Опорный конспект № 2.
Примеры:
-
Число : 2, если ***2 ; или***4, или***6; или ***8 ; или ***0
-
477 : 3, если 4+7+7=18 : 3!
-
Число : 4 , например 45796 : 4, так как 96:4!
-
Ч
исло
: 5, если ****0 ; или ****5!
-
Число : 6, например 522 : 6, **2 : 2!;
5+2+2=9 : 3!
-
Число : 7 ; например 532 : 7 ; 53 - 2*2 =49 : 7!
-
Число : 8; например **000 или ***328 , 328: 8!
-
711 : 9, так как 7+1+1=9 : 9!
-
Число : 10 , если ***0, или ****00; …
-
Число : 11, например 8261; (8+6) - (2 +1)= 14 - 3 = 11 : 11!
Опорный конспект № 3
Простые и составные числа.
Простым два
N число называется ----------------, если у него--------------------- делителя. С составным более двух
ПРИМЕР:
7 : 1; 7 простое; 9 : 1; 3; 9. составное
Два делителя три делителя
Э
ратосфен
- таблица простых чисел
1 : 1
ни простое число ни составное число
Любое составное число можно
разложить на простые множители.
378 2
189 3
63 3
21 3
7 7
1
3
78 =
2*3*3*3*7 =2*33 *7
представить в виде произведения простых множителей.
! СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА!
28 : 14;7;4;2;1 , ТАК КАК сумма всех делителей
14+7+4+2+1=28!
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №4
НОД ( 36; 48)
-
Р
2азложить на простые множители
3
26 2 48 2
1
2
28 2 24 2
9 3 12 2
3
33 6 2
1
33 3
1
-
Выпиши совпадающие множители.
-
НОД (36; 48) = 2*2*3 = 12
Н
ОД (
m; n) СОКРАТИТЬ ДРОБЬ m
n
m
и n
называется взаимно простыми , если НОД (m; n)=1
натуральные ( N)
-
Наибольший общий делитель -
наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и в .
Задача: Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?
Решение:
Найди НОД (36,48)!
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №5
НОК ( 36; 48)
-
Р
2
2азложить на простые множители
36 2 48
1
2
28 24
9
33 12 2
3
33 6 2
1 3
1
-
В
2
2
3ыпиши совпадающие множители
НОК (36; 48) = …* * * ……….
-
Д
2
2
3ополни оставшимися множителями
НОК (36; 48) = * * *3 * 2* 2
-
НОК ( 36; 48) = 144.
Н
ОК (
m; n) приводить дроби к общему знаменателю;
сравнивать дроби;
складывать и вычитать дроби.
и =
m n НОК ( m; n)
!!
НОК - наименьшее натуральное число, которое является кратным m и n!
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №6
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить
на одно и тоже число, то получится равная ей дробь.
п
риведение
дроби к общему знаменателю
2
= 2 * 12
= 24
3
3 * 12
36
О. С. Д.
1
5 = 15 :
5 = 3 основное свойство
2
0 20 : 5
4 дроби
сокращение дробей
Деление числителя и знаменателя на их общий делитель не равный 1 называется сокращение дроби.
1
50 = 150
: НОД ( 150; 225) = 2 несократимая дробь
225 225 : НОД ( 150; 225) 3
П
ишем:
Н
ОД (150;
225) = 75 ; 1502 = 2
2253
3
Говорим: числитель……, знаменатель…….,
сокращаю на…………………..(НОД),
получаю……………., ответ……………
Приведение дроби к общему знаменателю ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №7
@ ЗНАМЕНАТЕЛИ:
-
Взаимно простые числа (НОД (m; n) =1)
и =
3 4 3 * 4
-
К
ратные
числа (18: 6 = 3 !)
и =
6 18 18
-
Разные
и =
16 24 НОК (16 ; 24)
Чтобы привести дроби к общему знаменателю НАДО:
1.Найти НОВЫЙ знаменатель (см @);
2. Найти ДОПОЛНИТЕЛНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ;
3. Выполнить вычисления.
ПРИМЕРЫ:
7 5
-
1 и 2
; 7 и 10
5 7 35 35
взаимно простые
2
-
4 и 3
; 8 и 3
5 10 10
10
кратные
5 3
-
1 и 4
; 5 и 12
9 15 45
45
Разные
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №8
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями НАДО:
1.Привести дроби к общему знаменателю (см @);
2. Найти дополнительный множитель в каждую дробь;
3. Сравнить, сложить или вычесть числители!
ПРИМЕРЫ:
7 5
-
1 и 2
; 7 10
5 7 35 35
взаимно простые
2
-
4 - 3
; 8 - 3 = 5
5 10 10
10 10
кратные
5 3
-
1 + 4
; 5 + 12 = 17
9 15 45
45 45
Разные
14 9
16
4
1 + 2 ;
14 + 18 = 32 = 16
9 14 126
126 126 63
взаимно простые 63
-
1
5
4 - 3 ;
8 - 3 = 5 = 1
15 30 30
30 30 6
6
кратные
-
4
6
1 и 4 ;
5 16
12 15 60
60
Разные
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №9
Вычитание смешанных чисел.
-
1 - 1 = 7 __ 1
7 7 7
Представить
-
3 - 1 = 2 6 -- 1 = 2 5
6 6 6 6
Представить
-
3 7 -- 2 =(3 - 2) +7 = 1 7
9 9 9
Выполнить вычитание
Выполнить вычитание
-
7 -- 37 = 6 8 -- 3 7 = (6 -3) +(8 -- 7 ) = 3 1
8 8 8 8 8
8
Представить выполнить вычитание
Выполнить вычитание
9
5
-
3
3 ---
1 2 = ( 3 - 1) + ( 3 -- 2 ) = 2 + 27 - 10 = 2 17
5 9 5 9
45 45
Выполнить вычитание взаимно простые
С
РАВНИТЬ:
3 и 2 ; 27 10
5 9 45 45
взаимно
простые
представить
1
-
3
3 ---
14 = 2 13 -- 14 = ( 2 - 1)+ (13 - 8 ) =1+5 = 11
10 5 10 5
10 10 2
Кратные
2
210
10
СРАВНИТЬ:
3 и 4 ; 3
8
1
0 5
10 10
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №10
Сложение смешанных чисел
СМЕШАННОЕ ЧИСЛО
6 3
8
ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ ДРОБНАЯ ЧАСТЬ
-
6 3 = 6 + 3
8 8
-
12 + 2 = ( 1 + 2) +2 = 3 2
3 3 3
Выполнить сложение
5 7
-
3
2 + 3
= 3 + (2 + 3 ) = 3 10 +21 = 3 31
7 5 7 5
35 35
Взаимно
простые
Выполнить сложение
-
6 3 + 9 1 = ( 6 + 9) + (3 + 1 ) = 15 + 9 + 4 = 15 13
8 6 8 6 24 24
Выполнить сложение разные
Умножение дробей ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №11
ПРАВИЛО: Чтобы умножить дробь на дробь надо,
ЧИСЛИТЕЛЬ УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛИТЕЛЬ,
ЗНАМЕНАТЕЛЬ УМНОЖИТЬ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ,
ЕСЛИ МОЖНО СОКРАТИТЬ!
ПРЕДСТАВИТЬ
-
3 * 5 = 3 * 5 = 3*5 = 15 = 3 3
4 4 1 4*1 4 4
+ 4
-
9
3 * 1
5 = 48 * 17 = 68 = 13 3 ; 68 5
5 12 5 * 12 1 5 5 5 13
× 18
15
3
-
( 1 )3 = 1 * 1 * 1 = 1
3 3 * 3 * 3 27
Нахождение дроби от числа ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №12
Д
РОБЬ
ОТ ЧИСЛА ДРОБЬ × ЧИСЛО
Примеры:
5
-
3
ОТ 20 = 3 × 20 = 3 × 20 = 15 = 15
4 4 1
1 4× 1 1
-
2 ОТ 4 = 2 × 4 = 2 × 4 = 8
3 5 3 5 3 × 5 15
-
0,7 ОТ 4,2 = 0,7 × 4,2 =2,94
-
45 %
ОТ 8 = 45 × 8 = 45 × 8 = 360 = 3,60
100 1 100 × 1 100
ЧИТАЕМ!
-
В книге 140 страниц. Алеша прочитал 4 этой книги.
5
Сколько прочитал страниц Алеша?
ПИШЕМ!
28
4
ОТ 140 =
4 × 140 = 132 СТРАНИЦЫ
5
1
5 × 1
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН УМНОЖЕНИЯ.ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №13
Распределительное свойство умножения позволяет
УПРОЩАТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ!
(a + b) × c = a × c + b × c
(a - b) × c = a × c - b × c
Примеры:
-
2
+ 5
× 21 = 2 × 21 + 5 × 21 = 6 + 5 = 11
7 21 7 1
21 1
кратные
2
. 6 1 × 7
= 6 + 1 × 7 =6 × 7 + 1 × 7 =42 +1 =42 1
14 14 14
2 2
кратные
3. 2 3 t - 1 7 t = t × 2 3 - 1 7 = 7 × t
4 8 4 8 8
-
5 3 × 2 + 1 5 × 2 = 2 × 5 3 + 1 5 = 2 × 7 = 2
8 7 8 7 7 8 8 7
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №14
ЧИСЛА
7 19
-
П
РОСТЫЕ
7 ; 19
1 1
9 12
-
С
ОСТАВНЫЕ
9 3 ; 12 6
-
4
3
2
1
-
К
РАТНЫЕ
8 и 4; 8 : 4 (ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА!)
16 и 2; 16 : 2 (ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА!)
5
5
1 НЕТ
-
В
ЗАИМНО
ПРОСТЫЕ 9 ОБЩИХ
9 3
ДЕЛИТЕЛЕЙ
1
-
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ
-
8/15 И 15/8 ( 8/15 * 15/8 = 1)
-
¼ И 4 ( ¼ * 4 = 1)
-
а/в и в/а ( а/в *в/а = 1)
-
1 1/3 и ¾ ( 4/3 * ¾ = 1)
Произведение чисел равно 1 , следовательно, эти числа
называются ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ.
Деление. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №15
: заменить *
-
3/8 : 5/7 = 3 * 7 = 3 * 7 = 21
8 5 8 *5
40
дробь заменить обратной
: заменить *
-
7/8 * 2 = 7 * 1 = 7 * 1 = 7
8 2 8 * 2 16
дробь заменить обратной
: заменить *
3. 5 : 2/5 = 5 * 5 = 25 = 121/2
1 2 2
дробь заменить обратной
: заменить *
3
-
4 1/2
: 11/2 = 9 : 3 = 9 * 2 = 3 = 3
2 2 2 3 1
дробь заменить обратной
: заменить *
-
m : а = m * 1 = m
k k a k a
дробь заменить обратной
Чтобы дробь разделить на дробь НАДО:
-
Первую дробь ПЕРЕПИСАТЬ.
-
Деление заменить умножением.
-
Для второй дроби записать ОБРАТНУЮ.
ОТНОШЕНИЯ. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №16
Правило: Отношением двух чисел называют частное этих чисел.
Читаем: Найдите отношение: 2 к 5
Пишем: 2 : 5 = 2
5
-
Отношение показывает:
- во сколько раз первое число больше второго;
- какую часть первое число составляет от второго;
-сколько % составляет первое число от второго.
-
Если две величины измерены одной и той же единицей измерения, то отношение их значений называют также
отношением этих величин.
( отношением масс; отношением длин; отношением площадей)
-
Числа 2/3 и 3/2 взаимно-обратные, поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 называют взаимно обратными.
Читаем: Какую часть число а составляет от числа в.
Пишем: а : в или а
в
Читаем: Сколько процентов число а составляет от числа в.
Пишем: а × 100%
в
Задача: В классе 40 учащихся , из них 8 учащихся учатся на «5».
Какую часть составляют отличники? 8 : 40 = 8/40 =1/5
Сколько процентов составляют отличники? 8 × 100% = 20%
40
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №17
Пропорции.
РАВЕНСТВО ДВУХ ОТНОШЕНИЙ НАЗЫВАЮТ ПРОПОРЦИЕЙ.
Пример: 3,6 : 1,2 = 6,3 : 2,1 или 3,6 = 6,3
1,2 2,1
С помощью букв пропорцию записывают a : в = с : d
крайние члены
a
: в = с
: d
средние члены
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ:
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
a × d = с × в
крайние члены
П
ример:
0,5 : а = 2 : 13
средние члены
а × 2 = 0,5 × 13
2а = 6,5
а= 3,25.
Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.
Верная пропорция 0,5 : 2= а : 13
0,5 : а = 2 : 13
13: а = 2 : 0,5 !!!!
Координаты на прямой. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №18
I.
-
Числа со знаком «+» (+7 или 7; 2/3= + 2/3; +6,3= 6,3) называются
положительными
-
Числа со знаком «-» ( - 7; - 2/3; - 6,3) называются
отрицательными
-
-нуль
II.
КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ
А В
-3 0 1 2,5
-
Прямая
-
Начало отсчета (нуль)
-
Единичный отрезок
-
Положительное направление
Число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой точки.
А( -3); В (2,5); О (0)
III.
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПО КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ
ВПРАВО НА
3 ЕД.ОТ. «+»
-4
ВЛЕВО НА 4 ЕД. ОТ. «-« 3
Противоположные числа. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №19
-
-5 0
+ 5
Числа, отличающиеся только ЗНАКОМ, называются
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ.
ПРИМЕРЫ: 7 и -7; -2,7 и 2,7 ; -3/4 и 3/4
0
Число а
-а противоположное
-N 0 N
ЦЕЛЫЕ (z)
-
МОДУЛЬ ЧИСЛА
М(-5) 0 С(3)
5 единичных отрезков 3 един. отрезков
РАССТОЯНИЕ от начала координат до точки -МОДУЛЬ числа.
О
бозначение:
а или - а
П
римеры: 7
= 7; - 7 = 7 ; 0 = 0.
ЧИСЛА =
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
Сравнение чисел. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №20
-5 -2 0 2 4
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ НУЛЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ
-
П
ОЛОЖ.
ЧИСЛА НУЛЬ;
-
О
ТРИЦ.
ЧИСЛА НУЛЬ;
-
П
ОЛОЖ.
ЧИСЛА ОТРИЦ. ЧИСЛА;
Из двух отрицательных чисел БОЛЬШЕ то,
у
которого МОДУЛЬ МЕНЬШЕ.
Из двух
отрицательных чисел БОЛЬШЕ то,
которое БЛИЖЕ к НУЛЮ.
П
римеры:
1. 9 0;
2. 0 -8 ;
3. -15 2;
4
. - 7 * -
9;
-7 - 9
+7 +9 - 7
- 9.
Раскрытие скобок ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №21
+
( -а
+в -с) = -а +в -с
Скобки опускаю, знаки в скобках НЕ меняю!
- ( -а
+в -с) = +а - в + с
Скобки опускаю, знаки в скобках МЕНЯЮ!
РЗУ : а ( в - с) = ав - ас
а ( в + с) = ав + ас
Чтобы число умножить на скобку надо, это число умножить на каждое слагаемое!
Примеры:
-
3
,5
- (2,7 - 4,2) = 3,5 - 2,7 + 4,2 =……….
Скобки опускаю, знаки в скобках МЕНЯЮ!
-
-
2с +
( 4с - 1/3 с ) + с = -2с +4с - 1/3с + с =………
Скобки опускаю, знаки в скобках НЕ меняю!
-
0,6 (х +7) - 0,5(х -3) = 0,6х + 4,2 -0,5х +1,5 =……..
Чтобы число умножить на скобку надо, это число умножить на каждое слагаемое!
ПОДСКАЗКА ПО РАБОТЕ С ЧИСЛАМИ. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №22
-
ОТРИЦАТЕЛЬ НЫЕ ЧИСЛА
СЛОЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ
1.ПОСТАВЬ ЗНАК «МИНУС» 1.ПОСТАВЬ ЗНАК «ПЛЮС»
2.ВЫПОЛНИ СЛОЖЕНИЕ 2.ВЫПОЛНИ УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ
- 8 -17 = - (8+17) = -25 -18× (-20) = 360
-18÷ (-2) = 9
II) ЧИСЛА С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ
СЛОЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ
1. ПОСТАВЬ ЗНАК БОЛЬШЕГО…… 1. ПОСТАВЬ ЗНАК МИНУС
2.ВЫПОЛНИ ВЫЧИТАНИЕ 2. ВЫПОЛНИ УМНОЖЕНИЕ ИЛИ
ДЕЛЕНИЕ
-14 + 89 = + (89-14)= 75 - 5* 36 = - (5* 36)= - 180
67 - 124= - (124 - 67)= - 57 45 : (-9)= - (45:9)= - 5