Решение рациональных неравенств методом интервалов

Тема: Решение рациональных неравенств методом интервалов

Цель: сформировать умения решать рациональные неравенства методом интервалов

Задачи:

• Образовательные: повторение основных приемов преобразования и решения рациональных неравенств методом интервалов.

• Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, выработка математической зоркости и критичности мышления.

• Воспитательные: воспитание трудолюбия, интереса к предмету, умения внимательно выслушивать ответы.

Ход урока.

1.Организационный момент.

2.Актуализация знаний.

Пример 1: Решим неравенство (х + 6) (х + 1) (х - 4) ˂0

Для его решения можно воспользоваться свойством чередования знаков функции.

Отметим на координатной прямой нули функции

-6 -1 4 x

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4), (4; +∞). Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка (4, +∞), так как в нем значение функции

f (х)=(х+6)(х+1)(х-4) заведомо положительно. Это объясняется тем, что при значениях х, взятых правее наибольшего из нулей функции, каждый из множителей х+6, х+1 и х-4 положителен. Используя знания чередования знаков, определим, двигаясь по координатной оси справа налево, знаки данной функции в каждом из остальных промежутков.

- + - +

-6 -1 4 x

Множество решения неравенства (х+ 6) (х+ 1) (х - 4) ˂0 является объединение промежутков

(-∞; -6) и (-1;4)

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Пример 2: Решим неравенство (х+8)(х-1)²(х-5)˂0

Левая часть этого неравенства представляет собой произведение, в которой входит множитель (х-1)². Этот множитель при любом значениях х, кроме 1,является положительным числом. Поэтому при всех х≠1 произведение (х+8)(х-5). Значит, данное неравенство равносильно системе

{

Применив к неравенству (х+8)(х-5)˂0 метод интервалов, найдем, что множество его

+ ― +

―8 5 х

Чтобы найти все решения неравенства необходимо из промежутка (-8;5) исключить число 1.

+ ― +

―8 1 5 В результате получим (-8;1)ᴗ(1;5)

Пример 3: Решим неравенство (х²+9)(5-х)(х+)˂0

В произведение (х²+9)(5-х)(х+) входит множитель х²+9, который при любых х принимает положительное значение. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству (5-х)(х+)˂0

Приведем последнее неравенство к виду

―(х-5)(х+)˂0,

(х-5)(х+)>0.

Применим метод интервалов

+ ― +

― 5

Ответ: (―∞; ―)ᴗ(5;+∞)

3. Выполнения заданий

Решить неравенство методом интервалов

1. (х+7)(х+1)(х-4)˂0

2. х(х+8)(х-8)>0

3. (х+9)(х-2)(х-15)˂0

4. (х+)(х-)(х-4)˂0

5. ―4(х+0,9)(х-3,2)˂0

6. (7х+21)(х-8,5)˂0

7. (х²+1)(хх-8)˂0

8. Х²(х+7)(х-5)˂0

Найдите при каких значениях х

а) произведение (х+48)(х-37)(х-42) положительно

б) произведение (х+0,7)(х-2,8)(х-9,2) отрицательно

При каких значениях х имеет смысл выражение:

√(2х+5)(х-17)

√х(х+9)(2х-8)

Д/З (х+3)²(х-2)˂0

(х-2)(х-5)(х-12)>0

(х+10)(х+2)(х-3)(х-14)˂0

(х²+17)(х-6)(х+2)>0