Исследовательская работа на тему Полуправильные многогранники и многоугольники

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШКОЛЬНИКОВ КРЫМА

«ИСКАТЕЛЬ»

Секция «Математическое моделирование»

Полуправильные

многогранники и многоугольники

Работу выполнил

____________________

учащийся ____ класса

________________

Научный руководитель

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………3

І. ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ…………………………………….4

I.1. Виды полуправильных многогранников……………………………………....4

II. ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ……………………………........9

II.1. Определение полуправильных многоугольников…………………………….9

II.2. Свойства полуправильных равноугольных многоугольников ……….……9

II.3. Свойства полуправильных равносторонних многоугольников …………..17

II.4. Полуправильные многоугольники на правильных паркетах ……………...26

II.5. Построение полуправильных многоугольников……………………………28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………..30

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….….31

Приложения………………………………………………………………..…….….32

Введение

Правильные многогранники и правильные многоугольники хорошо изучены и описаны. Существует пять видов правильных многогранников и бесконечное число правильных многоугольников, известны их свойства, формулы объемов и площадей. Менее популярны полуправильные многогранники, и совсем мало информации о полуправильных многоугольниках. При этом всем известный футбольный мяч в своем классическом виде, а также некоторые кристаллы имеют форму полуправильных многогранников, а полуправильные многоугольники присутствуют в паркетах. Не являясь идеальными телами и фигурами, тем не менее, полуправильные многогранники и многоугольники обладают рядом интересных свойств, не все из которых доказаны. Присущая этим телам и фигурам двойственность повышает интерес к их изучению, делает его логически завершенным и полным.

Объект исследования: полуправильные многогранники и многоугольники.

Цель исследования: изучить свойства полуправильных многогранников и многоугольников.

Задачи исследования: 1) изучить литературу по данному вопросу; 2) систематизировать информацию о полуправильных многогранниках и полуправильных многоугольниках; 3) сформулировать и доказать дополнительные свойства полуправильных многоугольников.

I. ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

I.1. Виды полуправильных многогранников

Если в определении правильного многогранника допустить, чтобы гранями многогранника могли быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными (равноугольно полуправильными). Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон) и все многогранные углы равны.

Как и в случае правильных многогранников, вместо второго условия (равенства многогранных углов) в определении полуправильного многогранника можно было бы сформулировать более слабое условие, а именно: в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма на рисунке 1 имеет своими гранями два правильных пятиугольника - основания призмы, и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы. К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. На рисунке 2 изображена пятиугольная антипризма, полученная из пятиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол 36. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед - это тела Архимеда. Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 3). Из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три ребра. Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 4) и усеченный икосаэдр (рис. 5). Известно, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 6) и усеченный додекаэдр (рис. 7).

Для того, чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 8). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название - кубооктаэдр. Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 9). У него двадцать граней - правильные треугольники и двенадцать граней - правильные пятиугольники, т.е. все грани икосаэдра и додекаэдра.

Заметим, что повторное применение операции усечения к полученным полуправильным многогранникам уже не дает полуправильных многогранников. Дело в том, что многогранные углы данных многогранников не являются правильными. Поэтому многоугольники, получающиеся в сечении этих углов, также не будут правильными. Например, если операцию усечения применить к кубооктаэдру, то в сечениях многогранных углов получим прямоугольники, но не квадраты. Тем не менее, существует полуправильный многогранник (рис. 10), похожий на усеченный кубооктаэдр, гранями которого являются правильные восьмиугольники, шестиугольники и квадраты. Этот многогранник называется усеченным кубооктаэдром, хотя он не получается из кубооктаэдра операцией усечения. Аналогично, если операцию усечения применить к икосододекаэдру, то в сечениях многогранных углов получим прямоугольники, но не квадраты. Тем не менее, существует полуправильный многогранник (рис. 11), похожий на усеченный икосододекаэдр, гранями которого являются правильные десятиугольники, шестиугольники и квадраты. Этот многогранник называется усеченным икосододекаэдром, хотя он не получается из икосододекаэдра операцией усечения.

Рассмотрены 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся - многогранники более сложного типа. На рисунке 12 изображен ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов. На рисунке 13 изображен ромбоикосододекаэдр, поверхность которого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. На рисунках 14, а, б представлены соответственно так называемые плосконосый (иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит из двух или трех типов граней: квадраты, треугольники, пятиугольники и треугольники, квадраты, пятиугольники и треугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.

Полуправильные многогранники называют также равноугольно полуправильными многогранниками, из-за того, что все их многогранные углы равны. Рассмотрим многогранники, двойственные к полуправильным многогранникам. Их центры граней являются вершинами полуправильных многогранников. Они образуют класс так называемых равногранно полуправильных многогранников. У этих многогранников равны все грани, которые, однако, не являются правильными многоугольниками, и равны все двугранные углы. На рисунках 15, а-в показаны многогранники, двойственные к усеченному тетраэдру, усеченному кубу и усеченному октаэдру.

На рисунках 15, г-н показаны многогранники, двойственные к остальным полуправильным многогранникам.

Рис. 15

Многогранник на рисунке 15, е называется ромбододекаэдром. Его гранями являются 12 ромбов. Форму этого многогранника имеет кристалл граната [4-5].

II. ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

II.1. Определение полуправильных многоугольников

По определению выпуклый многоугольник называется правильным, если он равноугольный и равносторонний. Однако существует интересный класс фигур, не обладающих этими двумя свойствами одновременно. Мы будем называть полуправильными следующие многоугольники:

а) равноугольные, у которых стороны равны через одну;

б) равносторонние, у которых углы равны через один.

Примером полуправильного многоугольника первого рода является прямоугольник, а второго - ромб. Из описания полуправильных многоугольников видно, что у каждого из них четное число вершин; обозначим

его через 2n [1, 25].

II.2. Свойства полуправильных равноугольных многоугольников

1. Противоположные стороны равноугольного многоугольника параллельны.

Действительно, выполняя обход многоугольника, замечаем, что каждая сторона повернута относительно предыдущей на внешний угол, то есть на (рис. 2.1). Следовательно, сторона А_n+1A_n+2 повернута относительно стороны A₁A₂ на сумму n внешних углов, то есть на 180º.

2. Если соединить вершины полуправильного равноугольного многоугольника через одну (все нечетные или все четные вершины), то получится правильный многоугольник (рис. 2.1).

Доказательство: треугольники А₁А₂А₃, А₃А₄А₅, A₅A₆A₇ , … равны по первому признаку, значит, А₁А₃ = А₃А₅ =… . С другой стороны, из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Обозначим внутренний угол полуправильного 2n-угольника через α_2n. Находим внутренние углы получившегося многоугольника: они равны

α_2n-(β+γ)= α_2n-(180º- α_2n)= 2α_2n-180º=2·180º· (1-)-180º=180º· (1-),

как и должно быть у правильного n-угольника.

Рис. 2.1

Рис.2.2

3. Около полуправильного равноугольного многоугольника можно описать окружность.

Опишем окружность около правильного n-угольника А₁А₃А₅… (рис. 2.2). Внутренний угол равноугольного 2n-угольника равен 180º (1-). Легко подсчитать, что дуга А₁А₂А₃ вдвое меньше градусной величины дуги А₃А₅А₁, значит, точка А₂ лежит на построенной окружности. Это относится и к другим вершинам: А₄, A₆, … .

4. Если число вершин полуправильного равноугольного многоугольника кратно 4, то большие диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Для доказательства используем свойство 2: эти диагонали являются также диагоналями правильного многоугольника с четным числом сторон, поэтому они пересекаются в одной точке - центре описанной около многоугольника окружности - и делятся этой точкой пополам. Если же число вершин полуправильного равноугольного многоугольника не кратно 4, то нетрудно построить пример (рис. 2.3), когда большие диагонали пересекаются в нескольких точках.

5. Центр окружности, описанной около полуправильного равноугольного 4n-угольника, является его центром симметрии.

Из свойства 4 следует, что при центральной симметрии относительно центра окружности вершины

Рис 2.3 многоугольника переходят в вершины;

следовательно, стороны тоже переходят в стороны.

6. Прямая, проходящая через середины двух параллельных сторон полуправильного равноугольного многоугольника, является его осью симметрии.

По свойству параллельных хорд окружности эта прямая проходит через центр описанной окружности. Из равенства соответствующих хорд по обе стороны от прямой следует симметричность соответствующих вершин многоугольника относительно проведенной прямой (рис. 2.4).

Рис.2.4

7. Пусть полуправильный равноугольный многоугольник имеет 2n вершин, тогда центр описанной около него окружности является его центром симметрии порядка n.

Это означает, что при повороте вокруг центра окружности на угол, кратный , многоугольник совмещается сам с собой. Это следует из свойств 2 и 3.

8. Сумма расстояний от внутренней точки до сторон (или их продолжений) полуправильного равноугольного многоугольника постоянна.

Как известно, таким свойством обладает правильный многоугольник. Если соединить внутреннюю точку правильного многоугольника с вершинами, то сумма площадей полученных треугольников равна площади многоугольника. Обозначив сторону многоугольника через a, а расстояния до сторон через х₀, x₁, х₂, х₃, … получим

… ,

Рис. 2.5

Пусть в данном многоугольнике сторона А₁А₆ больше стороны А₁А₂. Построим на А₁А₆ правильный 2n-угольник (рис. 2.5). Тогда все стороны исходного многоугольника (кроме трех) соответственно параллельны сторонам правильного многоугольника, а три (А₁А₆ и смежные с ней) лежат на сторонах правильного многоугольника. Следовательно, расстояния от внутренней точки М до сторон правильного многоугольника таковы:

где b₁, b₂, b₃ постоянны, а искомая сумма:

Рис.2.6

9. Если последовательно соединить середины сторон полуправильного равноугольного многоугольника, то получится полуправильный равносторонний многоугольник.

Действительно, по свойству 2 все малые диагонали полуправильного равноугольного многоугольника равны между собой. Стороны полученного многоугольника (рис. 2.6) вдвое меньше этих диагоналей, так как являются средними линиями треугольников А₁А₂А₃, А₂А₃А₄, A₃A₄A₅, … Используя свойство 7, можно установить, что углы этого многоугольника равны через один.

10. Точки пересечения малых диагоналей полуправильного равноугольного многоугольника образуют полуправильный равносторонний многоугольник.

Это свойство следует из свойств 6 и 7. При отражении относительно прямой l (рис. 2.4) исходный многоугольник переходит в себя, следовательно, треугольник А₃С₃С₂ совмещается с треугольником А₄С₃С₄, откуда С₂С₃=С₃С₄; аналогичные равенства справедливы и для остальных сторон. Равенство углов через один у многоугольника С₁С₂С₃С₄… легко выводится из свойства 7 или из

теоремы о том, что угол между двумя хордами равен полусумме соответствующих дуг.

11. Сумма квадратов расстояний от любой точки описанной окружности до вершин полуправильного равноугольного 2n-угольника равна 4nR².

Докажем свойство 11 для четных n. При этом достаточно заметить, что А₁А_n+1, A₂A_n+2, A₃A_n+3, … - диаметры описанной окружности; потому для любой точки М этой окружности .

В общем случае: пусть М - точка описанной окружности, О - центр окружности (рис. 2.7), тогда

Рис.2.7

так как

12. Площадь полуправильного равноугольного 2n-угольника со сторонами А₁А₂ = a, A₂A₃ = b равна

(См. рис.2.1) Эта площадь равна сумме площадей правильного n-угольника и n треугольников, равных ∆A₁A₂A₃. Мы уже нашли, что А₁А₂А₃=180º -

(при доказательстве свойства 1); теперь

Площадь правильного n-угольника А₁А₃А₅…А_2n-1 равна

По теореме косинусов для треугольника A₁A₂A₃

и окончательно

Например, площадь полуправильного равноугольного шестиугольника равна , а восьмиугольника - [1, 25-28].

13. Радиус окружности, описанной около полуправильного равноугольного

2n-угольника со сторонами a и b и углом α равен

Для доказательства воспользуемся тем, что окружность, описанная около полуправильного равноугольного многоугольника, является также описанной около правильного многоугольника, образованного соединением вершин данного многоугольника через одну (свойство 2) (рис.2.2). Выразим по теореме косинусов сторону правильного многоугольника:

Воспользуемся формулой радиуса окружности, описанной около правильного

n-угольника

, тогда

II.3. Свойства полуправильных равносторонних многоугольников

1. Если число вершин полуправильного равностороннего многоугольника кратно 4, то его противоположные стороны параллельны [1,28].

Выполняя обход многоугольника, замечаем, что каждая сторона повернута относительно предыдущей на внешний угол (рис.2.8). Внутренние углы многоугольника по определению равны через один, значит, и внешние углы равны через один. Пусть внешние углы равны α и β, всего внешних углов 4n, тогда 2nα + 2nβ = 360º. Следовательно, поротивоположные стороны полуправильного равностороннего многоугольника повернуты относительно друг друга на сумму nα + nβ = 180º.

Рис.2.8

2. Если соединить вершины полуправильного равностороннего многоугольника через одну, то получится правильный многоугольник (рис.2.9) [1,28].

Доказательство: равнобедренные ∆А₁А₂А₃ = ∆ А₃А₄А₅ = ∆A₅A₆A₇ =... (по двум сторонам и углу между ними), значит, А₁А₃ = А₃А₅ =… . С другой стороны, из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Пусть углы при основаниях равнобедренных треугольников равны γ. Обозначим внутренние углы полуправильного 2n-угольника через α_2n и β_2n. Находим внутренние углы получившегося многоугольника: они равны

α_2n-(γ + γ)= α_2n-(180º- β_2n)= α_2n + β_2n -180º=2·180º· (1-)-180º=180º· (1-),

как и должно быть у правильного n-угольника.

Рис.2.9

3. Большие диагонали полуправильного равностороннего многоугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам [1, 29].

Большие диагонали полуправильного равностороннего многоугольника являются также диагоналями правильного многоугольника, образованного соединением вершин через одну. Диагонали правильного многоугольника пересекаются в одной точке, следовательно, и диагонали полуправильного равностороннего многоугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис.2.10).

4. В полуправильный равносторонний многоугольник можно вписать окружность [1,28].

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника, то есть является точкой пересечения биссектрис. Значит, для доказательства этого свойства достаточно показать, что биссектрисы многоугольника пересекаются в одной точке. Большие диагонали полуправильного равностороннего многоугольника являются также диагоналями правильного многоугольника, образованного соединением вершин через одну. Диагонали правильного многоугольника пересекаются в одной точке и являются биссектрисами его углов, из этого следует, что эти диагонали также будут являтся биссектрисами углов полуправильного равностороннего многоугольника.

Рис. 2.10.

5. Центр окружности, вписанной в полуправильный равносторонний 4n-угольник, является его центром симметрии.

Из свойства 3 следует, что при центральной симметрии относительно центра окружности вершины многоугольника переходят в вершины; следовательно, стороны тоже переходят в стороны.

6. Большие диагонали полуправильного равностороннего многоугольника являются его осями симметрии[1, 29].

Большая диагональ является осью симметрии правильного многоугольника; треугольники, дополняющие правильный многоугольник до полуправильного, равны (рис. 2.10). Значит, полуправильный многоугольник является симметричной фигурой.

7. Пусть полуправильный равносторонний многоугольник имеет 2n вершин, тогда центр вписанной в него окружности является его центром симметрии порядка n

[1, 29].

Это означает, что при повороте вокруг центра окружности на угол, кратный , многоугольник совмещается сам с собой. Это следует из свойств 2, 4 и 5.

8. Сумма расстояний от внутренней точки до сторон полуправильного равностороннего многоугольника постоянна (рис. 2.11) [1, 29].

Рис.2.11

Если соединить внутреннюю точку полуправильного равностороннего многоугольника с вершинами, то сумма площадей полученных треугольников равна площади многоугольника. Обозначив сторону многоугольника через a, а расстояния до сторон через х₀, x₁, х₂, х₃, … получим:

…,

9. Если последовательно соединить середины сторон полуправильного равностороннего многоугольника, то получится полуправильный равноугольный многоугольник (рис.2.12) [1, 29].

Рис.2.12

Рассмотрим полуправильный равносторонний многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅… с серединами сторон М₁, М₂, М₃, М₄, М₅… . Соединим последовательно середины сторон. Отсеченные треугольники являются равнобедренными и равными через один по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что стороны образованного многоугольника равны через одну. Пусть углы при основаниях равнобедренных треугольников с четными вершинами равны α_, а с нечетными - β. Тогда М₁М₂М₃ = 180º - (α + β) = М₂М₃М₄ = … . Значит, данный многоугольник является полуправильным равноугольным.

10. Точки пересечения малых диагоналей полуправильного равностороннего многоугольника являются вершинами полуправильного равноугольного многоугольника [1, 29].

Рассмотрим полуправильный равносторонний многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅… , в котором проведены малые диагонали А₁А₃ , А₂А₄ , и т. д., пересекающиеся в точках В₁, В₂, В₃ и т. д. (рис.2.13). Образовались несколько серий равных треугольников:

∆А₁А₂А₃ = ∆ А₃А₄А₅ = ∆A₅A₆A₇ =... (по двум сторонам и углу между ними);

∆А₂А₃А₄ = ∆ А₄А₅А₆ = ∆A₆A₇A₈ =... (по двум сторонам и углу между ними);

из этого следует, что ∆А₁В₁А₂ = ∆ А₃В₂А₂ = ∆A₃В₃A₄ =... (по стороне и двум прилежащим углам);

далее ∆В₁А₂В₂ = ∆ В₃А₄В₄ = ∆В₅A₆В₆ =... (по двум сторонам и углу между ними), и, следовательно, В₁В₂ = В₃В₄ = В₅В₆ =...;

также ∆В₂А₃В₃ = ∆ В₄А₅В₅ = ∆В₆A₇В₇ =... (по двум сторонам и углу между ними), и, следовательно, В₂В₃ = В₄В₅ = В₆В₇ =... .

Углы образованного многоугольника являются вертикальными соответствующим углам в равных треугольниках, т. е. равны. Получаем, что у образованного многоугольника углы равны, и стороны равны через одну, значит он является полуправильным равноугольным многоугольником.

Рис. 2.13

11. Сумма квадратов расстояний от любой точки вписанной окружности до точек касания полуправильного равностороннего 4n-угольника равна 4nr².

Рассмотрим полуправильный равносторонний многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅… , в который вписана окружность с центром L₁, Точки касания обозначим N₁, N₂, N₃ и т. д. (рис.2.14).

Заметим, что N₁N_n+1, N₂N_n+2, N₃N_n+3, … - диаметры вписанной окружности; потому для любой точки М этой окружности:

.

Рис. 2.14

12. [1, 29] Площадь полуправильного равностороннего 2n-угольника со стороной а и одним из углов β равна

.

Рис. 2.15

Эта площадь равна сумме площадей правильного n-угольника и n треугольников, равных ∆MAB, которые являются равнобедренными (рис.2.15):

Площадь правильного многоугольника, который образовался при соединении вершин полуправильного многогоугольника через одну, равна

По теореме косинусов для треугольника ∆MAB:

и окончательно

13. Радиус окружности, вписанной в полуправильный равносторонний

2n-угольник со стороной а и углами α и β, равен

Рис.2.16

Доказательство: достроим полуправильный 2n-угольник до правильного n-угольника (рис.2.16). Рассмотрим треугольник A₂A₃В₂ . Один из углов этого треугольника, смежный с углом α, равен (180º - α), второй, смежный с углом β, равен (180º - β), третий угол - (α + β - 180º). По теореме синусов выразим стороны треугольника:

A₂В₂ = , A₃В₂ =

Сторона образованного правильного многоугольника равна сумме трех частей:

В₁В₂ = В₁A₁ + А₁A₂ + A₂В₂ = В₂A₃ + А₁A₂ + A₂В₂ =

Подставляя полученное выражение для стороны в формулу для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, имеем:

,

II.4. Полуправильные многоугольники на правильных паркетах

[2-3] Известно, что если правильный многоугольник можно расположить на целочисленной решетке так, чтобы вершины многоугольника лежали в узлах решетки, то это квадрат. Интереснее дело обстоит с полуправильными (равноугольными и равносторонними) многоугольниками. Во второй половине двадцатого века Д. Боллом было показано, что равноугольный многоугольник с вершинами в целых точках обязан быть четырехугольником или восьмиугольником. Что касается равносторонних многоугольников на решетке , то можно предъявить такие многоугольники с любым заданным четным числом сторон.

Множество узлов целочисленной решетки на плоскости можно рассматривать так же, как множество узлов квадратного паркета. Этот паркет является одним из одиннадцати правильных паркетов, то есть замощений плоскости правильными многоугольниками без пробелов и наложений, при которых любые два многоугольника либо не пересекаются, либо пересекаются по вершине или ребру и для которых все узлы замощения эквивалентны.

Если равноугольный многоугольник лежит на каком-либо из паркетов, то количество его сторон может быть равным 3, 4, 6, 8, 12, 16 или 24. Равносторонний же многоугольник с любым заданным числом сторон можно предъявить для каждого из паркетов, кроме квадратного и усеченного квадратного, для которых дополнительно необходимо потребовать выполнения условия четности числа сторон.

Паркетом называется любое покрытие плоскости правильными многоугольниками без пробелов и наложений, при котором любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо не пересекаются вовсе. Правильные многоугольники, составляющие паркет, мы будем называть базисными плитками паркета, а их вершины - узлами паркета.

Для каждого узла определим его тип как порядок, в котором базисные плитки паркета встречаются при обходе данного узла против часовой стрелки. Так, например, в квадратном паркете в каждом узле сходятся четыре квадрата, что означает, что тип узла этого паркета есть 4, 4, 4, 4 или (4)4.

Будем говорить, что паркет правильный, если его можно наложить самого на себя так, чтобы любая заданная вершина совместилась с другой произвольной заданной вершиной. Очевидно, что все вершины правильного паркета имеют одинаковый тип. Он называется типом правильного паркета.

Существует ровно 11 различных типов правильных паркетов. Три из них составлены из базисных плиток одного типа: (4)4; (6)3 и (3)6. Еще шесть включают в себя по два типа разных базисных плиток: 4, 8, 8; 3, 12, 12; 3, 6, 3, 6; (4) 3, 6; (3)3, (2)4; (2)3, 4, 3, 4. Наконец, последние два правильных паркета состоят из базисных плиток трех различных типов: 3, 4, 6, 4 и 4, 6, 12.

Будем говорить, что многоугольник F лежит на паркете T, если каждая вершина многоугольника F является узлом паркета T.

Какие полуправильные многоугольники могут быть расположены на каждом из правильных паркетов?

На паркетах (4)4 и 4, 8, 8 равносторонний многоугольник может лежать тогда и только тогда, когда количество его сторон четно. На каждом из остальных паркетов можно расположить равносторонний многоугольник с произвольным числом сторон.

На каждом из паркетов можно расположить равноугольный n-угольник тогда и только тогда, когда n принимает одно из значений, указанных в нижеследующей таблице:

(6)3

(3)6

3, 6, 3, 6

3, 12, 12

(2)3, 4, 3, 4

3, 4, 6, 4

Число n

4, 8

4, 8, 16

3, 4, 6, 8

3, 4, 6, 12

3, 4, 6, 8, 12, 24

II.5. Построение полуправильных многоугольников

Способы построения полуправильных равноугольных многоугольников [1, 26]:

а) Строим правильный n-угольник А₁А₃А₅… А_2n-1, описываем около него окружность. Затем находим (с помощью циркуля) на окружности точки А₂, А₄, А₆,…, А_2n, удаленные на одно и то же расстояние от соответствующих вершин n-угольника: А₁А₂ = А₃А₄ =… (рис.2.17)

б) Строим треугольник А₁А₂А₃ по двум произвольным сторонам и известному углу между ними, описываем около этого треугольника окружность. Затем с помощью циркуля последовательно находим остальные вершины.

в) Строим правильный многоугольник и отсекаем от него равные равнобедренные треугольники с вершинами в вершинах многоугольника (рис. 2.18).

Рис. 2.17 Рис. 2.18

Способ построения полуправильного равностороннего многоугольника:

строим правильный многоугольник и на его сторонах как на основаниях строим равные равнобедренные треугольники (рис. 2.19)

Рис. 2.19

Заключение

В процессе поиска и сбора информации по теме работы было выявлено, что полуправильные многогранники - тела Архимеда - изучены и описаны достаточно полно. Полуправильные многоугольники, а именно, равноугольные со сторонами, равными через одну, и равносторонние с углами, равными через один, недостаточно описаны, информация о них найдена лишь в некоторых небольших статьях. В работе сформулированы и доказаны известные и дополнительные свойства полуправильных многоугольников, выведены формул радиусов вписанных и описанных окружностей.

Между равноугольными и равносторонними многоугольниками существует взаимосвязь, которую видно уже на примере ромба и прямоугольника. Так, если соединить середины сторон ромба, то получим прямоугольник, и наоборот. Около прямоугольника можно описать окружность, а в ромб - вписать. И тот, и другой имеют оси симметрии, центр симметрии и т. д. В работе эти и другие свойства обобщаются на случай произвольного n. Двойственность равноугольных и равносторонних полуправильных многоугольников видна в их свойствах: если последовательно соединить середины сторон полуправильного равностороннего многоугольника, то получится полуправильный равноугольный многоугольник и наоборот; точки пересечения малых диагоналей полуправильного равностороннего многоугольника являются вершинами полуправильного равноугольного многоугольника и наоборот и т. д.

Двойственны и полуправильные многогранники (равноугольные и равногранные). Двойственность повышает интерес к изучению полуправильных тел и фигур, делает его логически завершенным и полным.

Список использованной литературы

1. Лоповок Л. Полуправильные многоугольники //Квант. - 1971г. - №3 - стр. 25-29

2. Нурлигареев Х. Полуправильные многоугольники на правильных паркетах//

Ярославский педагогический вестник. - 2011. - №3. - Том III (Естественные науки)

3. Вавилов В.В., Устинов А.В. Многоугольники на решетках. - М.: МЦНМО, 2006.

4. www.geometry2006.narod.ru/Lecture/SemRegPol/SemRegPol.htm

5. ru.wikipedia.org/

Приложения

1.Формулы площадей поверхностей и объемов полуправильных многогранников

Название полу

правильного многогранника

Формула площади поверхности,

S

Формула объема,

V

Кубооктаэдр

Икосододекаэдр

Усеченный

тетраэдр

Усечённый

куб

Усечённый

октаэдр

Усечённый

додекаэдр

Усечённый

икосаэдр

Ромбокубо

октаэдр

Ромбоусечён

ный кубоктаэдр

Ромбоикосо

додекаэдр

Ромбоусечён

ный икосододекаэдр

Курносый

куб

Курносый

додекаэдр

2. Число граней, вершин и ребер полуправильных многогранников

8 треугольников

6 квадратов

12

24

Икосододекаэдр

20 треугольников

12 пятиугольников

30

60

Усечённый тетраэдр

4 треугольника

4 шестиугольника

12

18

Усечённый октаэдр

6 квадратов

8 шестиугольников

24

36

Усечённый куб

8 треугольников

6 восьмиугольников

24

36

Усечённый икосаэдр

12 пятиугольников

20 шестиугольников

60

90

Усечённый додекаэдр

20 треугольников

12 десятиугольников

60

90

Ромбокубоктаэдр

8 треугольников

18 квадратов

24

48

Ромбоикосододекаэдр

12 квадратов

8 шестиугольников

6 восьмиугольников

48

72

Ромбоусечённый икосододекаэдр

30 квадратов

20 шестиугольников

12 десятиугольников

120

180

Усечённый икосаэдр

12 пятиугольников

20 шестиугольников

60

90

Курносый куб

32 треугольника

6 квадратов

24

60

Курносый додекаэдр

80 треугольников

12 пятиугольников

60

150

3. Образцы паркета с использованием в орнаменте полуправильных многоугольников

Ромбы

Прямоугольники и квадраты

Полуправильные восьмиугольники и квадраты

Полуправильные восьмиугольники и квадраты

Мозаика Пенроуза

Мозаика Пенроуза, плитки Пенроуза - непериодическое разбиение плоскости, апериодические регулярные структуры, замощение плоскости ромбами двух типов - с углами 72° и 108° («толстые ромбы») и 36° и 144° («тонкие ромбы»), такими (подчиняются пропорции «золотого сечения</</font>»), что любые два соседних (то есть имеющих общую сторону) ромба не образуют вместе параллелограмм.