7


  • Учителю
  • Сборник заданий для подготовки учащихся 9 классов к олимпиадам

Сборник заданий для подготовки учащихся 9 классов к олимпиадам

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание:
предварительный просмотр материала

Сборник заданий

для подготовки учащихся 9 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 91, которые после вычеркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.

2. Решите систему уравнений:

3. постройте графики уравнений |y| + y + |x| = 6; x + y + 3 = 0 и найдите площадь полученной фигуры.

4. Упростить .

5. Найти угол В в треугольнике АВС, если известно, что высоты, выходящие из А и С, пересекаются внутри треугольника и одна из них делится точкой пересечения на равные части, а другая в отношении 2 : 1, считая от вершины.

6. На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывает число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых - 600. Определить скорость трамвая.





Вариант 2

1. Найти, при каких значениях а система уравнений имеет четыре решения?

2. Найти два трехзначных числа, зная, что их сумма кратна 498, а частное кратно 5.

3. За весну Обломов похудел на 25 %, затем за лето прибавил в весе 20 %, за осень похудел на 10 %, а за зиму прибавил 20 %. Похудел ли он или поправился за год?

4. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений его обоих катетов, имеет радиус 25 см. Найдите периметр треугольника.

5. Один рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой - за 6 часов. Сколько должен работать третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его производительность равна средней первых двух?

6. Построить график уравнения:

2x2 + 4x + 2y2 - 4y - 5(x + 1)  (y - 1) + 4 = 0.



Вариант 3

1. Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше - доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

2. Не решая уравнения 9x2 + 18x - 8 = 0, найдите x13 + x23, где х1, х2 - его корни.

3. Решить уравнение: .

4. Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 17, делится на 17 и имеет сумму цифр, равную 17.

5. С каждого проданного килограмма свеклы фермер должен заплатить 20 % налога. Сколько денег заплатит фермер в бюджет со 150 кг свеклы, если её цена с налогом - 7 р. за 1 кг?

6. Около окружности описан четырехугольник ABCD, в котором A = 90°, C = 60°, AB = 2 см, AD = 3 см. Найти периметр четырехугольника.



Вариант 4

1. Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца. Сколько снесет дюжина куриц за 12 дней?

2. Решить уравнение: (x2 - x -1)2 - x3 = 5.

3. Найти значение выражения:

.

4. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60º. Доказать, что трапеция равнобедренная.

5. В уравнении x2 - ax + a - 1 = 0, где а - действительное число, найдите а, при котором x12 + x 22 принимает наименьшее значение.

6. Легковой автомобиль и грузовик испытывали на проселочной дороге. При этом легковой автомобиль проехал на 12 км больше, чем грузовик, но бензин у него кончился на 0,5 часа раньше. Какая машина проедет дальше и на сколько при той же заправке по асфальтовой дороге, если скорость на асфальте на 16 км/ч больше, чем по проселку (время расхода бензина не зависит от качества дороги)?



Вариант 5

1. Решите систему уравнений:

2. Найдите все значения а, при которых неравенство

(a - 2)  (x2 + 2x)  4 не выполняется ни при каком х.

3. Пешеход прошел моста и услышал звук подъезжающего к мосту автомобиля. Если он побежит назад, то достигнет начала моста одновременно с автомобилем. Если он побежит вперед, то будет у конца моста также одновременно с автомобилем. с какой скоростью бежит пешеход, если скорость автомобиля 60 км/ч?

4. В пересечении двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 см и 6 см. Найдите радиус окружности.

5. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:

x2 - xy - 2x + 3y = 11.

6. Найдите четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 1680.



Вариант 6

1. Сравните 12723 и 51318.

2. Два поезда движутся друг другу навстречу по параллельным путям - один со скоростью 60 км/ч, а другой 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 с. Какова длина первого поезда?

3. Решите систему уравнений:

4. Докажите, что если а, b, c - длины сторон треугольника, то уравнение b2x2 + (b2 + c2 - a2)  x + c2 = 0 не имеет действительных корней.

5. Найти значение выражения:

при х = 2005.

6. В трапеции ABCD: AD = 30, BC = 20, AB = 6, CD = 8 (AD, BC - основания). Найти радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD.



Вариант 7


1. За круглым столом сидит 1991 представитель четырех племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы - рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного племени сидят рядом.

2. Найдите корни многочлена:

2x5 + x4 - 10x3 - 5x2 + 8x + 4.

3. Численность населения в городе в первый год возросла на 8 %, а затем два года подряд убывала на 5 % ежегодно. В результате в городе стало 272 916 жителей. Сколько жителей в городе было первоначально?

4. В треугольнике АВС на стороне АВ = 9 выбрана точка D таким образом, что AD = 2. Найдите площадь треугольника АВС, если BAC = 45 °, а углы ACD и ABC равны.

5. При каких значениях параметра а система

имеет единственное решение?

6. Доказать, что уравнение

(x - a)  (x - b) + (x - b)  (x - c) + (x - c)  (x - a) = 0

имеет действительные корни при любых действительных числах a, b, c.



Вариант 8

1. В юности М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20 %, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20 %?

2. На множестве действительных чисел найти решения системы уравнений:

3. Клетки квадрата 15  15 раскрашены в красный, синий и зеленый цвета. Докажите, что найдутся по крайней мере две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета будет поровну.

4. Стоимость сырья для производства йогуртов возросла на 30 %, а заработная плата - на 5 %. Как изменится себестоимость производства 1 единицы продукции, если доля расходов на заработную плату в общих производственных расходах составляет 20 %, а на сырье - 80 %?

5. Пароход от Нижнего Новгорода до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

6. Изобразите на координатной плоскости область, задаваемую неравенствами y  2x2 + 4x - 1 и x + y  2. Аналитически найдите такое р, при котором отрезок прямой х = р, лежащий внутри области, имеет наибольшую длину.



Вариант 9

1. Найдите все значения, которые может принимать выражение x2 + 3y2, если х - у = 1.

2. Воздушная разведка обнаружила две большие группировки вражеских танков, причем в первой из них было не более 950 танков. Штандартенфюрер Макс Отто фон Штирлиц получил задание установить точное количество танков. Однажды Айсман проговорился, что вторая группировка недоукомплектована и составляет ровно 95 % от первой. Вскоре Штирлиц услышал, как Мюллер сказал, что во вторую группировку поступили новые танки в количестве, составляющем 23 % от численности первой группировки, при этом во второй группировке стало более 1000 танков. Вечером радистка Кэт сообщила о выполнении задания. Сколько танков в каждой группировке?

3. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике - 50, по информатике - 48. Когда учеников опросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ «в двух» дали вдвое меньше человек, чем ответ «в одной», а ответ «в трех» - втрое меньше, чем ответ «в одной». Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?

4. Постройте график функции .

5. Когда пассажир проехал половину всего пути, то лег спать и проснулся только тогда, когда осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Сколько часов он спал, если он ехал всего 18 часов?

6. Сторона квадрата KLMN равна 2. На его сторонах KL и ML взяты точки А и В так, что периметр треугольника ALB равен 4. Найдите ANB.



Вариант 10

1. Докажите, что при любых отличных от нуля числах a, b и c хотя бы одно из квадратных уравнений: ax2 + 2bx + c = 0; bx2 +2cx + a = 0; cx2 + 2ax + b = 0 - имеет корень.

2. На острове всех мужчин женаты и всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

3. Построить график функции y = |x2 - 1| + |x2 - 9|.

4. Трехзначное число начинается цифрой 4. Если ее перенести в конец числа, то получим число, составляющее исходного. Найдите исходное трехзначное число.

5. Двое рабочих могут напилить за день 5 поленниц дров, а наколоть 8 поленниц. сколько поленниц дров они должны напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день?

6. В треугольнике со сторонами 12 см, 15 см и 18 см построена окружность, центр которой лежит на большей стороне, и она касается двух других сторон треугольника. Найдите длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону.




 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал