Урок в 11 классе по теме «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида аrcsin x+ b cos x=c»

План-конспект элективного занятия по алгебре и началом анализа в 11 классе. Повторение. 2 часа.

Тема: «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида

аrcsin x+ b cos x=c»

Работа учителя МКОУ ГСШ Капустиной Н.П.

Урок в 11 классе (повторение)

Тема: Различные методы решения одного тригонометрического вида

arcsin x+b cos x=c

Цели урока:

• Образовательные

-решение одного тригонометрического уравнения sinx+ cosx=1всеми способами и выбрать наиболее рациональный

-Указать внешние признаки, по которым устанавливается способ решения.

• Развивающие

-Развить творческую и мыслительную деятельность учащихся через решение разнотипных заданий

-Умение анализировать; сравнивать математические объекты;

-Способствовать развитию интеллектуальных качеств (самостоятельность мышления, способность к переключению, общению, обобщению);

-Формировать навыки самостоятельной и коллективной работы.

• Воспитательные

-Привить учащимся интерес к предмету через решение задач;

-Способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты;

-Формировать умение ясно и четко излагать свои мысли и грамотно выполнять математические задачи, воспитывать веру в свои силы.

Ход урока.

1. Устная работа.

Не решая уравнений, сообщите каким способом, следовало бы решать каждое уравнение.

1. 2cos²3x+sin 3x-1=0

cos²3x=1-sin²3x

2sin²3x-sin3x-1=0

(алгебраический способ)

2. 7соs²x-sinxcosx+4 sin²x=5; Однородное уравнение

7cоs² x-sin x cos x+4 sin²x=5(sin²x+cos²x);

3. 2tgx-3=2 ctgx; алгебраический способ

Ctg x= 1/tg x

4. 3 sinx +4 cosx=2; введение вспомогательного угла уравнение видаacosx+bsinx=c

5. Cos 3x *cos 2x = sin 3x*sin2x

Косинус суммы

6. 3sin²x + sin 2x =3

Прийти к однородному уравнению

Sin2x=2sin x cos x

3=3cos²x+ 3 sin²x

7. Cosx - cos 3x= sin 2xразность косинусов

-2 sin 2x *sin(-x)=sin 2x

Sin2x( 2 sinx-1)=0 произведение равно нулю

8. Сos 2x= (cos x- sin x)

П=0

cos²x-sin²x=(cos x-sin x)

(cos x - sin x) (cosx+sin x+2)=0

2. Новый материал (Слово учителя).

Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений разберем на примере уравнения sinx + cosx =1

Замечание

1 .При решении могут получаться внешне различные ответы.

2. если решение получено в виде нескольких формул, то необходимо проверить, не повторяют ли эти формулы одни и те же значения х.

Перед вами различные способы ( оформить на доске) решения этого уравнения

1. Введение вспомогательного угла.

2. Универсальная подставка sinL=

X=П+2Пn, n€ Z

3. Сведение к однородному уравнению 2-ой степени, т.е.

4. Преобразование суммы в произведение (формулы приведения).

5. Возведение в квадрат обеих частей уравнения.

6. Разложение левой части на множители.

7. Замена переменных.

8. Графический метод.

9. Метод оценивания.

10. Замена соsx=±.

II B

Рассмотрим общий способ решения уравнения asin x + b cos x=c, который вызывает серьезные затруднения при решении.

Способ введения вспомогательного угла

a sin x + cos x=c

A =

Cos f= , sin f=

a sin x + b cos x= A ∙sin x+ A cos x=A sin (x+f)

или a sin x + b cos x=A cos (x-f)

Значит,

Sin(x+f)=, где

IIC

Решить уравнение (самостоятельно) с проверкой у доски

1 способ. Метод введения вспомогательного аргумента

Решение. Cos x + sin x=1

A==. (разделим обе части на

sinx=

Заметим, что =сos= sin

coscos x +sin sin x=

cos(x-) =,

x-=, n€Z/

x₁=

x₂=2

Множество решений уравнения изобразим на числовой окружности, отметив ключевые точки

y

x

Ответ:

Х=2

2 способ Универсальный ( Этот способ применяют лишь тогда, когда не видно путей решения)

Пусть , nj, то , cosx=, причем tgне существует, если cos,

т.е. х=П+2Пn, n

Выполнив замену, получаем

1+t²0, то

,

,

2t(1-t)=0

t=0 или 1-t=0

t=1

Тогда,

или

X=2; х=

y

x

Ответ: 2; х=

3 способ. Решение используя формулы двойного аргумента для и и основное тригонометрическое тождество получим:

2

2=0 ( разделим 2 0 =0 не является решением)

tg-tg²=0

Значит, tg или g,

X=

y

x

2π

Ответ: х

X=

4 способ. ( Использование тригонометрии)

(Формула приведения)

;

;

2=1 ;

2

;

;

Х-=±

y

x

2π

Ответ: х=

X=2

5 способ. Возведение в квадрат обеих частей.

(Замечание:При возведение в квадрат получаем неравносильное преобразование, поэтому полученные корни нужно проверить! )

1+

X=n, nZ

N=0, x=-решение y

x

2π

N=1, x=-решение

N=2, x=- является решением

N=3, x=- не является решением

Ответ: х=

X=2

6 способ. Разложение на множители левой части

Решение ;

;

2;

;

2илиоднородное уравнениеcos

X=2 1-tg

+

X=

Ответ:X=2πn,n∈Z

7 способ.X=π/2+2πK,K∈Z7 способ. Замена переменных.

Решение. Пусть , ,

То

1. a+b=1

2. Добавим к нему основное тригонометрическое тождество.

или

Ответ: х=2 , x=

8 способ.графический sinx+ cosx=1.

Построим графики двух функций

y=, y=1-

Ответ: х

X=

9 способ. Метод оценивания.

sin x+ cos x=1.

Решение.

Рассмотрим четыре случая.

а) Если х чет., то 0, значит

, ,

То ,

б) Если х чет., то 0 -1

и

в) Если х чет.,

Значит

г) Если х

1

Значит

Итак, решения могут быть только в граничных точках (

Проверим каждую.

Х=0, х= , х=П, х=

Ответ: корни х=2Пк, кили х=

10 способ. Замена

Решение.

(иррациональное уравнение)

1-

1-

-2

-2

или

Х=ПM, mx=

X=2

Ответ: x=

Х=

Вывод. Видим, что одно уравнение можем решить различными способами. При этом простота и красота зависит от способа решения.

Выбор наиболее целесообразных методов решения достигается практикой!

3. Задание на дом.

Решите уравнения любыми разными способами.

А)

Б)

В)

Оценки за работу.