Задание С2 для ОГЭ

Движение по прямой

1. Задание 22 № 126. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.

Решение.

Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна км/ч. Тогда скорость пешехода, шедшего из пункта B, равна км/ч. Время движения пешехода из пункта A до места встречи ч на полчаса меньше, чем время движения другого пешехода ч. Составим уравнение: . После преобразования оно примет вид: Корни уравнения 6 и −3. Значит, скорость пешехода, шедшего из А, равна 6 км/ч.

Ответ: 6.

2. Задание 22 № 178. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В. Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А.

Решение.

Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна км/ч. Тогда скорость туриста равна км/ч. Время движения пешехода до места встречи ч на полчаса больше, чем время движения туриста ч. Составим уравнение: . После преобразования оно примет вид: Корни уравнения 5 и −4. Значит, скорость пешехода равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

3. Задание 22 № 311558. Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Решение.

Обозначим скорость ( в км/ч) автомобиля за , а время (в часах), за которое мотоцикл проезжает от А до С за . Тогда имеем , откуда . Поскольку весь путь от А до В автомобиль преодолел за время , получаем:

,

откуда . Значит, расстояние от А до С равно (км).

Ответ: 225 км.

4. Задание 22 № 311570. Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Обозначим искомую скорость (в км/ч) за . Плот прошёл 34 км, значит, он плыл 17 часов, а яхта 16 часов. Таким образом, имеем:

,

откуда находим .

Ответ: 16 км/ч.

5. Задание 22 № 311600. Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение.

За первые три часа пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 150 километров и расстояние от него до города. В стало равным 600 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей равна 120 км/ч, значит, они встретятся через 5 часов после выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль до встречи находился в пути 8 часов, и проехал за это время 400 километров.

Ответ: 400 км.

6. Задание 22 № 311601. Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение.

За первый час пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 55 километров и расстояние от него до города В стало равным 435 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей равна 145 км/ч, значит, они встретятся через 3 часа после выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль до встречи находился в пути 4 часов, и проехал за это время 220 километров.

Ответ: 220 км.

7. Задание 22 № 311615. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости - за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?

Решение.

Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.

Ответ: 2.

8. Задание 22 № 314507. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.

Решение.

Пусть скорость пешехода - x км/ч, тогда скорость велосипедиста равна (x + 11) км/ч. Пешеход прошёл свою часть пути за , а велосипедист проделал свой путь за . Эти два времени равны, составим уравнение:

Корень −22 не подходит нам по условию задачи. Скорость пешехода равна 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч.

9. Задание 22 № 314559. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 27 км, вышел турист. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел пешеход и встретил туриста в 12 км от А. Найдите скорость туриста, если известно, что она была на 2 км/ч меньше скорости пешехода.

Решение.

Пусть скорость туриста - x км/ч, тогда скорость пешехода равна (x + 2) км/ч. Пешеход прибудет к месту встречи через , если отсчитывать время от момента начала движения туриста. А турист проделал свой путь за . Эти два времени равны, составим уравнение:

Корень −12 не подходит нам по условию задачи. Скорость туриста равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

10. Задание 22 № 314593. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из В в А вышел пешеход. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что они встретились в 10 км от пункта В.

Решение.

Пусть скорость пешехода - x км/ч, тогда скорость велосипедиста равна (x − 8) км/ч. Пешеход прошёл свою часть пути за , а велосипедист проделал свой путь за . Эти два времени равны, составим уравнение:

Корень −40 не подходит нам по условию задачи. Скорость пешехода равна 4 км/ч, следовательно, скорость велосипедиста 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

11. Задание 22 № 314605. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В. Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А.

Решение.

Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна км/ч. Тогда скорость туриста равна км/ч. Время движения пешехода до места встречи ч на полчаса больше, чем время движения туриста ч. Составим уравнение: . После преобразования оно примет вид: Корни уравнения 5 и −4. Значит, скорость пешехода равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

12. Задание 22 № 333023. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Пусть длина поезда l м . Скорость поезда относительно пешеход равна 63-3=60 км/ч, или м/с. Следовательно, поезд проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям пешехода заl : секунд.

Составим и решим уравнение:

; .

Длина поезда составляет 950 м.

Ответ: 950 м.

13. Задание 22 № 333102. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч пешехода за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Пусть длина поезда l м. Скорость поезда относительно пешехода равна км/ч, или м/c. Следовательно, поезд проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям пешехода за l: секунд.

Составим и решим уравнение: ; . Длина поезда составляет 650 м.

Ответ: 650 м.

14. Задание 22 № 333319. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 144 км, скорость первого велосипедиста равна 24 км/ч, скорость второго - 28 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение.

За то время, пока первый велосипедист делал остановку, второй велосипедист проехал . Всё остальное время они одновременно находились в пути, значит, второй велосипедист за это время проехал Таким образом, суммарно он проехал 84 км.

Ответ: 84 км.

15. Задание 22 № 338510. Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение.

Пусть скорость второго велосипедиста равна тогда скорость первого велосипедиста равна Время движения второго велосипедиста на 3 часа больше времени движения первого Составим уравнение и решим его:

По условию задачи нам подходят только положительные корни, поэтому скорость второго велосипедиста равна

Ответ: 10.

16. Задание 22 № 338552. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 18 км/ч. Через час после него со скоростью 16 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час - третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 4 часа после этого догнал первого.

Решение.

Пусть скорость третьего велосипедиста равна км/ч, а ч- время, за которое он догнал второго велосипедиста. Начало отсчёта времени - момент, когда первый велосипедист начал движение. Тогда за время третий велосипедист догонит второго, и к данному моменту второй велосипедист проедет расстояние км, а третий - расстояние км. Аналогично за время третий велосипедист догонит первого, и к этому моменту первый велосипедист проедет км, а третий - км. Составим систему уравнений:

Умножим первое уравнение на а второе - на и вычтем первое уравнение из второго:

По условию задачи подходит только положительный корень, то есть Подставляя во второе уравнение найдём

Ответ: 24.

17. Задание 22 № 338561. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

Решение.

Пусть - расстояние между A и В, км/ч - скорость первого автомобилиста, тогда км/ч - скорость второго автомобилиста на первой половине пути,. Первый автомобилист проделал весь путь за часов, а второй за часов. Время, за которое они проехали весь путь от A до B одинаково, следовательно, можно составить уравнение:

По условию задачи скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч, следовательно, скорость первого автомобилиста равна 44 км/ч.

Ответ: 44.

18. Задание 22 № 338584. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение.

Пусть - скорость мотоциклиста, - скорость велосипедиста. Пример расстояние между городами за единицу. Мотоциклист и велосипедист встретились через 15 минут, то есть через часа, после выезда, поэтому Мотоциклист прибыл в B на 40 минут раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений:

Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста равна 1, а время, затраченное на весь путь равно одному часу.

Ответ: 1.

19. Задание 22 № 338603. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 3 часа - со скоростью 100 км/ч, а последние 4 часа - со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.

Средняя скорость, это отношение пройденного пути ко времени, за который пройден этот путь. За первые 5 часов автомобиль проехал 5 · 60 = 300 км, за следующие три часа - 3 · 100 = 300 км и за последние 4 часа - 4 · 75 = 300 км. Весь путь составил 300 + 300 + 300 = 900 км, а суммарное время движения - 5 + 3 + 4 = 12 часов, откуда средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути 900/12 = 75 км/ч.

Ответ: 75.

20. Задание 22 № 338867. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго - 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение.

Пусть км - расстояние, которое проехал первый велосипедист до места встречи, тогда км - расстояние, которое проехал второй велосипедист до места встречи. К моменту встречи первый велосипедист находился в пути часов, а второй - часов. Эти величины равны, составим уравнение:

Таким образом, второй велосипедист проехал 82 − 56 = 26 км до места встречи.

Ответ: 26.

21. Задание 22 № 338904. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

Решение.

Пусть км/ч - скорость первого бегуна, тогда км/ч - скорость второго бегуна. Из условия известно, что второй бегун пробежал круг за часа, при этом через час после старта первому бегуну оставался 1 км до окончания первого круга, составим уравнение:

Таким образом, скорость первого бегуна равна 13 км/ч.

Ответ: 13.

22. Задание 22 № 338919. Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км - со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км - со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.

Средняя скорость - это расстояние, разделённое на время движения. Первый отрезок пути автомобиль проехал за 300/6 = 5 часов, второй - за 300/100 = 3 часа, третий - за 300/75 = 4 часа. Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составила

Ответ: 75.

23. Задание 22 № 338945. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 90 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Решение.

Пусть - соответственно скорости автомобилиста и мотоциклиста, - расстояние соответственно между пунктами и и между пунктами и - время за которое мотоциклист догонит автомобилиста, - время, за которое автомобилист доедет из пункта C и пункт B - время, через которое мотоциклист выезжает за автомобилем. Автомобилист доедет до пункта за время значит, он проедет расстояние До пункта B он доберётся за время Мотоциклист преодолеет расстояние a за время а половину расстояния от А до С за время Получаем систему уравнений:

Из первого и четвёртого уравнений: Из первого уравнения: Из третьего уравнения: Подставляя полученные соотношения во второе уравнение, получаем:

По условию задачи подходит только положительный корень, следовательно, расстояние между пунктами A и С равно 100 км.

Ответ: 100.

24. Задание 22 № 338961. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую - со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.

Средняя скорость - это отношение пройденного пути к времени движения. Пусть весь путь составляет км, тогда первую половину пути автомобиль проехал за часов, а вторую - за часов. Средняя скорость автомобиля равна:

Ответ: 61,6.

25. Задание 22 № 338972. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение.

Пусть км/ч - скорость первого автомобиля, тогда км/ч - скорость второго автомобиля. Первый автомобиль прибыл к финишу на 1 час быстрее второго, откуда:

Корень −60 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость первого автомобиля равна 80 км/ч.

Ответ: 80.

26. Задание 22 № 338992. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение.

Пусть км/ч - скорость велосипедиста на пути из А в В, тогда км/ч - скорость велосипедиста из В в А. На путь туда и обратно велосипелист затратил одинаковое количество времени, при этом, сделав остановку на 3 часа по пути из В в А, откуда:

Корень −20 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость велосипедиста на пути из А в В равна 10 км/ч.

Ответ: 10.

27. Задание 22 № 338995. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Решение.

Пусть - скорость реки, тогда - скорость катера в стоячей воде, - расстояние от А до места встречи, - расстояние, которое пройдёт плот от места встречи до момента возвращения катера в В. Примем расстояние между А и В за единицу. К месту встречи плот и катер прибыли одновременно, откуда За то время, пока катер преодолеет расстояние плот преодолеет расстояние откуда Получаем систему уравнений:

Плот за всё время движения прошёл расстояние Поскольку всё расстояние между А и В мы приняли равным единице, плот пройдёт 0,4 пути из А в В к моменту возвращения катера в пункт В.

28. Задание 22 № 339049. Дорога между пунктами A и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 14 км. Турист прошёл путь из А в В за 4 часа, из которых спуск занял 2 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 3 км/ч?

Решение.

Пусть скорость, с которой турист спускался, равна х км/час, тогда его скорость на подъёме равнах − 3 км/ч, длина спуска равна 2х км, длина подъёма равна 2(х − 3) км. Поскольку весь путь равен 14 км, имеем: 2х + 2(х − 3) = 14, откуда х = 5 км/ч.

Ответ: 5.

29. Задание 22 № 339056. Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,7 км/ч, а другой - со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

Решение.

Второй человек придёт на опушку через часа. За это время первый пройдёт км, следовательно, до опушки ему останется пройти 4 − 2,4 = 1,6 км. Теперь второй путник идёт навстречу первому и их встреча произойдёт через часа. За это время первый человек успеет пройти ещё км. Таким образом, он пройдёт от точки отправления 2,4 + 0,6 = 3 км.

Ответ: 3.

30. Задание 22 № 341283. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда равна 86 − 6 = 80 км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна

Ответ: 400 м.

31. Задание 22 № 341288. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 44 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 4 км/ч, за 81 секунду. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда равна 44 − 4 = 40 км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна

Ответ: 900 м.