Справочные таблицы по алгебре и началам анализа

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (некоторые).

Простейшие тригонометрические уравнения

(по формулам)

Разложение на множители

(вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, формулы сокращенного умножения)

Введение новой переменной

(приведение уравнения

к квадратному)

Однородное

тригонометрическое

уравнение первой

степени

Примеры.

Решите уравнение:

2cos -=0.

Решение:

2cos -=0,

2cos =,

cos = ⁄ 2,

=+arсcos⁄2 +2πп,пЄZ

=+π ⁄6 +2πп, пЄZ,

х = + 4π ⁄6 +8πп, пЄZ,

х =+ 2π ⁄3 +8πп, пЄZ.

Ответ: + 2π ⁄3+8πп, пЄZ.

Решите уравнение

sinx - sin x =0

Решение:

sinx - sin x =0

sin x (sin x -1) =0

1) sin x =0

х = πп, пЄZ

2) sin x -1 =0

sin x =1

х=π ⁄2 +2πп, пЄZ

Ответ: πп, π ⁄2 +2πп,пЄZ.

Решите уравнение

2сosх - cos х -1 =0

Решение:

2сosх - cos х -1 =0

Пусть cos х =у, где |у | ≤1, тогда

2у-у-1 =0

D=9, у= 1, у = - ,

|1 | ≤1 , | - | ≤1

1)cos х=1

х=2πп, пЄZ

2)cos х = -

х =+arсcos(-)+2πп, пЄZ

х =+(π- arсcos)+2πп,

х =+( π- π⁄ 3) +2πп, пЄZ

х = + 2 π⁄ 3 +2πп, пЄZ

Ответ: 2πп, + 2 π⁄ 3 +2πп, пЄZ.

Решите уравнение

sin x + cos х =0

Решение:

sin x + cos х =0 | : cos х0

tg x+1=0

tg x= -1

х=- π ⁄ 4 + πп, пЄZ

Ответ: - π ⁄ 4 + πп, пЄZ .

Решите уравнение

2 sin (п+х) +3 cos (3 п⁄ 2-х)=0.

Решение:

2 sin (п+х) +3 cos (3 п⁄ 2-х)=0,

sin (п+х) =- sinх,

cos (3 п⁄ 2-х) =- sinх.

Уравнение приводится к виду:

2 sin х -3 sinх =0,

sinх (2 sinх -3) =0,

1) sinх =0, х= πп, пЄZ,

2) 2 sinх -3 =0, sinх =1,5.

Уравнение не имеет корней, так как │sinх │≤1.

Ответ: πп, пЄZ.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (некоторые).

Определение. Уравнение, в котором переменная находится в степени,

называется показательным.

Приведение уравнения к виду: а = а

Разложение на множители

(вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, формулы сокращенного умножения)

Введение новой переменной

(приведение к квадратному уравнению)

Логарифмирование

Решение простейших показательных неравенств.

Решите уравнение:

100=0,01.

Решение:

100=0,01,

10 =10, в силу монотонности функции:

4х+2 = -2,

4х=-4,

х=-1.

Ответ: -1.

Решите уравнение:

7 - 14 7=5.

Решение:

7 - 14 7=5,

7(7 -14) =5,

7 35=5,

7=, 7=7, х=-1.

Ответ: -1.

Решите уравнение:

9+8 3=9.

Решение:

9+8 3=9,

(3)+8 3=9,

Пусть 3=у, где у>0,

у+8у=9, у+8у-9 =0,

D=100, у=1 или у = -9,

1) 3=1, 3=3, х=0,

2) 3=-9, -9<0,

Решений нет.

Ответ: 0.

Решите уравнение:

2=3.

Решение:

2=3,

x=log3.

Ответ: log3.

Решите неравенство:

0,5< 4.

Решение:

0,5< 4,

(2 ) < 4,

2 < 2,

Показательная функция

у=2возрастает, так как основание 2 > 1.

Данное неравенство равносильно неравенству:

-7+3х < 2,

3х < 9,

х < 3.

Ответ: (-,3)

СПРАВКА: Простейшее показательное уравнение а= в, где а > 0 и а ≠ 1.

Область значений функции у = а- множество положительных чисел. Поэтому в случае в< 0 или в=0 уравнение а= в не имеет решений.

Функция у = а на промежутке (- , ) возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (некоторые).

Определение. Уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифма,

называется логарифмическим.

По определению

логарифма

Потенцирование

Введение новой переменной

(приведение к квадратному уравнению)

Примеры

Решение простейших логарифмических неравенств

Решите уравнение:

log (2х+1) =1

Решение:

log (2х+1) =1,

log (2х+1) =3,

по определению логарифма: 2х+1=3 ,

2х=26, х=13.

Проверка:

log (2 13+1) =

= log 27= log 27 =

= log 3=1, 1=1.

Ответ: 13.

Решите уравнение:

lg (2-х)= 2 lg4- lg2.

Решение:

lg (2-х)= 2 lg4- lg2,

lg (2-х)= lg16- lg2,

lg (2-х)= lg 8,

2-х= 8, х=-6.

Проверка:

lg (2+6)= lg8

2 lg4- lg2= lg16- lg2=

= lg 8

Ответ: -6.

Решите уравнение:

lgх =3-2 lgх.

Решение:

lgх =3-2 lgх,

Обозначим lgх через у.

у=3-2у,

у=-3 или у=1.

lgх=-3, или lgх =1,

х=0,001. х=10.

Проверка:

1) lg0,001=9,

3-2lg 0,001=9,х=0,001-корень уравнения.

2) lg10=1, 3-2lg10=1,

х=10-корень уравнения.

Ответ: 0,001, 10.

Решите уравнение:

5=7.

Решение:

5=7,

По определению логарифма

1-3х = log 7,

х =- log 7.

Ответ: - log 7.

Решите неравенство:

log (х-3) < 2.

Решение:

log (х-3) < 2,

log (х-3) < log 25,

х-3>0,

х-3<25,

х >3,

х < 28, 3 < х < 28.

Ответ: (3,28).

СПРАВКА: Простейшее логарифмическое уравнение log х =в.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (некоторые).

Определение. Иррациональными уравнениями называют уравнения,

в которых под знаком корня содержится переменная.

Возведение в п-ю степень

обеих частей уравнения

По определению корня.

Графический.

Решите уравнение:

=х-1.

Решение:

=х-1, возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

1+4х-х= х-2х+1,

2 х-6х=0, х =0,или х=3.

Проверка:

1) х =0, =1, 0-1=-1,

1-1,

0-не является корнем уравнения,

2) х=3,==2, 3-1=2,

2=2,

3-является корнем уравнения.

Ответ: 3.

Решите уравнение:

=х-3.

Решение:

=х-3,

По определению корня

уравнение =х-3

равносильно системе:

5-х=(х-3),

х-3 ≥ 0.

5-х=х-6х +9,

х ≥ 3.

х-5х +4 =0,

х ≥ 3.

х =4,

х =1, х=4.

х ≥ 3.

Ответ: 4.

Решите уравнение:

= -2х +3.

Решение:

= -2х +3.

Построим графики функций

у = и у = -2х +3 в одной системе координат.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Абсцисса точки пересечения графиков функций равна 1.

Ответ: 1.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ТЕМА «Применение производной к исследованию функции».

Найдите экстремумы функции.

Найдите промежутки возрастания, убывания функции.

Найдите наибольшие, наименьшие значения функции.

Алгоритм.

1.Область определения функции.

2.Производная.

3.Критические точки функции (производная равна нулю).

4. Отметьте на числовой прямой знаки производной,

Определите поведение функции (возрастание, убывание).

5.Найдите точки экстремумов функции (х).

6.Найдите значения функции в точках экстремумах.

7.Запишите ответ.

Алгоритм.

1.Область определения функции.

2.Производная.

3.Критические точки функции (производная равна нулю).

4. Отметьте на числовой прямой знаки производной,

определите поведение функции (возрастание, убывание).

5.Запишите ответ.

Пример. Найдите промежутки возрастания, убывания функции f(х)= х -3х-7х+1.

Алгоритм.

1.Область определения функции.

2.Производная.

3.Критические точки функции (производная равна нулю).

4.Проверить, принадлежат ли критические точки указанному промежутку.

Если «да»: найти значение функции в критических точках и на концах промежутка,

Если «нет»: найти значение функции на концах указанного промежутка.

5.Выбрать среди найденных значений функции наибольшее и наименьшее.

6.Записать ответ.

Пример. Найдите экстремумы функции

у=0,5 х-5х.

Решение:

1. D(у): R. 2.у=х-5.

3. у=0, х-5=0, х=5, 5ЄD(у), значит 5-критическая точка функции.

4.

у _ +

У 5 х

(-,5): у(0)=0-5=-5<0-функция убывает,

(5,): у(6)=6-5=1>0-функция возрастает.

5.min=у(5)=0,5 5-5 5=-12,5

Ответ: min =у(5)=-12,5.

Решение:

1. D(у): R. 2.у=х-6х-7.

3. у=0, х-6х-7 =0, х=7,х=-1,

7ЄD(f), -1ЄD(f) , значит

7 и -1 -критические точки функции.

4.

f (х)

f (х) -1 7 х

(-, -1):у(-2)=(-2)-6(-2)-7= 9 >0-функция возрастает,

(-1,7): у(0)=-7 <0-функция убывает,

( 7,): у(8)= )=8-6 8-7= 9>0-функция возрастает.

Ответ: функция возрастает при х Є (-, -1] и

[7, ), функция убывает при х Є[-1,7].

Пример. Найдите наибольшие, наименьшие значения функции f(х)=х -1,5х-6х+1 на отрезке [-2,0].

Решение:

1. D(у): R. 2. f (х)=3х-3х-6.

3.f (х)=0, 3х-3х-6=0, х=-1,х=2,

-1 и 2 -критические точки функции.

4. -1 Є[-2,0] , 2 Є[-2,0],

f (-1)= (-1) -1,5(-1)-6(-1)+1=4,5

f (0)=1,

f (-2)= (-2) -1,5(-2)-6(-2)+1=-1.

5. min = f (-2)=-1, max = f(-1)=4,5

[-2,0] [-2,0]

Ответ: min = f (-2)=-1, max = f(-1)=4,5.

[-2,0] [-2,0]

ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА.

Определение. Логарифмом положительного числа в по положительному и отличному от 1 основанию а

называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в.

Обозначение.

Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов

Примеры

Обдумывая ситуацию с показательным уравнением 2=6, математики ввели в рассмотрение новый символ log , который назвали логарифмом по основанию 2, и с помощью этого символа корень уравнения

2=6 записали так:

х =log6 (читается: «логарифм числа 6 по основанию 2»)

_______________________

Основное логарифмическое тождество

_________________________

logв

а = в

log 7

Например, 5 = 7.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом. Вместо символа

log 4 пишут lg 4.

logа = 1

log1 =0

log 7, log 7,

1.Вычислить, используя определение логарифма:

log 5= 4, lg 10=4, log 8 = -3, log 125= log 5=3,

log = log8=-2, lg 0,0001= lg 0,1 = lg 10=-4.

2.Найдите значение выражения, используя основное логарифмическое тождество:

3+ log 9 3 log 9

2 =2 2 =8 9=72,

3.Вычислите, используя свойства логарифмов:

log 2+ log 3 = log ( 2 3)= log 6=1,

log7- log= log(7 ) = log = log3=-2,

log 49 log 7 2 log 7 2

log 7 log 7 log 7 1

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

ТЕМА «ПРОИЗВОДНАЯ».

Найдите производные функций.

Вычислите значение производной

функции в данных точках.

Решите уравнение.

Решите неравенство.

Производная суммы: (х +у ) =х+у

f(х)=(х+ х)=(х)+(х)=2х+3 х.

(су)=с (у)

f(х)=(5 х)=5 (х)=5 2х=10х.

(-23х)=-23(х)=-23 3 х=-39 х.

(кх )=к (кх + с )=к

f(х)=(6х)=6, (12х+6)=12,

(-54х)=-54, (-7,8х - 4)=-7,8.

Производная числа равна нулю.

78=0, 6,4=0, ()=0.

Производная степени: (х)=п х

(х)=23 х, (х)=-14 х=-14 х

Производная произведения:

(в с) = в с + в с

f (х)= х(5х-7)

f(х)= (х)(5х-7)+х(5х-7) =2х(5х-7)+

+ х5=10 х -14х+5 х=15 х-14х.

Производная частного:

=

==.

1.у= 5х+ 12х-4х+21, у (1)-?

у =(5х+ 12х-4х+21)=

=(5х)+ (12х)-(4х)+(21)=

=5(х)+ 12(х)-4(х)+(21)

=52х+123 х-4 1+0=10х+36 х-4.

у (1)=10 1+36 1-4=42.

2. f (х)=2COS(2х-π), f(0)-?

f(х)=2 (2х-π) SIN(2х-π)=4 SIN(2х-π)

f(0)= 4 SIN(2 0-π)=4 SIN(-π)=

=-4 SIN π=-4 0=0.

Производная сложной функции.

1. (COS2х)=-2 SIN2х,

2. ((2-5х)) =6 (2-5х) (2-5х) =

=6 (2-5х) (-5)=-30 (2-5х).

3. () =(4-х) =

=(0-2х)== .

1. Решите уравнение f(х )=0,

если f (х)=3 х-х.

Решение:

f(х)=(3 х-х) =(3 х) -(х)=

=6х-1.

f(х )=0, 6х-1=0

6х=1,

х=1/6.

Ответ:1/6.

2.Решите неравенство:

f(х ) < 0, если f (х)=3х-4 х.

Решение:

f(х)=(3х-4х) =(3х) -(4х)

=3-8х.

f(х ) < 0,

3-8х< 0,

-8х < -3, :-8< 0 (знак меняем !)

х> -3: -8,

х>3/8.

Ответ: (3/8;).

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНТСВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

Приметы решения

Решите неравенство: ≤ 0

1.Составить функцию.

2.Найти область определения функции

3.Найти нули функции

4Показать промежутки, на которые разбивают нули функции и точки, не входящие в область определения, числовую прямую

5.Определить знаки на интервалах

6.Выбрать промежутки в соответствии с решаемым заданием (решаем неравенство …≤ 0 , …< 0 промежуток с «+»

…> 0 , … ≥0 промежуток с «-» )

7.Записать ответ.

F(х) =

D(F): Х+3≠0, Х≠ -3

F(х)=0, 2х(5-х) =0, 2х =0 или 5-х =0, х=0, х=5

+ - + -

________________________________________

- -3 0 5 х

F(-1)= ==-6 <0, F(-4)=………….. > 0

F(1)= =2 > 0 F(6)= =-12 ⁄9 < 0

Ответ: ( - 3, 0 ] [ 5, ).

Решить неравенство

х-3х +2< 0

Решение: F(х)= х-3х +2, D(F): х - любое. Нули функции х-3х +2=0, х=2 или х=1.

+ - +

________________________________________ F(0)= 0-3 0+2=2 > 0

- 1 2 х

Ответ: (1; 2).