Научно-исследовательская работа 'История счета'

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 8

городского округа г. Выкса Нижегородской области

Исследовательская работа:

История счета от камешков до компьютера

Отделение: физико-математическое

Секция: математика

Работу выполнил:

обучающийся 6 «В» класса

Водопьянов Владислав

Научный руководитель:

Учитель математики МБОУ СОШ №8

Стрижова Елена Александровна

Нижегородская область

г. Выкса, 2015

Аннотация.

Цель исследования: Изучить историю счета.

Задачи:

- показать сложность и не актуальность счета на пальцах

- раскрыть историю возникновения счета

- описать принцип действия абака

- описать старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании

- рассмотреть прорыв в технологиях к изобретению компьютера

- рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

Объект исследования: история счета

Предмет исследования: все способы счета

Гипотеза: Прост ли наш современный способ умножения? И как мы к нему пришли?

Методы: анализ, опыт, эксперимент, моделирование.

Содержание

Введение 4

Глава 1. История счета.

1.1. Домеханический период 6-10

1.2. Механический период 11-12

1.3. Электро-механический период 12-14

1.4. Электронный период 14-15

Глава 2. Абак - древний арифметический прибор 16-19

Глава 3. Старинные способы умножения

3.1.Русский крестьянский способ умножения. 20

3.2.Метод "решетки". 21-22

3.3.Индийский способ умножения. 22-23

3.4. Египетский способ умножения 23

Глава4. Занимательные задачи. 24-25

Вывод 26

Список литературы 27

Введение.

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В нашей работе предпочтение отдано истории счета.

За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы счета, сравнить их с нашими сегодняшними способами счета.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос. Было опрошено 50 учащиеся 5-6 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Глава 1. История счета.

Картина Н.П. Богданова - Бельского «Устный счет». (1985г)

История математики - это история открытий и совершенствования алгоритмов решения различных задач. Среди них вычислительные алгоритмы имеют древнюю и необычайно богатую историю. В истории вычислительной техники можно условно выделить следующие этапы:

Домеханический (ручной) - с древних, древних времен до н.э.

Механический - с середины XVII-го века н.э.

Электро-механический - с 90-х годов XIX-го века

Электронный - с 40-х годов XX-го века

Эти периоды включают всю эволюцию вычислений человечества, начиная от счета на пальцах и до вычислений на современных сверхмощных компьютерах. Первые устройства для счета существовали еще до нашей эры. В те времена люди считали, используя пальцы рук, которые и были счетными приборами. Именно пальцы и были первоосновой двоичной системы счета. Количество пальцев на руках человека стало основой позиционной системы счисления, ставшей, в конце концов, общепризнанной.

1.1. Домеханический период.

Пальцы человека были не только первым счетным прибором, но и первой вычислительной машиной. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях играли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи в полнее хватало. Однако фиксация результатов счета производилась различными способами: нанесение насечек, счетные палочки, узелки и др. Например, у народов доколумбовой Америки был весьма развит узелковый счет. Более того, система узелков выполняла также роль хранения и летописи, имея достаточно сложную структуру. Однако использование ее требовало хорошей тренировки памяти.

К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития. Известные средневековые математики рекомендовали в качестве вспомогательного средства именно пальцевой счет, допускающий довольно эффективные системы счета.

Однако в разных странах и в разные времена считали по-разному.

Несмотря на то, что у многих народов кисть руки является синонимом и фактической основой числительного "пять", у различных народов при пальцевом счете от одного до пяти указательный и большой пальцы могут иметь разные значения.

У итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный - цифру 2; когда же считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний - 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.

В древнерусской нумерации единицы назывались "перстами", десятки - "суставами", а все остальные числа - "сочислениями". Счет парами вплоть до середины XVIII века всегда занимал важное место в жизни россиян, поскольку имел качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр. Недаром говорили: "два сапога - пара", "двугривенный" и т.д.

Четверичная ситема счета основана на "перстах" руки, не считая большого пальца. Большой - вовсе не "перст", он "палесъ"! - в этой системе счисления означал конец счета, то есть являлся эквивалентом нуля.

Счет восьмерками также основан на пальцевом счете и, по сути, является сочетанием двоичной и четверичной систем. Элементы восьмеричной системы существовали на Руси еще в начале XX столетия. Это и восьмиконечный крест, который использовали староверы, и восьмиголосное церковное пение, и название русской питейной меры - "осьмушки", получаемой в результате последовательного троекратного деления пополам. В русской народной метрологии - это вообще деление какой-либо учетной нераздельной меры (например, куска пахотной земли, сажени или ведра вина) на части, соответствующие 1/2,1/4 и 1/8 долям.

Пальцевой счет девятками является, пожалуй, самым распространенным русским народным способом умножения на пальцах с помощью, так называемых девятериц - своеобразной таблицы умножения, обозначающей девятилетние сроки человеческой жизни. Наши предки в древности какое-то время считали девятками (впрочем, похоже, что они все-таки считали восьмерками, а с девяти начинался уже новый отрезок счета). С тех пор прошло не менее семи - девяти столетий, но мы до сих пор трепещем перед грозным "девятым валом" или устраиваем поминки по усопшему на девятый день после кончины.

Счет десятками возник около 3-2,5 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте. Претерпев небольшие изменения, древнеегипетская десятеричная система сначала обосновалась на Востоке (в Индии примерно к VI веку нашей эры, более известная как индийский счет), а затем через весьма активную торговлю в XI-XIII веках достигла пределов Древней Руси. От Орды Русь переняла десятичную систему счисления для весовых измерений и денежного счета, опередив в этом даже Европу, которая познакомилась с десятеричной системой счисления через арабов только в XIII веке, а усвоила ее и того позже. Однако окончательно эта система счисления прижилась в России вместе с реформами Петра I, пришедшими к нам из Европы.

В Древней Руси (особенно в Новгородской республике XII-XV веков) был широко распространен счет, основанный на счислении числа фаланг на руке "счетовода". Счет начинался с верхней фаланги "перстка" (мизинца) левой руки, а заканчивался нижней фалангой ("низ перста") указательного пальца. Большой, или "палесъ великий", левой руки при этом последовательно осуществлял "подсчет" суставов на растопыренной пятерне. Досчитав до двенадцати, "счетовод" обращался к своей правой руке и загибал на ней один палец. Так продолжалось до тех пор, пока все пальцы правой руки не оказывались сжатыми в кулак (поскольку число фаланг на четырех пальцах было равно 12, получалось 12 пятерок, то есть 60). Кулак в данном случае символизировал пятерку дюжин, то есть "шестьдесят".

Счет сороками (или "сороковицами") имел преимущественное распространение в Древней Руси. Число 40 (четыре десятка) долгое время называли "четыредцать" или "четыредесят". Но восемьсот лет тому назад для обозначения этого множества на святой и православной Руси впервые появилось название "сорок". До сих пор ученые спорят, откуда взялось это слово. Одни полагают, что его истоки находятся в греческом названии числа 40 - "тессаконта", другие утверждают, что оно появилось, когда Русь платила дань "сороковинами" (ежегодная ордынская подать, равная сороковой части наличного имущества). Третья группа исследователей убеждена, что это слово произошло от так называемых меховых денег и названия "сорочка ". Поэтому наши предки, например, на Русском Севере считали "сорока ми", а их собратья - сибирские звероловы вели счет "сорочками", то есть мешками для пушнины, в которых хранились звериные шкуры (преимущественно по 40 штук беличьих шкурок или по 40 собольих хвостов, шедших в XVI веке на пошив одной боярской шубы, именовавшейся "сорочкой").

О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для российского охотника, убить паука - означало избавиться от сорока грехов и т.д.

Все то - количество, которое превышало некое множество (например, "сорок"), превосходящее всякое воображение ("сорок сороков") и не умещавшееся в голове российского землепашца из-за своей ничем не ограниченной величины, называлось одним словом - "тьма".

Более сложные вычисления понадобились в 5 веке до н.э. тогда, когда стала развиваться торговля. С началом торговых отношений произошел следующий прорыв.

Долгое время считалось, что русские счеты ведут свое происхождение от китайского суаньпаня. Старинные китайские счеты СУАНЬ-ПАНЬ - одна из разновидностей абака, так называемой доски, разделенной на полосы, где передвигались камешки или кости, служившая для арифметических вычислений с древнейших времен до 18 века. Подобные вычислительные инструменты распространялись и развивались по всему миру. Родоночальником их был абак. К его потомкам числился так же и выше упомянутый суаньпань Со временем были созданы тысячи разновидностей абака, изготовленные из разных металлов.

1.2. Механический период.

Паскаль Блез (1623-1662 гг.) Французский математик, физик, философ, писатель.

Родился в семье одного из лучших юристов города Клермон-Ферран. Отец, глубоко интересуясь математикой, привил любовь к этой науке своему сыну, который впоследствии стал одним из крупнейших математиков и физиков Франции.

Невероятные успехи Блеза до сих пор считают ярким проявлением таланта, граничащего с гениальностью.

Первый свой трактат по математике он написал в возрасте 17 лет. Далее его открытия последовали одно за другим. Однако успех не вскружил ему голову и к 30-летнему возрасту он глубоко погрузился в религию и философию.

Блез стал последователем янсенизма -учения, противоречащего ортодоксальному католицизму и отрицавшего свободу воли, признававшего предопределение и требовавшего от своих адептов аскетизма и бескомпромиссного этического самосовершенствования.

Иезуиты были врагами янсенистов, и в связи с этим ученый написал книгу «Письма к провинциалу» -шедевр сатирической прозы, который доказывает полную несостоятельность иезуитских доктрин.

Последние годы жизни Паскаль провел в монастыре Пор-Руаяль-д-Шан - интеллектуальном сердце столицы Франции.

После смерти вышел в свет его труд «Мысли», который был издан близкими друзьями и почитателями. В «Мыслях» Паскаль развивает представление о трагичности и хрупкости человека, находящегося между двумя безднами - бесконечностью и ничтожеством (человек - «мыслящий тростник»).

Все, о чем писал Паскаль, было им глубоко пережито и выстрадано. О себе самом он говорил: «Я только с теми, кто стеная, ищет истину».

Теперь от домеханического периода в истории вычислительной техники перейдем к механическому периоду. Основной прорыв в счете начался в 17 веке - начало эры науки. Ученые сменили торговцев и начали изобретать новые вычислительные механизмы. Важным прорывом стало создание логарифмов и счетных палочек Джоном Непером. Позднее на смену ручному счету приходит более удобный. В 1642 г. француз Блез Паскаль (1623-1662), в дальнейшем великий математик и физик, в возрасте 19-и лет создал первую счетную машину.

Машина Паскаля работала по следующему принципу: при полном повороте колеса меньшего разряда механизм поворачивает колесо большего разряда на единицу. Так же и на счетах: когда младший разряд косточек заполнен, тогда добавляется косточка к старшему разряду.

Принцип связанных колес, заложенный Паскалем, почти на 3 столетия стал основой для создания последующих модификаций вычислительных устройств. В 1673 г. великий математик Готфрид Лейбниц, развив идею Паскаля, создал механический арифмометр, на котором можно было выполнять все четыре арифметические операции с многозначными числами.

В 1880 г. русский изобретатель В.Т.Однер создал арифмометр с зубчаткой с переменным количеством зубцов. Более того, в 1890 г. он наладил массовый выпуск арифмометров, нашедших применение во всем мире.

(Jozeph-Maria Jacquard, 1752 - 1834) изобретатель ткацкого стана для узорчатых материй. Сын ткача, он поступил в учение к переплетчику, потом стал словолитчиком и, наконец, ткачом. Первую попытку устроить самодействующий ткацкий стан он сделал в 1790 г.; потом изобрел машину для вязания сетей и повез ее в 1804 г. в Париж, где модели Вокансона навели его на окончательную конструкцию стана, вполне осуществленного только в 1808 г. Наполеон I наградил Жаккард пенсиею в 3000 фр. и правом взимания премии в 50 фр. с каждого действующего во Франции стана его конструкции. В 1840 г. Жаккард соорудили памятник в Лионе. Изобретение Жаккард представляет весьма остроумный механизм: по разнообразию и безошибочности своего действия он может быть приравнен к движениям отлично дрессированного животного. Для получения узорной ткани недостаточно опускать попеременно все четные или все нечетные нити основы, чтобы пропускать в образующийся "зев" челнок с уточною нитью, а необходимо опускать только некоторые из них, в определенном порядке, различном для всех нитей утка, составляющих заданный узор. Каждая нить основы проходить в ткацком стане через особое колечко-нитяницу, соединенное у Жаккард с особым вертикальным стержнем. Все они расположены довольно тесно, рядами, и на их верхние концы нажимается кусок картона с дырочками, соответствующими стержням, долженствующим остаться в покое. Необходимое для узора число таких картонов соединено в непрерывную цепь, а простой механизм перекладывает их автоматически после каждого прохода челнока. Принцип стана Жаккард применен со многих аппаратах, напр., в аристофоне, механическом тапере, одном из телеграфов Витстона и т. п.Прародителями этих счетных устройств были простые механические часы. Зубчатое колесо помогло автоматизировать некоторые процессы. Наиболее сложные арифмометры могли уже извлекать из чисел квадратный корень. В начале 19 века арифмометр превращается в предмет массового спроса. Но все эти изобретения могли производить только один набор действий.

1.3. Электро-механический период

В прошлом для математических вычислений использовались абаки, счёты, математические таблицы, механические или электромеханические арифмометры. Но человек издавна стремился облегчить свою жизнь. Необходимость проведения массовых расчетов (экономика, статистика, управление и планирование, и др.) и развитие прикладной электротехники, позволили создавать «умные» механизмы и электромеханические вычислительные устройства. Расчеты были необходимы повсюду: когда требовалось построить дом, создать новое оружие или инструменты. Наконец, математические расчеты постоянно требовались для развития науки.

Герман Холлерит (Herman Hollerith) (29.02.1860 - 17.11.1929 ) родился в городе Буффало (США) в семье немецких иммигрантов. Он не получил полного школьного образования (он с трудом писал, хотя хорошо рисовал и имел успехи в математике и естественных науках).

Холлерит закончил Горную школу при Колумбийском университете в 1879 и стал ассистентом профессора У. Траубриджа сначала в Колумбийском Университете, а затем и в Бюро по переписи населения (U.S. Census Bureau), сотрудником которого был профессор.

20 октября 1879 г. Холлерит стал специальным агентом в Бюро Переписей с окладом 600 долларов в год, 11 января 1881 г. оклад стал уже 900 долларов в год.

В 1882-1883 учебном году Холлерит преподавал в Массачусетском Технологическом институте, но работа преподавателя ему не понравилась .

4 сентября 1883 г.Холлерит поступил в Патентное бюро с окладом 1200 долларов в год, откуда уволился 31 марта 1884 г.

В 1884-1890 гг. Холлерит работал над разработкой своей табулирующей системы, а в период с 1885-1886 гг. проводил эксперименты с электромагнитной системой управления тормозами на железной дороге в Сент-Луисе.

Герман Холлерит вошел в историю как создатель электрической табулирующей системы (Hollerith Electric Tabulating System - HETS) .

Холлерит также изобрел электрические тормоза для поездов и получил соответствующие патенты. Однако дальнейшего развития и распространения данные патенты не получили. Другой идеей Холлерита был аппарат для рифления механических трубопроводов.

Спустя немного времени Жозеф-Мари Жаккар (752 - 1834) создает первый механизм, управляемый программой - ткацкий станок, работающий по установленному алгоритму. Изобретение Жаккард представляет весьма остроумный механизм: по разнообразию и безошибочности своего действия он может быть приравнен к движениям отлично дрессированного животного. Для получения узорной ткани недостаточно опускать попеременно все четные или все нечетные нити основы, чтобы пропускать в образующийся "зев" челнок с уточною нитью, а необходимо опускать только некоторые из них, в определенном порядке, различном для всех нитей утка, составляющих заданный узор. Каждая нить основы проходить в ткацком стане через особое колечко-нитяницу, соединенное у Жаккард с особым вертикальным стержнем. Все они расположены довольно тесно, рядами, и на их верхние концы нажимается кусок картона с дырочками, соответствующими стержням, долженствующим остаться в покое. Необходимое для узора число таких картонов соединено в непрерывную цепь, а простой механизм перекладывает их автоматически после каждого прохода челнока. Принцип станка Жаккард применен во многих аппаратах, напр., в аристофоне, механическом тапере, одном из телеграфов Витстона и т. п.

Работы Жаккарда продолжил Герман Холлерит (1860-1929). Герман Холлерит вошел в историю как создатель электрической табулирующей системы. Он придумал машину, которая работала не с цифрами, а с зашифрованными данными.

Следующим скачком, приближающим нас к современному компьютеру, стало изобретение Конрадом Цузе своего первого образца автоматической «оперативной памяти» по принципу движущихся металлических стержней. Поэтому его изобретение могло хранить в памяти итоги промежуточных расчетов. Но по вполне не понятным причинам, доделать свое изобретение до совершенства он не смог.

1.4. Электронный период.

Группа изобретателей в 1943 году (ее возглавили Преспер Эккерт и Джон Мочли) начала разрабатывать другое изобретение, которое стало первым компьютером. Это был знаменитый ENIAC - первая вычислительная машина, в основе которой была работа электронных ламп.

Это представитель первого поколения компьютеров. Вычислительная машина занимала 300 кв. метров в помещении и работала, не выключаясь всего пару десятков минут, потому что лампы все время перегорали и машина останавливалась. Жизнь изобретения была не долгой, и оно устарело к 1949 году. Эстафету этого прибора перехватил компьютер EDSAC, который мог хранить в памяти программу. Уже через два года UNIVAC создали первый компьютер, имеющий оперативную память, которая сохраняла информацию на магнитной ленте. В одно время с ним появилось и новый гаджет - принтер, используемый для вывода информации.

В 1950 - 1952 гг. начинается эра компьютерных разработок. В лаборатории киевского института создают необычный компьютер - малая и большая электронно-счетная машина. В тот период времени это были самые мощные компьютеры.

А в 1948 году было изобретено устройство, сделавшее настоящий переворот и ставшее сердцем всех компьютеров - транзистор.Он вытеснил ламповый механизм, дал начало современным процессорам. С его изобретением габариты компьютеров сильно уменьшились. На его основе фирма Bell Laboratories выпускает компьютер второго поколения.

Но эволюция на этом не остановилась и в 1958 году создается новый элемент, который объединил в себе несколько транзисторов - интегральные схемы. Их появление зародило новые вычислительные технологии - компьютеры третьего поколения. Они были способны производить до 300 млн. операций за секунду. Для этих компьютеров и выпускались первые виды операционных систем.

Переломным моментом стало изобретение микросхем и создание на их основе супербыстрого и очень маленького «мозга» компьютера - процессора. Так, в 1970-х годах началась эра персональных компьютеров (ПК, по-английски: PC), которые сегодня широко используются на различных предприятиях и дома. Одной из первых ПК стала выпускать американская фирма IBM (Ай-Би-Эм). Машины IBM собирались по принципу детского конструктора, т.е. из готовых блоков. Сегодня такой принцип сборки ПК стал стандартным.

Весной 2005 года количество проданных в мире персональных компьютеров, начиная с середины 70-х годов, когда эти устройства появились на рынке, достигло миллиарда. Четверть из них покупали для дома, три четверти - для учреждений.

Глава 2. Абак - древний арифметический прибор

Развитие государств Европы и Азии и усиление торговых связей между ними привело к необходимости создания устройства, облегчающего подсчеты при совершении торговых сделок и сборе налогов. В результате было создано устройство Абак, известное практически у всех народов. Впервые его применили в Вавилоне (примерно VI век до н.э.).Это устройство представляло собой деревянную дощечку, посыпанную песком, на котором наносились бороздки. В этих бороздках размещались камешки или жетоны, обозначавшие цифры. Восстановить вид вавилонского абака можно, проанализировав принципы вавилонского счета. В то время использовалась шестидесятеричная позиционная система, т.е. каждый разряд числа содержал 60 единиц, и в зависимости от своего места в числе каждый разряд обозначала либо количество единиц, либо десятков и так далее. Так как выкладывать в каждой бороздке по 60 камешков было затруднительно, то бороздки делили на две части: в одной помещали камешки, отсчитывающие десятки (не более пяти), а в другой - камешки, отсчитывающие единицы (не более девяти).При этом количество камешков в первой бороздке обозначало количество единиц, во второй - десяток и так далее. Если в одной бороздке число, отсчитываемое камешками, превышало 59, то камешки снимали и помещали один камешек в следующую бороздку. В древнем Риме усовершенствовали абак и помимо каменных плит использовали бронзу, слоновую кость и цветное стекло. Вертикальные желобки в римском абаке делились на 2 части. Желобки нижнего поля служили для счета от единице до 5, если в нижнем желобке набиралось 5 шариков, то в верхнее отделение добавлялся один шарик, а из нижнего все шарики снимались. В неаполитанском музее древностей хранится римский абак, представляющий собой доску с прорезанными щелями, вдоль которых передвигались камушки. На доске располагалось восемь длинных щелей и восемь коротких, расположенных над длинными. Над каждой длинной щелью имеется обозначение, описывающее назначение щели (слева на право):

- означает, что щель используется для отложения разряда миллионов.

- означает, что щель используется для отложения разряда сотен тысяч.

- означает, что щель используется для отложения разряда десятков тысяч.

- означает, что щель используется для отложения разряда тысяч.

- означает, что щель используется для отложения разряда сотен.

- означает, что щель используется для отложения разряда десяток.

- означает, что щель используется для отложения разряда единиц.

- означает, что эта щель используется для отложения унций (от нуля до двенадцати).

На семи левых длинных щелях располагали до четырех шариков, каждый из которых приравнивался к единице соответствующего разряда числа. На семи левых коротких щелях располагали до одного шарика, обозначавшего пять единиц разряда. Восьмая длинная полоса (служившая для отсчета унций) содержала до пяти шариков, каждый из которых обозначал единицу разряда унции. Восьмая короткая содержала до одного шарика, обозначавшего шесть единиц. Кроме того, на доске справа имелись еще две короткие щели с одним шариком и одна длинная щель с двумя шариками. Около этих щелей имелись метки, означавшие:

- пол унции

- четверть унции

- шестая часть унции

Абак был известен и в Греции. В 1846 году на греческом острове Саламине был найден мраморный абак в виде плиты размером 105х75 см, датируемый III веком до новой эры. Этот абак был назван в честь острова, на котором был найден - «Саламинская доска». Саламинская доска служила для пятеричного счисления, что подтверждают буквенные обозначения на ней. Камешки, символизирующие разряды чисел, укладывались только между линиями. Колонки, располагающиеся на плите слева, использовались для подсчета драхм и талантов, справа - для долей драхмы (оболы и халки). Примерно в X-XI Ацтеки изобрели свой вид абака. Сквозь деревянный каркас протягивались нити с нанизанными зернами кукурузы. Каркас был разделен на две части. В одной части на нити нанизывались по три зерна, в другой - по четыре. Для работы с ацтекским абаком использовалась своя особая система счета. В европейских странах абак начал распространение с X века. До нашего времени сохранился ряд работ Бернелини, Ланского и других авторов, посвященных вычислению на абаке и датируемых X-XII веке. Наиболее известны работы французского ученого и священнослужителя Герберта, в которых подробно описываются правила работы с абаком: умножение, деление, сложение и вычитание. Гербер предложил усовершенствовать абак с 12 колонок до 27, что позволило оперировать с огромными числами (до десяти в двадцать седьмой степени). Так же в этот абак было введено три дополнительных колонки для счета денег и иных мер. Во времена Герберта во многих школах учили искусству работы с абаком, было создано множество пособий для работы с устройством, благодаря чему оно получило широкое распространение и использовалось вплоть до XVIII века.

Глава 3. Старинные способы умножения.

3.1. Русский крестьянский способ умножения.

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

- левое число будем делить на 2, правое - умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда слева появится единица;

- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

- далее оставшиеся справа числа складываем - это результат;

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

3.2. Метод «решетки».

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. «Аль - Хорезми» буквально означает «из Хорезми», т. е. родился в г. Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана). Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные. Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы - по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время. В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: перемножим 987 и 12:

- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху таблицы записываем число 987;

- слева таблицы число 12 (см. рисунок);

- теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр - сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;

- после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;

- результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);

987 ∙ 12=11844

Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

3.3 Индийский способ умножения

Этот способ настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.

х23

12

276

Как получен ответ?

Первый шаг: х23 говорю: «2 х 3 = 6»

…6

Второй шаг: х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

.76

Третий шаг: х23 говорю: «1 х 2 = 2».

пишу 2 левее цифры 7

276 получаем 276.

На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

3.4. Египетский способ умножения

Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия умножения. Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Т. к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т. е. 136 + 34 = 170.

Глава 4. занимательные задачи.

Отгадывание полученного числа.

1. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа.

Я отгадываю: вы получили 10. Верно?

2. Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного вычтите задуманное.

У вас получилось 1.

3. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное.

У вас получилось 2.

4. Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.

5. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное.

У вас получилось 8.

Угадывание задуманных чисел.

Предложите своим товарищам задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.

Полученную сумму пусть умножит на 3.

От произведения пусть отнимет 7.

Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.

Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3).

Вывод.

Изучая материал для своей исследовательской работы, я выяснил. С древних времён жизни человек не мог обойтись без счёта. У каждого народа необходимость в простейших арифметических подсчётах возникла задолго до появления первых зачатков письменности, потому что постижение Мира во всем постоянно требовало количественной оценки знаний. Используя опыт ушедших поколений, первые великие мыслители своими открытиями закладывали фундамент древнейшей науки математики. На мой взгляд, это очень интересный предмет. Математика тесно связана с нашей повседневной жизнью. Математика встречается в нашей жизни практически на каждом шагу и совсем она не скучная.

Все рассмотренные мной способы счета очень интересны и даже веселы, но при этом некоторые занимают много времени, другие трудоемки в подготовке. Но при этом нашелся способ умножения (метод решетки) даже проще, чем используемый сегодня.

Исследовательская работа прививает интерес к математике, вызывает желание к самостоятельной творческой работе, приобщает к миру научных знаний.

Список литературы.

1. Вычисления на счетах. Кирюшин Е.Д. «Кооперативное издательство», Москва - 1925 г.

2. От абака до компьютера. Гутер Р.С. «Знание», Москва - 1981 г.

3. История развития вычислительной техники. Ланина Э.П. ИрГТУ, Иркутск - 2001 г.

4. Логарифмическая линейка. Хренов Л.С. «Высшая школа», Москва - 1981 г.

5. Журнал «В мире информатики», Издательский дом "Первое сентября", Москва.

6. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

7. Минских Е. М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.

8. Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.