Памятка по подготовке к ГИА по математике

При подготовке к экзамену, рекомендуется использовать учебники, по которым ведется преподавание , а также «Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс основной школы, 9 класс ( изд. « Дрофа», 2000-2005гг..,издание 5-е и последующие). Этой же цели служат демонстративные версии экзамена 2005 г., тексты экзаменационных работ 2004г. и их демонстрационные версии (см. новые формы проведения государственной ( итоговой) аттестации учащихся 9 классов. Сборник нормативно- правовых и инструктивно-методических материалов (сост. А.Г. Капустняк и др.- Москва, 200

Приложения к блоку «Уравнения и неравенства»

Линейные уравнения

Уравнение вида а х + в = 0, где а и в некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

1. а 0, в 0; х = - в/а - один корень;

2. а = 0, в 0;0 * х = 0 - решений нет;

3. а 0, в = 0, х = 0 - один корень;

4. а = 0, в = 0 , х - любое число.

При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства:

• Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив при этом знак, то получится уравнение, равносильное данному.

• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Для решения систем уравнений с двумя переменными используются способ подстановки, способ сложения, графический способ.

В общем виде систему можно записать так:

Каждое уравнение этой системы представляет собой на плоскости некоторую прямую. Для двух прямых на плоскости возможно три случая

• Прямые пересекаются. Тогда система уравнений имеет единственное решение.

• Прямые параллельны. Тогда система уравнений не имеет решений.

• Прямые совпадают, тогда система уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Алгоритмы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

1 Графический способ

• Строим графики уравнений системы;

• Выясним, имеет ли система решения и если имеет, то сколько.

• Координаты точек пересечения прямых являются решением системы.

2 . Способ подстановки

• Выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

• Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

• Решают получившееся уравнение с одной переменной;

• Находят соответствующее значение второй переменной.

3. Способ сложения

• Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

• Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

• Решают получившееся уравнение с одной переменной;

• Находят соответствующее значение второй переменной.

Линейные неравенства с одной переменной.

Системы линейных неравенств с одной переменной.

1.Свойства числовых неравенств:

2. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное неравенство. Например, число 1,8 -решение неравенства .

3 . При решении неравенств с одной переменной необходимо придерживаться следующих правил:

• Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком. То получится равносильное ему неравенство;

• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное

число, изменив при этом знак на противоположный, то получится равносильное ему

неравенство;

При решении систем неравенств с одной переменной необходимо решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.

Квадратные уравнения

Уравнение вида ах² +вх +с = 0 называется квадратным, где а,в,с -некоторые числа, а 0.

D= в² - 4 а с дискриминант уравнения.

ах² +вх =0 неполное квадратное уравнение (т.к. с=0) имеет два корня 0 и .

ах²+с = 0 неполное квадратное уравнение (т.к. в = 0) имеет два корня ±√-с/а.

Теорема Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком,а произведение корней равно свободному члену, т.е. если

х₁ и х₂ - корни уравнения x² + px + q = 0. то х₁ + х₂ = - p и х₁*х₂ = q.

Верно и обратное утверждение: если числа х₁ и х₂ таковы, х₁ + х₂ = -p и х₁*х₂ = q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

Система двух уравнений с двумя переменными, одно из которых уравнение II порядка

При решении данных систем поступают следующим образом:

• Выражают из уравнения 1 - ой степени одну переменную через другую;

• Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной, степень которого не выше двух;

• Решают получившееся уравнение с одной переменной;

• Находят соответствующие значения второй переменной.

Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств вида а х ² +в х + с (<; >; ; ) 0 тесно связано с расположение параболы у = а х ² +в х + с (а 0) относительно оси ОХ, нахождением промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

₁; х₂)

(-∞; х₁)(х₁;∞)

Нет решений

(-∞; ∞)

Нет решений

у0

(-∞; х₁х₂;∞)

х ₁; х₂

(-∞; ∞)

Х₁

(-∞; ∞)

Нет решений

у<0

(х ₁; х₂)

(-∞; х₁)(х₂;∞)

Нет решений

(-∞; х₁)(х₁;∞)

Нет решений

(-∞; ∞)

у0

х ₁; х₂

(-∞; х₁х₂;∞)

Х₁

(-∞; ∞)

Нет решений

(-∞; ∞)

а < 0

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

х=

Основные приёмы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

1. Модуль любой функции всегда неотрицателен. Иногда полезно сделать предварительный анализ заданного уравнения.

Пример: Решить уравнение: 2 х + 2+ х - 5+1=0

Запишем уравнение в виде 2 х + 2+ х - 5 = -1. В левой части положительное число для всех значений х, а в правой - отрицательное. Решений нет.

2 . Уравнение вида f(x)= а , где а - число. Если а < 0, то решений нет,

если а = 0, то f(x)=0, если а>0, то уравнение f(x)= а эквивалентно совокупности уравнений f(x) = а и f(x) = - а

3.Уравнение вида f(x)= g(x) эквивалентно уравнению f ²(x) = g² (x)

4. Уравнение вида f(x)= g(x) эквивалентно совокупности двух систем:

f(x) = g(x) или

g(x) 0

f(x) = g(x)

g(x) 0

5. Уравнения вида f ₁ (x) f ₂ (x) … f _n(x) = g(x) лучше решать методом интервалов.

Список используемой литературы:

1.Назаренко А.М., Назаренко Л.Д., 1001 пример. - Г. Сумы: издательство « Слабожанина» , 1994.

2.Волович М.Б., Ключ к пониманию алгебры, - Москва, 1997.

3.Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И., Сборник задач по алгебре. - М.: Просвещение, 2002.

4.Цыпкин А.Г., Справочник по математике для средней школы. - Москва, 1980.

5.Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского. - М., 2002.

6.Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Алгебраический тренажер, - М.: ИЛЕКСА, 2003.

Приложение к блоку «Алгебраические выражения»

1. Представить в виде многочлена

а) (a+b)(a-b+1)-(a-b)(a+b-1)=a²-ab+a+ab-b²+b-(a²+ab-a-ab-b²+b)=

= a²+a-b²+b-a²+a+b²-b=2a;

b) (a²-3a+1)(2a+1)²=( a²-3a+1)(4a²+4a+1)=4a⁴+4a³+a²-12a³-12a²-3a+4a²+4a+1=

= 4a⁴-8a³-7a²+a+1.

2. Разложить на множители

a⁴-2a³+a²-1= a⁴-a³-a³+a²-1=(a⁴-a³+a²)-(a³+1)=a²(a²-a+1)-(a+1)(a²-a+1)=

=(a²-a+1)(a²-a-1).

3. Cократить дробь

.

4. Упростить выражение

1)

;

2) ;

3) .

5. Упростить

.

Для более сильных ребят можно брать задания более сложного уровня, например такие тесты:

1. Упростить: ()х()^-1

а) ; б) 2; в) -1; г) ; д) -2.

2. Упростить:

а) 1; б) а; в) ах; г) -1; д) (ах)^-1.

3) Дробь после сокращения примет вид:

а) х+3у б) х-3у в) х-3у г) х+3у д) х-4у

х+4у х-4у х+4у х-4у х-3у

4) Дробь х²-2ху+у²-16 после сокращения имеет вид:

х-у-4

а) х+у+4;

б) х-у-4;

в) х-у-1;

г) х-у+4;

д) х+у+16.

5) Упростить: .

а) 1; б) ; в) 3-; г) 1-2; д) 1+2.

6) Упростить:

а) ; б)8; в)6; г)4+; д)8+6.

7) Упростить: 2_ ₊ 2 ₊ 2_ ₊ (х-у)²+(у-z)²+(z-x)²

х-у y-z z-x (х-у)(у-z)(z-х)

а) 0; б) 1; в) -1; г) х+у+4; д) 1 .

х+у+z

8) Упростить:

а); б) - ; в) 1; г) ; д) - .

9) Упростить:

а) ; b) 1,2; c) -; d) ; e) -

Литература

1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Званич Л.И. Сборник задач по алгебре.

2. Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Короткова Л.М. Дидактические материалы по алгебре 9 класс.

4. Жохов В.И., Карташова Г.Д. Уроки алгебры в 8-9 классах.

5. Тесты для абитуриентов, поступающих в Минский Государственный университет.

Приложение

Свойства функций.

5) у(х) - возрастает на R

Д(у) = R

Е(у) = R

у = 0, при х = - в/к

а) у < о, при х >- в/к

в) у >о, при х < -в/к

у(х) - убывает на R

если к = 0, то графиком функции является прямая у = в

если в = 0, то графиком функции является прямая у = кх

Алгоритм построения графика

Графиком функции является прямая

1. выбрать два значения из области определения функции

2. построить таблицу для этих значений

3. отметить эти точки на координатной плоскости

4. соединить

у = к/ х к >0

к <0

1. Д (у) = (-∞; 0)U (0; +∞)

2. Е (у) = (-∞; 0) U (0; +∞)

3. Нулей функции нет

4. а) у>0, при х >0

б) у< 0, при х <0

5) функция убывает на области определения

Д (у) = (-∞;0)U (0; +∞)

Е (у) = (-∞; 0) U (0; +∞)

Нулей функции нет

у<0, при х >0

у>0, при х < 0

функция возрастает на области определения

Графиком функции является гипербола. Алгоритм построения.

1. Выбрать несколько положительных и несколько отрицательных значений из области определения функции.

2. Заполнить таблицу для этих значений

3. Отметить их на координатной плоскости

4. Соединить их плавной линией.

у = ах² + вх + с а > 0

1)Д (у) = R

2) х = 0, при у = с

3а) у = 0, при х₁ и х ₂ ( х₁ и х₂ находим с помощью Д или по графику)

б) у > 0, при х € (- ∞; х₁)U (х₂; +∞)

в) у< 0; при х € (х₁; х₂)

4)функция убывает в промежутке (- ∞; m] и возрастает в промежутке [m; +∞), 5)наименьшее значение функции равно n,

наибольшего значения не существует

Е(у) = [n; +∞),

а< 0

1)Д (у) = R

2) х = 0, при у = с

3а) у = 0 , при х₁ и х ₂ ( х₁ и х₂ находим с помощью Д или по графику)

б) у> 0, при х € (х₁; х₂)

в) у< 0; при х € (- ∞; х₁) U (х₂; +∞)

4)функция возрастает в промежутке (- ∞; m] и убывает в промежутке [ m; +∞)

5)наибольшее значение функции равно n, наименьшего значения не существует.

Е(у) = (- ∞ ; n]

Графиком функции является парабола с вершиной в точке (m;n), m= - в\ 2а; n = у( m),

Если а >0, то ветви параболы направлены вверх, если а< 0, то ветви параболы направлены вниз.

График функции симметричен относительно оси симметрии х = m

Алгоритм построения графика

1. Найти координаты вершины параболы (m; n ) по формулам

2. Выбрать несколько значений больших и несколько значений меньших из области определения.

3. Составить таблицу для этих значений.

4. Отметить эти точки на координатной плоскости.

Приложения

О задачах с параметром.

В программах по математике для общеобразовательных школ задачам с параметрами отводится незначительное место. С параметрами учащиеся знакомятся при введении таких тем:

1) функция прямой пропорциональности у = к х (х и у - переменные к ≠ 0 - параметр)

2) линейная функция у = кх + в, к и в - параметры.

3) линейное уравнение а х + в = 0 ( а и в - параметры)

4) квадратное уравнение а х ² + в х + с = 0 , а ≠ 0, а, в, с - параметры.

5) решение линейных и квадратных систем уравнений, исследование количества их корней в зависимости от параметра.

1. Что такое параметр?

Параметр - это, во- первых, фиксированное заданное число, во - вторых, оно неизвестно. Поэтому задачи с параметром требуют чёткого, иногда длительного исследования.

Итак, параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

2. Что означает «решить задачу с параметром» ?

Это зависит от вопроса в задаче. Если требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предоставить обоснованный ответ или для любого значения параметра или для значения на заданном промежутке.

Если же требуется найти значения параметра при котором множество решений удовлетворяет заданному условию, то задача и состоит в поиске указанных значений параметра.

3. Основные типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству.

Пример. Решите уравнение (а² - 1) х = а = 1

1. а = 1, то уравнение примет вид 0 х = 2.

В этом случае нет решения.

2) а = -1, то 0 х = 0, х - любое действительное число.

3) а ≠ ± 1, то х = - единственное решение.

Этот тип задач является основным для данной темы

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Чаще всего эти задачи не требуют прямого решения, но иногда сводятся к типу 1.

Пример: Решите уравнение │х ² - 1│+│а (х - 1)│= 0

Это уравнение равносильно системе

или

При а ≠ 0 второе уравнение системы имеет единственное решение х = 1.

Если а = 0, то х - любое действительное число. А система в целом, имеет в этом случае два решения х = ± 1

Ответ: а ≠ 0, то х = 1; а = 0, то х = ± 1.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти при искомых значениях параметра множество решений, которые удовлетворяют заданным условиям в области определения.

Пример: При каких а неравенство 2 х + а > 0 является следствием неравенства

х = 1 - 3а >0.

Имеем х > - а/2 и х > 3 а - 1 и поэтому - а/2 ≤ 3 а - 1 или а ≥ 2 / 7.

4. Основные способы решения задач с параметром.

Способ 1. (аналитический) Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметров. Это наиболее трудный способ, требующий больших знаний и высокой грамотности.

Пример. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

(2а - 1) х ² + 2(а = 2) х = (а - 4) = 0 имеет два различных корня, каждый из которых больше -2.

1. а = ½, то уравнение линейное, иметь один корень, что противоречит условию.

2. Чтобы корни были различны необходимо выполнение условия D > 0

D = 4 ( а+2)² - 4 (2а - 1) (а - 4) > 0

- а ² + 13 а > 0; а(а -13) < 0 или а € (0; 13).

Х_1/2 = учитывая условие, имеем , так как второй корень меньше, чем первый.

а) Если а > ½, то или а € ( 3,2; 13)

D = - а² + 13 а > 0

б) если а < ½ , то или а € ( 0; 1/2)

Ответ: (0; ½) ( 3,2; 13)

Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики к координатной плоскости (х; у) или (х; а). это наиболее часто применяемй способ решения.

Пример. Для всех действительных значений параметра а найдите число различных корней уравнения ( а - х ²)( а + х - 2) = 0.

Исходное уравнение равносильно а - х ² = 0 или а + х - 2 = 0. построим графики а = х ²; а = 2 - х . Координаты точек пересечения (1;1); (-2; 4)

а) Если а < 0, то прямая лежит в нижней полуплоскости и пересекает прямую в одной точке т. е. число корней 1.

б) Если а = 0 прямая касается параболы и пересекает прямую а = 2 - х в одной точке, значит число корней 2.

в) при 0 < а < 1 прямая пересекает графики уравнений в трёх точках.

г) а = 1 и а = 4 число корней 2

д) 1 < а < 4 число корней 3

е) а > 4 число корней 3.

Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение принимается более простым.

Пример. При каких значениях параметра а уравнение │х + 2│= ах не имеет решений.

Исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:

или

или

1) х = , или ; а ≤ о или а > 1 - одно решение

2) Вторая система имеет одно решение

Значит при остальных а не имеет решения

Ответ: система не имеет решения при 0 < а ≤ 1

Большинство задач с параметрами на выпускных экзаменах относятся к одному из четырёх типов. Наиболее массовый класс задач - это задачи с одним параметром и одной неизвестной.

Литература

1. Дорофеев Г. В. Решение задач, содержащих параметры М. Перпектива 1990 г

2. Ястребинский Г. А. Задачи с параметром М. Просвещение

3. Голубев В. И. О параметрах. Репетитор №2 1991

Б л о к « З а д а ч и »

Задачи, связанные с понятиями «концентрация» и «процентное содержание»

Умение решать текстовую задачу на проценты

2.

Задачи «на движение»

Умение решать текстовую задачу на движение: на встречу друг другу, в одном направлении, на выполнение какой-нибудь работы; задачу связанную наполнением или опорожнением резервуаров, на движение по кольцевым дорогам.

3.

Задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений системы

Умение находить величину, которая представляется некоторой комбинацией введенных неизвестных

4.

Задачи, которые решаются при помощи неравенств

Умение составлять при решении не только уравнения, но и неравенства

5.

Задачи с целочисленными неизвестными

Умение решать задачи на составление уравнений или неравенств, в которых неизвестные величины могут принимать только целые значения

6.

Задачи с альтернативным условием

Умение решать задачи, для решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов

7.

Задачи, в которых нужно находить наибольшие и наименьшие значения некоторых выражений

Умение решать задачи, в которых необходимо найти экстремум той или иной функции

8.

Разные задачи

Умение решать различные типы задач

Приложение к первому типу задач

Задача:

Имеются два куска сплава меди и цинка с массовым процентным содержание меди Р % и q % соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски, получить сплав, содержащий ч % меди?

Решение:

Если первого сплава взять Х кг, а второго У кг, то с помощью массовых концентраций можно «расщепить» эти величины на отдельные составляющие

Х = х^. Р/100 (кг меди) + х(1 - Р/100) (кг цинка)

и

У = у^. q/100 (кг меди) + у(1 - q/100) (кг цинка)

Масса меди в получившемся сплаве равна х^. Р/100 + у^. q/100 (кг меди), а масса сплава составит (х+у) кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, равна

х^. Р/100 + у^.q/100

х + у

По условию задачи эта концентрация должна равняться ч/100.

Получаем уравнение

х^. Р/100 + у^.q/100 ч

х + у ^{= 100}

или

Рх + qу ₌ ч

х+у

Решим полученное уравнение.

Оно содержит два неизвестных Х и У. оба неизвестных однозначно не находятся.

Концентрация получающегося сплава определяется не массой взятых кусков, а отношением этих масс.

Поэтому в задаче и требуется определить не сами величины Х и У, а только их отношение.

Приложение ко второму типу задач

Задача:

Две машины, рывшие туннель навстречу друг другу, закончили его проходку за 60 дней. Если бы первая машина работала 18 дней, а вторая 16 дней, то вместе они прошли бы 60 м туннеля. Если бы первая машина выполнила 2/3 всей работы второй машины по проходке туннеля, а вторая 0,3 всей работы первой машины, то первой понадобилось бы для этого на 6 дней больше, чем второй. Сколько метров туннеля в день проходит каждая машина?

Решение:

Введем, аналогично скоростям в задачах «на движение», производительности машин u₁ (м/день). Тогда величина всей работы - длина туннеля - аналогична расстоянию в задаче «на движение» и определится суммой

60u₁ + 60u₂.

Здесь 60u₁ - объем работы, выполненной первой машиной, а 60u₂ - объем работы, выполненной второй машиной.

Составим уравнения задач.

После упрощений система уравнений приобретает вид

9u₁ + 8u₂ = 30,

9u₁²+ 3u₁u₂ - 20u₂² = 0.

Эту систему удобнее всего решить, если записать второе соотношение в виде квадратного уравнения для отношения производительностей u₁/u₂:

9 (u₁/u₂)² + 3 (u₁/u₂) - 20 = 0

Из двух решений этого уравнения берем положительное:

u₁/u₂ = 4/3, т.е. 3 u₁ = 4 u₂.

Используя этот результат совместно с первым уравнением системы, находим

u₁ = 2 м/день; u₂ = 1,5 м/день.

Приложение к третьему типу задач

Задача:

Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка - в 2 раза дешевле, а книга - в 2,5 раза дешевле, чем на самом деле, то та же покупка стоила бы 8 руб. Если портфель стоил в 2 раза дешевле, авторучка - в 4 раза дешевле, а книга - в 3 раза дешевле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 12 руб. сколько стоит вся покупка и за что было уплачено больше: за портфель или за авторучку?

Решение:

Наиболее естественно ввести в этой задаче стоимости портфеля, авторучки и книги: х, у и z руб. соответственно. Тогда первое и второе условия задачи дают два уравнения:

х/5 +у/2 + z/2,5 = 8,

х/2 +у/4 + z/3 = 12,

или

2х + 5у + 4 z = 80,

6х + 3у + 4 z = 144.

Таким образом, мы располагаем системой двух уравнений, в которой содержатся 3 неизвестных. Понятно, что определить все три неизвестных однозначно из такой системы нельзя. Однако условие задачи и не требует этого. Необходимо найти лишь стоимость всей покупки, т.е. величину х+у+z. А такая комбинация неизвестных легко находится из приведенной системы уравнений.

Действительно, коэффициенты при неизвестных в системе таковых, что, сложив почленно уравнения системы, получим

8х+8у+8z = 224,

или

х+у+z = 28,

т.е. вся покупка стоит 28 руб.

Сравним между собой величины х и у. Исключая величину z из системы уравнений, находим

2х - у = 32,

или

х + (х - у) = 32.

Поскольку x>0, y>0, z>0 и x+y+z = 28, то ясно, что x<28. Значит, х - у > 4, т.е. х>у.

Ответ. 28 руб.; портфель дороже авторучки.

Приложение к четвертому типу задач

Задача:

Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Решение:

Пусть в альбоме т листов, а у школьника имеется N марок. Тогда уравнения и неравенства этой задачи составляются следующим образом.

Уравнение, неравенство

Если школьник наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома

20т

Если школьник наклеит по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист окажется пустым

23(т - 1) > N

Если школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок

21т+N = 500

Таким образом, в этой задаче имеется одно уравнение и два неравенства. Выразим N из уравнения этой системы и подставим его в каждое из неравенств:

20т<500 - 21 т,

23(т - 1) > 500 - 21 т.

Учитывая, что т - целое число, из первого неравенства этой системы находим, что т<12, а из второго неравенства - что т>12.

Сравнивая между собой эти результаты, получаем т=12.

Ответ. В альбоме 12 листов.

Приложение к пятому типу задач

Задача:

В автогонках принимают участие команды, имеющие одинаковое число автомобилей марки «Волга» и марки «Москвич», причем в каждой команде число всех автомобилей меньше 7. Если в каждой команде число автомобилей марки «Волга» оставить без изменения, а число автомобилей марки «Москвич» увеличить в три раза, то общее число «Москвичей», участвующих в гонках, будет на 50 больше общего числа «Волг», а число автомобилей в каждой команде превысит 12. определить число команд, участвующих в гонках, и число «Волг» и «Москвичей» в каждой команде.

Решение:

Обозначим число команд, участвующих в гонках, через N, а число «Волг» и «Москвичей» в каждой команде - через т и п соответственно.

Условие задачи приводит к следующей системе уравнений и неравенств.

Оказывается, что даже такое небольшое количество информации достаточно для однозначного определения трех целых положительных неизвестных т, п и N. Действительно, представим последнее неравенство системы в виде

(т + п) + 2п>12,

или

п> 6 - (т+п) /2.

Так как т и п - натуральные числа, то первое неравенство системы можно записать так: т+п<6; очевидно также, что п<6. Используя эти ограничения, получаем, что 3< п <6.

Возможны варианты:

1. п = 4, т = 1;

2. п = 4, т = 2;

3. п = 5, т = 1.

Соответственно этому единственное имеющееся в системе уравнения дает:

1. 11N = 50;

2. 10N = 50;

3. 14N = 50.

Поскольку N - целое число, то решение получается только во втором случае. Итак, N = 5.

Ответ: В гонках участвовало 5 команд, в каждой из которых имеется 2 «Волги» и 4 «Москвича».

Приложение к шестому типу задач

Задача:

Из города А в город В, расстояние между которыми 200 км, мотоциклист ехал 6 часов. Сначала он двигался со скоростью u₁, превышающей 15 км/ч, а потом со скоростью u₂, причем время движения с каждой скоростью пропорционально этой скорости. Через 4 часа после выезда мотоциклист был в 120 км от города А. Определить скорости u₁ и u_2.

Решение:

Время движения мотоциклиста со скоростью u₁ обозначим через t₁, а со скоростью u₂ - через t₂. Тогда условия задачи приводят к трем уравнениям для четырех неизвестных:

u₁t₁ + u₂t₂ = 200,

t₁ + t₂ = 6,

u₁/u₂ = t₁/t₂/

Однако четвертое уравнение в этой задаче сразу составить нельзя. Не ясно, то ли 120 км были пройдены за 4 часа со скоростью u₁, то ли движение на этом пути происходило с той и с другой скоростью. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

1 случай. Если t₁ > 4, то четвертое уравнение имеет вид

4u₁ = 120, т.е. u₁ = 30 км/ч.

2 случай. Если t₁ < 4, то четвертое уравнение таково:

u₁t₁ + (4 - t₁)u₂ =120,

и отсюда с учетом первого и второго уравнений имеем

u₂ = 40 км/ч.

Разберем первый случай: u₁ = 30 км/ч, тогда

30t₁ + u₂t₂ = 200,

t₁ + t₂ = 6,

30/u₂ = t₁/t_2,

4<t₁< 6.

Исключив t₂ и u₂ из первых трех уравнений системы, получаем для t₁ уравнение

3t₁² - 28t₁ + 54 = 0.

Один из корней этого уравнения меньше 4, другой корень не подходит, поскольку он больше 6, и, значит, такой случай отпадает.

Во втором случае (u₂ = 40 км/ч) имеет смешанную систему:

u₁t₁ + 40t₂ = 200;

t₁+t₂ = 6,

t₁/t₂ = u₁/40, 0< t₁ < 4,

u₁ = 40 t₁/t₂ > 15.

Из этой системы находим u₁ = 20 км/ч, t₁ = 2<4.

Ответ. u₁ = 20 км/ч, u₂ = 40 км/ч.

Приложение к седьмому типу задач

Задача:

Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей, вторая - на т деталей меньше, чем первая (0< m<200), а третья на 5 т деталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют 1/5 всей работы, а затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшиеся 4/5 работы. На сколько деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем первая, чтобы вся работа была выполнена указанным способом как можно скорее?

Решение:

Из условия задачи понятно, что вторая бригада делает в день 200 - т деталей, а третья бригада - 200 + 5т деталей. Если обозначить через Q общее количество деталей, которое нужно сделать, то время всей работы t слагается из двух частей:

t₁ = (Q/5) / (400 - m)

1. времени работы отдельно первой и второй бригад,

t₂ = (4Q/5) / (600 + 4m)

2. времени совместной работы бригад, так что

t(m) = t₁ + t₂ = (Q/5) / (400 - m) + (4Q/5) / (600 + 4m) = (110 ^. Q)/ (60000 + 250m - m²).

Таким образом, время всей работы t является функцией только одной переменной т.

Итак, работа будет выполнена за наименьшее время, если вторая бригада будет делать на 125 деталей в день меньше, чем первая.

Ответ. т = 125 деталей.