Путешествие

по страницам

истории

арифметики

Пособие для проведения кружковых занятий по истории математики в 5-6 классах.

Зацаринная Ю. С.

Путешествие по страницам истории арифметики. - Ростов-на-Дону, 2011.

Для воспитания интереса к математике и развития правильных взглядов на возникновение и развитие математических идей полезно довести до сознания школьников решение важного вопроса: откуда берутся новые математические задачи, математические идеи и теории? Здесь очень полезным является кружок по истории математики. Все виды и формы занятий кружка позволяют развить самостоятельность суждений, настойчивость, дисциплинированность, выдержку, внимательность, умение отстаивать собственные взгляды, активно включаться в поиск интересующей информации.

Брошюра будет полезна учителям, студентам педвузов, а так же тем, кто интересуется математикой и ее историей.

Методические рекомендации по проведению кружка

Программа кружка «Путешествие по страницам истории арифметики» предназначена для учащихся 5-6 классов, интересующихся математикой и рассчитана на 1 час в неделю.

В рамках кружковых занятий предлагаются экскурсы в историю математики. Учащиеся знакомятся с развитием нумерации и счета, некоторыми интересными приемами устных и письменных вычислений, математическими задачами-загадками и известными задачами разных времен.

Цель кружка:

Обеспечить формирование у учащихся представлений об истории становления математики как науки и на основе соответствующих заданий развить их математические способности и внутреннюю мотивацию к предмету.

Задачи кружка:

• Расширить и углубить представление учащихся о культурно-исторической ценности математики, о роли ведущих учёных - математиков в развитии мировой науки. Показать учащимся исторические аспекты возникновения различных величин;

• познакомить учащихся со старинными задачами;

• развить познавательную и творческую активность учащихся;

• развить у учащихся умение самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

Рекомендуемые формы и методы проведения занятий:

Изложение материала может осуществляться с использованием традиционных словесных и наглядных методов: рассказ, беседа, демонстрация презентации, игра, проектная деятельность.

Ожидаемые результаты:

В результате кружковых занятий учащиеся приобретают:

• культуру счета и математической речи;

• умение самостоятельно и творчески работать с дополнительной математической литературой;

• представления о своих возможностях в области математики.

Представление результатов работы:

• Выпуск математических газет по истории математики.

• Участие в школьном фестивале проектов.

• Создание викторины-презентации по истории математики.

Содержание программы:

1. Вводное занятие. (1 ч)

Краткое содержание всего курса: история становления понятия «число»; история возникновения арифметических знаков; история становления арифметики как науки.

2. История становления понятия «число» ( 8 ч)

Подробное рассмотрение древних систем счисления, история развития современной нумерации, решение исторических задач.

3. Презентация индивидуальных работ учащихся (1 ч)

Заслушивание докладов членов кружка, изготовление стенгазет.

4. Игра «Звездный час»

5. Контрольный тест по 1 разделу.

6. История появления арифметических действий (7 ч)

История развития современных символов арифметических действий, подробное изучение истории развития современных правил сложения, вычитания, умножения и деления, решение исторических задач.

7. Контрольный тест по 2 разделу.

8. История становления арифметики как науки (2 ч)

Последовательное развитие арифметики, связь арифметики с другими областями знаний.

9. Презентация индивидуальных работ учащихся (1 ч)

10. Игра «Что? Где? Когда?»

11. Итоговое тестирование по всему курсу кружка.

Материалы для проведения занятий математического кружка «Путешествие по страницам истории арифметики».

Занятие №1.

Тема: «Введение в историю арифметики»

Тип: изучение нового

Вид: нетрадиционный (путешествие)

Цели:

Образовательные: обеспечить знакомство со структурой кружка, основными темами занятий.

Развивающие: формировать гибкость, самостоятельность мышления, умения самостоятельно делать выводы по теме, развивать логические умения.

Воспитательные: формировать нужное мировоззрение, воспитывать интерес к изучению математике, вызывать удивление необычными историческими фактами.

Оборудование: ТСО

Методы: наглядные, вербальные.

Ход занятия.

1 этап. Организационный момент

На занятиях нашего кружка мы познакомимся с тремя большими разделами из области истории математики: история чисел, история появления арифметических действий и появление арифметики, как отдельной самостоятельной науки. Поэтому для наших занятий необходимо завести отдельную тетрадь, в которой мы будем записывать основные тезисы. Все наши занятия будут проходить в виде путешествия во времени и пространстве. Итак, путешествие начинается!

2 этап. Основной

Первый этап нашего путешествия начнется с истории появления чисел. Сейчас вкратце я вам опишу, чем мы будем заниматься на этом этапе, какие приключения нас ждут.

Вначале мы отправимся во времена зарождения первичных знаний о числах.

История становления понятия «число».

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принято называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие, как математики, так и информатики. В дальнейшем на занятиях нашего кружка под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

История появления арифметических знаков.

Цифры, знаки обозначения арифметических действий и другие математические символы вырабатывались людьми постепенно на протяжении веков в тесной связи с развитием самой арифметики.[3] Большинство их образовалось из рисунков, чертежей, букв, сокращенных слов. Подробно становление современной символики мы рассмотрим на дальнейших занятиях.

История арифметики.

Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов. Все эти правила не были выдуманы или открыты каким-то одним человеком. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности. Арифметика развивалась медленно и долго.

Арифметика изучает простейшие свойства чисел и операций над ними. Она возникла в глубокой древности и вначале рассматривала только натуральные числа. В связи с потребностями практики постепенно круг вопросов, относящихся к арифметике, значительно расширился. Название «арифметика» происходит от греческого слова αριθμος (арифмос) - число.

Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число два связывалось с органами слуха и зрения и вообще с конкретной парой предметов. «Глаза» у индийцев, «крылья» у тибетцев означало также «два». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти, до десяти и так далее. На занятиях нашего кружка мы более подробно ознакомимся с нюансами возникновения арифметики.

3 этап. Подведение итогов.

После того как вы узнали описание каждого государства, в котором мы будем останавливаться, вы можете представить, насколько увлекательным будет наше путешествие. В начале следующего занятия я вам предложу на выбор индивидуальную работу по поиску отдельных вопросов, связанных с нашим путешествием.

Раздел 1.

Язык государства чисел.

Занятие №2.

Тема: «Язык государства Чисел»

Тип: комбинированный (ознакомление с новым материалом + применение знаний и умений)

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить понимание учащимися того факта, что числительные, которыми мы пользуемся в настоящее время, раньше назывались по-другому, формировать общеучебные, вычислительные умения и навыки.

Развивающие: развивать мыслительные умения, логику, творческое мышление.

Воспитательные: воспитывать интерес к математике, ее истории, формировать правильное мировоззрение.

Оборудование: ТСО, доска, мел, тетрадь.

Методы: иллюстративные, словесные, практические.

Ход урока:

1 этап. Организационный момент

Сегодня на занятии мы узнаем, как называли привычные для нас числительные народы разных древних стран. А для начала, как я и обещала, я предлагаю вам темы индивидуальных работ, времени на подготовку докладов достаточно, так что постарайтесь хорошо выступить на наших заключительных занятиях:

1. Магницкий и его «Арифметика»;

2. Совершенные и дружественные числа;

3. Пифагор и его ученики;

4. Эратосфен - его достижения и жизненный путь;

5. Евклид - его достижения и жизненный путь;

6. Архимед - его достижения и жизненный путь;

7. Аль-Каши - его достижения и жизненный путь;

8. Фибоначчи - его достижения и жизненный путь;

9. Декарт - его достижения и жизненный путь;

10. Женщины - математики.

2 этап. Основной

Подсчитывать числа люди научились еще в каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше животных и т.п.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: 1 - «энэа» и 2 - «петчевал». Другие числа они выражали составными числительными: 3 - «петчевал-энэа», 4 - «петчевал-петчевал» и т. д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Например, жители острова Фиджи число 10 называли «боло», считая лодки, «каро», считая кокосовые орехи. Аналогично поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Мы и сейчас используем разные числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча» и т.д.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у двух лодок и двух быков, десяти яблок и десяти стрел. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 фруктов на 5 рыб. Таким образом, было замечено, что число 5 одно и то же и для фруктов, и для рыб. Значит, называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счета камешки, палочки, части собственного тела, например, пальцы рук или ног. Так возникли нумерации, основанные на счете пятерками, десятками, двадцатками.

3 этап. Решение задач

Предлагаю вам решить старинную задачку.

У некого купца в одной клетке находились кролики и фазаны. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и фазанов?

4 этап. Подведение итогов

На этом занятии мы узнали, что раньше было не все так просто и для одинакового количества разных предметов были разные названия. А также мы решили задачу, которую решали и наши предки, только не таким способом как мы сейчас. На следующем занятии мы уже начнем знакомиться с начертаниями цифр разных народов.

Занятие №3.

Тема: «Появление первых письменных знаков, обозначающих числа»

Тип: изучение нового

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить усвоение фактов появления первых письменных начертаний цифр в разных странах древнего мира, подробно рассмотреть римские цифры, формировать умения и навыки записи чисел римскими цифрами.

Развивающие: формировать мыслительные умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, формировать такие качества мышления, как гибкость, самостоятельность, логичность, критичность.

Воспитательные: воспитывать интерес к изучаемому предмету, формировать правильные представления, связанные с историей развития математики, сознательную дисциплину.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь

Методы: наглядные, словесные, практические

Ход занятия.

1этап. Организационный момент

Здравствуйте! О том, как называли числа народы разных стран в древности, мы узнали на прошлых занятиях. Сегодня мы познакомимся с записями этих чисел. Ведь не все народы сразу использовали привычные для нас начертания цифр.

2 этап. Основной

Для записи чисел до возникновения письменности использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на веревках. Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте, Вавилоне, Финикии, Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или черточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 (например, римские цифры).

С развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало неудобно пользоваться черточками. Тогда стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Каждое число, как и каждое слово, обозначалось особым значком - иероглифом. Вот так, например, выглядят иероглифические цифры китайцев.

В Древнем Египте около 4000 лет назад имелись другие значки и иероглифы для обозначения чисел. Единица изображена колом, десяток - как бы парой рук, сотня - свернутым пальмовым листом, тысяча - цветком лотоса, символом обилия, сто тысяч - лягушкой, так как лягушек было довольно много во время разлива Нила.

В дальнейшем появляются особые обозначения отдельных звуков, то есть буквы. Было время, когда буквами пользовались и в качестве цифр. Так поступали древние греки, славяне и другие народы. Чтобы отличить буквы от чисел, славяне ставили над буквами, изображающими числа, особый знак , названный «титло». Эта нумерация, называемая алфавитной, также оказалась со временем неудобной. Потребности практики, развитие производства и торговли способствовали созданию более удобных, современных цифр и образованию современной письменной нумерации.

Всем известны римские цифры.

Некоторые из этих семи знаков служили и буквами. Римляне обозначали буквой М тысячу. Например число 38784 записывалось следующим образом: XXXVIIIMDCCLXXXIV. Неудобна была римская нумерация по сравнению с нашей десятичной: записи длинные, умножение и деление в письменном виде производить невозможно. Все действия надо производить в уме. Даже чтоб прочитать число, нужно устно складывать или вычитать потому, что каждая из семи римских цифр означает всюду, где бы она ни стояла, одно и то же число. В современной же письменной нумерации не только вид, начертание цифры, но и ее место, положение, позиция среди других цифр имеет значение.

3. этап. Решение задач

В качестве задачи мы возьмем простую. Произвести сложение чисел, записанных римской символикой: IX+VIII=XVII; LXX+XL=CX.

3. этап. Подведение итогов и постановка домашнего задания

Молодцы, сегодня вы научились решать примеры другого государства! И в качестве домашнего задания посчитаете еще два примера: XXV+XVII, D+CCM.

Таким образом, сегодня мы пришли к двум видам систем счисления: система счисления, в которой позиция цифры имеет значение, и система, в которой место цифры в записи числа роли не играет. С этими системами мы более подробно познакомимся на следующем занятии.

Занятие № 4.

Тема: «Системы счисления»

Тип: комбинированный (повторение + изучение нового)

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить повторение определений, связанных с системами счисления, углубить представления учащихся о разновидностях систем счисления.

Развивающие: развивать логику, критичность, самостоятельность мышления, развивать творческие способности учащихся, систематичность и последовательность мышления.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей развития математики, воспитывать интерес не только к истории математики, но и ко всей математике в целом.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь.

Методы: иллюстративные, коммуникативные: беседа по содержанию нового материала.

Ход занятия:

1 этап. Организационный момент

Здравствуйте! Сегодня на уроке мы познакомимся с новыми видами систем счисления и с одним интересным заданием, связанным именно с различными системами счисления.

2 этап. Повторение изученного материала

Сегодня для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. Ребята, а что же такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

С какими видами систем счисления мы уже познакомились на первых занятиях?

Позиционные и непозиционные.

А как вы считаете, какая система является наиболее совершенной? (позиционная)

Верно, наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

На прошлом занятии мы познакомились с системой счисления римлян, а сегодня узнаем, как записывали числа другие древние народы.

3 этап. Основной

Единичная система

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой-либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Двоичная система счисления

Так же существует еще двоичная система счисления. С ней вы должны были познакомиться еще на уроках информатики, так как эта система применяется главным образом в компьютерах. Хоть она и появилась значительно позднее единичной, мы все равно вспомним по какому принципу происходит переход от десятичной системы к двоичной и наоборот.

Алгоритм перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления:

1. Разделить число на 2. Зафиксировать остаток (0 или 1) и частное.

2. Если частное не равно 0, то разделить его на 2, и так далее пока частное не станет равно 0. Если частное равно 0 , то записать все полученные остатки, начиная с первого, справа налево.

Алгоритм перевода числа из двоичной системы в десятичную:

1. Подписать над каждой цифрой номер соответствующего разряда числа справа налево.

2. Умножить каждую цифру числа на 2 в степени разряда и сложить полученные произведения.

3. Найти значение полученного выражения.

4. этап. Практический

Теперь попробуем применить наши знания на практике.

Задание 1. Перевести из десятичной системы счисления в единичную и двоичную числа: 5, 13.

Задание 2. Перевести из двоичной системы в десятичную числа: 1101₂, 1010₂

4. этап. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Сегодня мы познакомились еще с двумя видами систем счисления, и я предлагаю вам послушать такую задачку:

Ей было тысяча сто лет,

Она в сто первый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила -

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно,

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

Догадались в чем здесь необычность? Вот в качестве домашнего задания вы переведете это стихотворение на «наш привычный язык».

Занятие №5.

Тема: «Древнеегипетская и вавилонская системы счисления»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить знакомство учащихся с системами счисления древних народов, формировать общеучебные умения и навыки.

Развивающие: формировать мыслительные умения анализировать, систематизировать, устанавливать связи с ранее изученным материалом, формировать гибкость, самостоятельность, критичность мышления.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей развития математики, воспитывать интерес к изучению истории математики и всей математики в целом.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь.

Методы: словесные, иллюстративные, практические.

Ход занятия.

1 этап. Организационный момент

На прошлом занятии мы узнали, какие виды систем счисления существуют, а сегодня подробно рассмотрим древнеегипетскую десятичную непозиционную систему и вавилонскую шестидесятеричную систему. Кто напомнит, какая система счисления называется позиционной, а какая непозиционной?

2 этап. Основной

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

- единицы;

- десятки;

- сотни;

- тысячи;

- десятки тысяч;

- сотни тысяч;

- миллион.

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60², 216000=60³ и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60.

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда.

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

3 этап. Практический

А теперь давайте попробуем самостоятельно записать число 131 в древнеегипетской и вавилонской системах счисления.

4 этап. Подведение итогов.

Итак, сегодня на нашем занятии мы познакомились с древнеегипетской и вавилонской системами счисления. На следующем уроке мы рассмотрим славянскую и греческую (ионийскую) системы.

Занятие №6.

Тема: «Славянская и греческая (ионийская) системы счисления»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить усвоение того факта, что числа не всегда были так просты для написания и запоминания на примере алфавитных систем счисления.

Развивающие: развивать творческое мышление, логические умения, систематичность и последовательность мышления.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей развития математики, воспитывать позитивное отношение к учению, интерес к математике.

Оборудование: ТСО, рабочая тетрадь

Методы: словесные, иллюстративные

Ход занятия.

1 этап. Организационный момент

Сегодня мы познакомимся еще с одним видом систем счисления - с алфавитными системами счисления.

2 этап. Основной

Греческая (ионийская) система счисления

Данная система счисления является алфавитной, т.е. использует буквы в написании чисел. Определённой букве в соответствие ставилась цифра. Поэтому было очень сложно использовать эту систему счисления, так как запомнить какой букве соответствует определенное число очень трудно:

Тысяча обозначалась следующим образом:

Соответственно две тысячи выглядели как:

Десятки тысяч или мириады греки обозначали как:

Позже десятки тысяч стали отделять точкой. Например, число 15.3444 выглядело следующим образом:

Славянская система счисления

Данная система счисления тоже является алфавитной. Эта система применялась нашими предками и была достаточно сложной, так как использует в качестве цифр 27 букв.

Большие числа представлялись на основе данных чисел.

Например, тысяча представлялась так

Более крупные числа, как, например, миллион, или тьма, выглядели следующим образом.

Вот некоторые числа, записанные в славянской системе счисления

Данная система является непозиционной, то есть число не зависит от последовательности цифр.

Самостоятельно записывать числа в этих системах счисления мы не будем, так как это будет слишком сложно.

3 этап. Подведение итогов

На сегодняшнем занятии мы познакомились еще с двумя системами счисления. Как видите сами, числа не всегда были такие простые для написания и запоминания. [1] На следующем занятии мы перейдем к истории именно нашей нумерации, которой пользуемся и по сей день.

Занятие № 7.

Тема: «Индийская нумерация»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить знакомство учащихся с историей индийской нумерации, формировать общеучебные умения и навыки.

Развивающие: формировать мыслительные умения самостоятельно делать выводы по теме, логические умения, гибкость, критичность мышления, умения творческой деятельности.

Воспитательные: формировать правильное мировоззрение, связанное с историей развития математики, воспитывать сознательную самодисциплину, интерес к математике в целом.

Оборудование: ТСО, рабочая тетрадь, мел, доска

Методы: наглядные, словесные, практические

Ход занятия.

1 этап. Организационный момент

Ребята, сегодня мы узнаем, как появились цифры, которыми мы пользуемся каждый день.

Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль

арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы

называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на

десятичной системе -"индийским счетом" (хисаб ал-Хинд).

Епископ Север Себохт, 662 г. н.э.

2 этап. Основной

В долине Инда существовала цивилизация, одним из центров которой был город, раскопанный вблизи холмов Мохенджо-Даро. Эта цивилизация, основанная первоначальным населением Индии, была разрушена арийскими племенами Русов (Племенами Русов 1), пришедшими с Гималаев... [Арийские] жрецы принесли с собой Ведическое мировоззрение и записали священные книги брахманов "Веды" ("Знания"). Ими же была создана система записи счета. К VII-V вв. до н. э. относятся первые индийские письменные математические памятники… Большинство научных трактатов индийцев написаны на санскрите - языке религиозных книг брахманов (см.: www. arcticland.veles.lv/tilak/supplement1.htm). Этот язык [завоевателей] объединял многочисленные народы Индии, говорившие на различных языках.

Индийская нумерация

Счет целых чисел в Индии с древних [арийских] времен носил десятичный характер. Санскрит - индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1 - эка, 2 - дви, 3 - три). В названиях чисел применялся принцип сложения и вычитания; например, 19 можно было назвать и "навадаша", (девять-десять) и "экауна - вимсати" (без одного двадцать).

Начиная с VI в. до н. э. в Индии были широко распространены цифры "брахми". В пятом столбце той же таблицы изображены цифры брахми, воспроизводящие надписи в пещере Назик. В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. До сотни в обоих случаях применялся принцип сложения, а начиная с сотен этот принцип соединялся с принципом умножения: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000.

Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации.

Первая известная нам запись с помощью цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI в. н. э.: это дарственная запись от 595 г. н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместе него на счетной доске оставлялся пустой столбец.

Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами "пустое", "небо", "дыра"; единица - предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка - словами "близнецы", "глаза", "ноздри", "губы"; четверка - словами "океаны", "стороны света" и т. д.

Применение позиционного принципа в словесной нумерации, в котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами "Луна - дыра - крылья - Луна". Одно из названий нуля - "шунья" (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. индийские сиддханты переводили на арабский язык, слово "шунья" перевели арабским словом "сыфр", имеющим то же значение. Слово "сыфр" при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово "цифра", также первоначально означавшее нуль.

Но в это же время на судьбу нумерации значительное влияние оказали математики. В области вычислений требовались более удобные системы счисления и Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами.

Первое достоверное свидетельство о записи нуля относится к 876 г., в настенной надписи из Гвалиора (Индия) имеется число 270.

На основе цифр брахми выработались современные индийские цифры "деванагари" (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев.

Первым свидетельством об индийской десятичной позиционной системе являются слова сирийского христианского епископа Севера Себохта, жившего в одном из монастырей в верховьях Евфрата в VII в. В рукописи 662 г. Себохт писал: "Я не стану касаться науки индийцев... их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков."

Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - "индийским счетом" - (хисаб ал-Хинд).

3 этап. Практический

Выполним задание, в котором нужно восстановить пропущенные цифры: 1) ; 2)

4 этап. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Сегодня вы узнали, что на самом деле цифры, которыми мы сейчас пользуемся, придумали не арабы, а индийцы. На следующем занятии я вам расскажу, как же эта система счисления попала в Европу. А дома вы сделаете самостоятельно такое задание:

Занятие № 8.

Тема: «Десятичная система счисления в Европе»

Тип: комбинированный (изучение нового материала + применение знаний и умений)

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить усвоение учащимися того факта, что десятичная система счисления дошла до наших предков с огромными трудностями, формировать общеучебные умения и навыки.

Развивающие: развивать мыслительные умения, логику, творческое мышление.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей развития математики, воспитывать позитивное отношение к учению, сознательную самодисциплину.

Оборудование: ТСО, рабочая тетрадь, мел, доска

Методы: наглядные, словесные, практические.

Ход занятия

1 этап. Организационный момент.

Как появилась привычная для нас десятичная система счисления, мы узнали на прошлом занятии, сегодня мы познакомимся с тем, как эта система попала в Европу.

2 этап. Основной

В Европу десятичная нумерация проникла из Исламского Востока. Наиболее ранние рукописи на арабском языке, содержащие индийскую позиционную запись чисел, относятся к 9-му столетию нашей эры. Одним из первых в Европе понял преимущества новой нумерации французский церковнослужитель и математик Герберт, который в 999 году стал римским папой под именем Сильвестра II. Новоиспеченный папа попытался провести реформу в преподавании математики и ввести новую систему нумерации. Однако нововведение встретило яростный гнев со стороны инквизиции. Папу обвинили в том, что он «продал душу сарацинским дьяволам». Реформу постарались провалить, и папа-математик вскоре умер. Но и после смерти его не оставили в покое. Несколько столетий ходили слухи, что из мраморного саркофага папы непрерывно сочится серный дым и слышится шорох чертей.

Хотя первые записи арабско-индийскими цифрами встречаются в испанских рукописях еще в 10-м веке, десятичная система начинает закрепляться в Европе, начиная только с 12-го века. Новая нумерация в Европе встретила ожесточенное сопротивление как со стороны официальной схоластической науки того времени, так и со стороны отдельных правительств. Так, например, в 1299 г. во Флоренции купцам было запрещено пользоваться новыми цифрами, в бухгалтерии приказано было либо пользоваться римскими цифрами, либо писать числа словами.

Убежденным сторонником использования арабско-индийской системы счисления в торговой практике был известный итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), получивший математическое образование в арабских странах. В своем сочинении «Liber abaci» (1202) он писал: «Девять индусских знаков - суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «zephirum», можно написать какое угодно число».

Несмотря на кажущуюся простоту, десятичная система содержит глубокую математическую идею. Известный французский математик, физик, астроном Пьер Симон Лаплас по этому поводу писал так: «Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учёности Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

В начале 17-го века новая нумерация проникает в Россию, но православная церковь встречает ее в штыки и объявляет новую нумерацию колдовской и безбожной. Закрепилась десятичная нумерация в России только после издания в 1703 году знаменитой «Арифметики» Магницкого, в которой все вычисления в тексте производились исключительно с использованием десятичной системы счисления. [2]

3 этап. Практический

А сейчас давайте решим интересные задачки.

1 задача. У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по 7 мер зерна. Как велики числа этого ряда и как велика их сумма?

2 задача. Угадайте задуманное число. В своей книге «Арифметика» Леонтий Филиппович Магницкий привел следующий способ отгадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил бы в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа единиц задуманного числа, а результат произведенных действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число». Почему так получается?

4 этап. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Сегодня мы раскрыли фокус с угадыванием задуманного числа. На следующее занятие подготовьте такие же задачки, можете придумать сами, а можете найти в книгах. Только задачу принесите с подробным решением. А на следующем занятии мы будем слушать ваши доклады. Так что приготовьтесь хорошо.

Занятие № 9

Тема: «Интересные сведения из жизни древних математиков»

Тип: занятие - семинар

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: прослушать доклады учеников, обсудить то, что не будет озвучено в докладах, но очень важно для дальнейшего изучения курса.

Развивающие: развивать систематичность и последовательность мышления, логические способности учащихся.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей развития математики, воспитывать интерес к математике, внимательность к ответам своих товарищей, сознательную самодисциплину.

Методы: словесные

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Сегодня мы прослушаем доклады, которые приготовили ребята. Слушаем их очень внимательно, так как эти факты нам пригодятся в дальнейшем изучении курса нашего кружка.

2 этап. Основной

Звучат доклады учеников: Магницкий и его «Арифметика»; Эратосфен - его достижения и жизненный путь; Евклид - его достижения и жизненный путь; Архимед - его достижения и жизненный путь.

3 этап. Обсуждение, добавление к сказанному. Подведение итогов.

Беседа зависит от подготовки учащихся.

На следующем занятии мы напишем тест по пройденному разделу, поэтому повторите все, что мы с вами изучили.

Занятие №10

Тема: история арифметики

Тип: игра

Вид: нетрадиционный

Цели:

Образовательные: формировать умения применять в игре полученные знания.

Развивающие: развивать внимание, математическое мышление, находчивость, сообразительность, память.

Воспитательные: формировать правильное мировоззрение, связанное с историей развития математики, воспитывать интерес к математике.

Оборудование: магнитная доска с магнитами, ТСО, 6 табличек с именами участников, таблички с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 для ответов, бумажные звёзды, 4 мяча с наклеенными цифрами 1, 2, 3, 4, 5.

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Звучит музыка.

Ведущий. Здравствуйте дорогие участники и зрители! Сегодня мы собрались, чтобы очень интересно и с пользой провести время, понаблюдать за игрой наших ребят. Итак, поприветствуем наших участников!

Звучит музыка, под аплодисменты зрителей выходят участники игры, занимают свои места. Ведущий представляет каждого из участников.

2 этап. Основной (содержание игры)

Ребята, сейчас вам будет необходимо отвечать на мои вопросы, а делать вы это будете с помощью табличек с цифрами, за каждый правильный ответ получаете звезду. Желаю вам удачи и в добрый путь!

Ведущий. Математика - это наука, имеющая дело с числами, количеством, формой. Без знания математики вся современная жизнь была бы невозможна. Например, у нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать, сооружать. Наша одежда была бы очень грубой, так как её нужно хорошо скроить, то есть точно всё измерить. Не было бы ни железных дорог, ни кораблей, ни самолётов, никакой большой промышленности, ни коммерции. И, конечно, не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысячи других вещей, составляющих часть нашей цивилизации.

Использование математики, измерение "на сколько?", "как долго?" являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живём.

Жизнь наших предков была намного проще, но даже они вынуждены были прибегать к использованию цифр.

Древний человек хотел учитывать вещи, которыми он владел. Сколько у него инструментов? Сколько оружия? Сколько животных?

Вообще счёт стал началом математики. Это искусство счёта развивалось на протяжении длительного времени. Сначала для этого делались зарубки или отметки на папирусе. Древний человек мог сказать "сколько?" глядя на эти зарубки, хотя не имел даже слов, чтобы назвать это. Со временем древние египтяне, а потом греки и римляне создали более совершенную систему чисел и вместе с этим и приспособления счёта.

- Итак, внимание вопросы первого тура.

1. Я считаю, что эти приспособления счёта расположены в порядке их появления. Если нет, то какие номера нужно поменять местами.

Участники должны показать таблички для ответов с номерами 3 и 4. За каждый верно показанный ответ они получают звезду, так по каждому вопросу.

2. Под каким номером скрывается "Абак"?

Участники поднимают табличку с номером 4.

3. Какое приспособление счёта из этих новейшее?

Участники поднимают табличку 5.

4. Какими приспособлениями люди уже не пользуются?

Участники поднимают таблички 2 и 4.

На этом первый тур закачивается, во второй тур переходят участники, имеющие большее количество звёзд.

Ведущий. Но счёт, конечно, это только одна часть математики. Идея измерения также очень важна для человека.

Перед вами представлены меры длины.

- Эта система была выработана во Франции в 1789 году, более двухсот лет прошло с тех пор. Метрическая система измерения базируется на десятке. Это означает, что каждая следующая единица измерения превышает предыдущую ровно в десять раз.

Внимание, вопросы второго тура!

1. Я считаю, что это всё меры длины, кроме одной. Покажите её номер.

Участники должны показать табличку с номером 2.

2. Какими мерами измеряют рост человека?

Участники показывают таблички с номерами 3 и 6.

3. Назовите самую мелкую меру длины из представленных.

Участники показывают табличку с номером 5.

4. Всё ли верно записано в порядке убывания мер длины. Если нет, то, какие номера нужно поменять местами?

Участники поднимают таблички 5 и 6.

5. Одна из этих мер является эталоном длины. Он сделан из сплава платины и иридия. Хранится он во Франции, в городе Севре, близ Парижа. Под каким номером эта мера?

Участники поднимают табличку с номером 3.

На этом второй тур заканчивается, в третий тур переходят участники, имеющие большее количество звёзд.

Ведущий. Итак, дорогие друзья, вы, вероятно, знаете, что ноль - это понятие изобретённое. Это одно из величайших изобретений человечества, это целая теория. Изобрели его в Индии, задолго до новой эры. Более удобная система счёта привезена к нам в Европу арабскими торговцами, поэтому называется индо-арабской системой.

По индо-арабской системе все числа записывались знаками - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Цифры, входящие в числа, записанные в этой системе, имели разное значение в зависимости от места, на котором они стояли, например, 25 и 52.

Итак, финал!

Выкатываются 4 мяча с цифрами 1, 2, 4, 5.

- За одну минуту, вы должны составить как можно больше трёхзначных чисел.

По истечении времени, участники называют свои числа по очереди, причём, называть начинает тот, у кого больше звёзд. Если участник не может назвать число, то он вправе предложить за него звезду. Когда звёзды кончаются, и тот, кто не называет числа, оказывается проигравшим. Однако, этих двух последних участников награждают поощрительными призами.

3 этап. Подведение итогов

Ведущий. Сегодня победителем у нас стал(а)... Вот и закончилась наша игра, надеюсь, вы многое повторили из истории математики, потому что на следующем занятии мы напишем тест по пройденному разделу. Спасибо всем участникам за вашу игру. До новых встреч!

Занятие № 11

Тема: «История становления понятия число»

Тип: занятие - контроль

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: проконтролировать степень усвоения знаний по теме «История становления понятия число».

Развивающие: развивать логичность, последовательность и систематичность мышления.

Воспитательные: воспитывать интерес к истории математики.

Методы: контрольные (тест)

Оборудование: раздаточный материал

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Сегодня мы напишем итоговый тест, по результатам которого выявим самого любознательного. Сейчас я выдам вам листы с вопросами. Все ответы записывайте рядом с вопросом. Всего будет 10 вопросов. Оценку ставить я не буду. Я поставлю только итоговое количество баллов, приступаем к работе.

2 этап. Основной

Тест к разделу «история становления понятия число»

Ученика (-цы) 5 (6) класса Ф. И. 1.

Система счисления - это …

а) система записи чисел;

б) набор знаков и символов;

в) свой вариант ответа.

2.

В какой стране и когда появилось обозначение для 0?

3.

В чем преимущества позиционной системы счисления?

4.

Как предлагал Архимед разбить все числа для записи числа песчинок во Вселенной?

5.

Как называлось сочинение Евклида?

6.

Что такое «решето» Эратосфена? (Ответ можно нарисовать)

7.

Как запишется число 78 римскими цифрами?

а) LXXVIII;

б) XXXCVIII;

в) LXXIIIV.

8.

Какие следы вавилонской системы счисления сохранились и до наших дней?

а) деление года на 12 месяцев;

б) деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд;

в) клинописная письменность.

9.

Алфавитная система счисления была у …

а) греков;

б) арабов;

в) индийцев.

10.

Десятичная нумерация проникла в Европу из …

а) Индии;

б) Китая;

в) Исламского Востока.

3 этап. Подведение итогов.

Сдаем работы, на следующем занятии мы продолжим наше путешествие по страницам истории арифметики и попадем в государство арифметических операций.

Раздел 2.

Государство арифметических операций

Занятие № 12.

Тема: «Арифметические операции в Египте и Индии»

Тип: изучение нового

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить усвоение учащимися знаний об истории появления арифметических операций в Египте и Индии.

Развивающие: развивать систематичность и последовательность мышления, логические и творческие способности учащихся.

Воспитательные: формировать правильные представления об истории развития математики, интерес к изучению истории математики, сознательную самодисциплину.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь.

Методы: словесные, наглядные, практические

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Сегодня мы продолжим наше путешествие по страницам истории математики. И попадем в государство Арифметических действий. Начнем с того, что познакомимся, как выполняли наши привычные 4 операции в Египте и Индии. Какие 4 операции вы знаете? (сложение, вычитание, умножение и деление)

2 этап. Основной

В те далекие времена было различно понятие арифметических действий у разных народов мира. Наши привычные четыре действия: сложение, вычитание, умножение и деление - египтяне выполняли сложением, удвоением и делением пополам. Удвоение являлось основной операцией. Вычитание выполнялось дополнением вычитаемого до уменьшаемого, деление - удваиванием.

Вот пример египетского умножения:

Произведение 1713 получается сложением отмеченных звездочками результатов, полученных удвоением. Складывая эти числа, мы берем 17 слагаемым (1+4+8) раз, что составляет умножение 17 на 13.

Деление 19:8 египтяне выполняли следующим образом:

Отмеченные звездочками числа первого столбца показывают, что 8 надо взять раз, чтобы получилось 19, так как соответствующие отмеченным числам числа из второго столбца в сумме дают 16+2+1=19;

19:8=.

Египтяне писали сумму без знаков +, в виде , как это делали и многие другие народы.

Греки, хотя и знали действие умножения, в житейской практике употребляли египетский метод удвоения.

И только в конце 15 столетия итальянский автор Лука Пачоли пришел к выводу, что удвоение и раздвоение являются частными случаями умножения и деления. Он же и отбросил их из списка арифметических действий.

Но удвоение и египетский способ умножения при помощи удвоения оказались очень живучими и удержались в практике очень надолго. В зарубежной литературе в наше время он описывается как «Способ умножения чисел, применяемый русскими крестьянами».

Даже порядок изучения четырех арифметических действий предлагался в разные времена различный. У Леонардо Пизанского (13 век) действия изучаются в порядке: умножение, сложение, вычитание, деление; а у Петра Борги - умножение, деление, сложение, вычитание.

Предложение изучения арифметических действий с умножения не вызвало одобрения. Некоторые ученые подчеркивали равноценность всех четырех действий, а некоторые отмечали взаимозависимость сложения с умножением, вычитания с делением, кто-то рассматривал умножение как частный случай сложения и включал его в число арифметических действий вообще, так как оно представляет лишь способ сокращенной записи.

Различение арифметических действий по ступеням сделал впервые Непер в книге «Логистическое искусство», которая была напечатана впервые лишь в 1839 году. Непер считает умножение и деление действиями более высокого порядка, чем сложение и вычитание; третью ступень действий составляют возведение в степень и извлечение корней.

Наиболее древние индийские памятники свидетельствуют о том, что в Индии четыре арифметических действия выполнялись почти так же, как мы их выполняем в настоящее время. Вследствие того что жители Индии писали на посыпанных песком дощечках, на которых можно было легко «стереть» ненужную цифру, они производили такие действия слева направо. При письме же на бумаге при таком порядке действий возникала необходимость перечеркивать ставшую ненужной или неверную цифру, писать над ней или под ней действительную. Этот прием был введен арабами и от них он перешел к европейцам.

С 15 века в Европе входят в употребление наши способы вычисления, не требующие зачеркиваний цифр.

3 этап. Практический

Давайте попробуем умножить числа 24 и 14, как это делали египтяне.

4 этап. Подведение итогов и постановка домашнего задания

На сегодняшнем занятии вы узнали, как раньше выполнялись арифметические действия, а также сами научились выполнять умножение методом удвоения. Дома самостоятельно умножьте 29 на 15.

Занятие № 13.

Тема: «Путешествие в страну символов арифметических действий»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить знакомство учащихся с историей появления символов, означающих действия сложения и вычитания.

Развивающие: формировать критичность, самостоятельность, последовательность мышления, развивать логические умения.

Воспитательные: формировать правильное мировоззрение, связанное с историей развития математики, воспитывать хорошее отношение к учению, сознательную самодисциплину.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь.

Методы: иллюстративные, словесные, практические

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Какими методами выполнялись действия вы уже знаете. Но интересно, как в древности обозначали знак сложения или вычитания, умножения или деления. Сегодня я расскажу вам как люди пришли к привычным для нас знакам + и -.

2 этап. Основной

До конца 16 века руководства по арифметике не применяют систематически каких-нибудь символов, и авторы их не дают себе отчета в значении их. Заслугой Лейбница является пропаганда этого понимания. Создание международных научных журналов в 17 и 18 веках выдвинуло вопрос о создании общих интернациональных символов.

Знаки сложения и вычитания.

Знаки + и - появляются как бы случайно у Видмана, Стифеля, Риза, произведя впечатление, что они не «аборигены» (уроженцы) математики, а «пришельцы из других областей».

Возникновение этих знаков не ясно. Знак + у Видмана заменяет слово «и»: он пишет «шиллинга», а рядом «». Этот же знак употребляется им там, где не производится никакого сложения, например в заглавиях страниц: «правила увеличения + уменьшения». После неоднократного употребления знака - Видман заявил: «- означает минус» (меньше, отнять) и тут же добавил: «+ означает больше». В анонимной Бамбергской арифметике не встречается ни разу слово «плюс», но зато «минус» - многократно и в современном смысле. Употребление знаков + и - производит впечатление, что оно перенято из торговой практики для обозначения перевеса и недовеса. У Видмана эти способы записи торговой практики становятся математическими символами. В задаче, в которой надо найти стоимость одного яйца, Видман допускает запись: «8 яиц - 2 пфеннинга» равно «4 пфеннинга + яйцо».

Внедрению в употребление знаков + и - содействовали главным образом созданные к тому времени первые учебники по математике. В два последних десятилетия 15 века знаки + и - получили довольно широкое распространение в математических руководствах.

Первой печатной книгой, содержащей изложение приемов вычислений с применением знаков + и -, является руководство Грамматеуса. В других странах содействовали введению этих символов руководства Рикорда, Аутрида, Харриота, Рамуса, Виета. Итальянские математики 16 века Кардано, Тарталья, Бомбелли упорно придерживаются употребления букв р (плюс) и т (минус) вместо знаков + и -. [4]

О том, почему именно знаками + и - стали обозначать понятия «прибавить или больше» и «отнять или меньше», существуют разные гипотезы. Правдоподобно происхождение знака + из слова et (и, да). Нематематические рукописи 14 и 15 веков употребляют часто для слова «и» знак, похожий на t.

Происхождение знака - (минус) объясняли переносом практического значка убыли из торговой практики. На родине Видмана винная торговля занимала большое место в деятельности населения. Проданные меры вина могли обозначать черточками на бочках, а восстановление в них запасов вызывало, естественно, перечеркивание соответственного числа черточек. Так могли в этом месте возникнуть знаки + и -.

Для избегания смешения знака - с обычным тире в 17 веке стали минус обозначать знаком . Эту форму знака вычитания мы видим в алгебраической части «Арифметики» Магницкого, в арифметической части книги, когда данные числа пишутся одно под другим, Магницкий не ставит впереди никаких знаков действий. Соединенные знаки ± впервые появляются у Жирара в форме «или». Ясное различие двоякого смысла знаков, как знаков действий и как знаков положительных и отрицательных чисел, встречаются впервые у Уилкинса.

3 этап. Практический

В записи 88888888 поставьте между некоторыми цифрами знаки сложения так, чтобы в сумме получилась 1000.

4 этап. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Вот вы и узнали историю появления знаков + и -. А еще воспользовались нашим привычным знаком сложения и решили задачку. Дома попытайтесь решить следующую задачу: по столбу высотой 10 метров взбирается улитка. Днем она поднимается на 5 метров, а ночью опускается на 4 метра. Через сколько дней улитка достигнет вершины столба? Следующее занятие мы начнем именно с разбора этой задачи.

Занятие № 14.

Тема: «Государство символов арифметических операций»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить усвоение учащимися истории появления знаков, обозначающих умножение, деление, равенство и неравенство, формировать общеучебные умения и навыки.

Развивающие: формировать мыслительные умения выделять главное в изучаемом материале, умения творческой деятельности учащихся, гибкость, самостоятельность, критичность мышления.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей развития математики, воспитывать чувство ответственности, умение работать в команде, сознательную дисциплину.

Оборудование: ТСО, рабочая тетрадь, раздаточный материал, доска, мел.

Методы: словесные, наглядные, практические.

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

На прошлом занятии вы узнали историю возникновения знаков сложения и вычитания. Сегодня я вам расскажу, как появились знаки умножения, деления, равенства и неравенства.

2 этап. Разбор домашнего задания.

Но сначала мы проверим, как вы справились с домашней задачей. У кого получилось ее решить? Покажите свое решение у доски. Если у кого -то другое решение, то тоже запишите его на доске.

3 этап. Основной

Знаки умножения и деления.

Буквы M и D (Multiplicato, Divisio) для обозначения умножения и деления употребляют Стевин и некоторые другие авторы. Знак умножения ввел Аутрид, возможно по аналогии со знаком +. Запись умножения буквенных выражений безо всякого знака между ними была уже у первых авторов алгебры и естественна при употреблении числовых коэффициентов. Точка в качестве знака умножения появляется у Региомонтана, затем у Харриота. Сознательно и подчеркивая значение точки, как знака умножения, это делает Лейбниц.

Горизонтальная черточка в качестве знака деления имеется у Леонардо Пизанского (13 век) и позаимствована им от арабов. Знак деления : впервые встречается у Джонсона. Пелль вводит знак деления , употребляемый до сих пор нередко в Англии и Америке.

Знаки равенства и неравенства.

Употребляемый в настоящее время знак равенства введен англичанином Р. Рикордом в книге «Оселок остроумия» с обоснованием: «Никакие два предмета не могут в большей степени равны между собой, как две параллельные линии (отрезка)». Он, как и Магницкий, употребляет в качестве знака равенства два длинных параллельных отрезка. Этот знак вырезан на могильном камне Рикорда.

Знак равенства = не сразу и даже не скоро нашел признание. Многие авторы 16-17 веков употребляли для обозначения равенства знак || или сокращенное слово «равняется».

Декарт вводит для обозначения равенства особый знак, который чуть было не вытеснил совсем знак = у континентальных математиков.

Для обозначения неравенства предлагались в разные эпохи различные знаки; предложенные Харриотом теперешние < и > получили быстро всеобщее признание.

4 этап. Игра

А сейчас давайте разделимся на 2 команды. Каждая команда получит задание. Кто первый справится, тот и победил. В карточке написана задача. Это задача на логическое мышление. Так что приступайте.

1 задача. Три друга живут в соседних домах, следующих друг за другом : под номерами 34, 36 и 38.

У каждого из них разный цвет волос и разное хобби.

Брюнет любит удить рыбу.

Блондин живет в доме, номер которого делится на 4.

А тот, кто любит играть в футбол, счастлив, потому, что сумма цифр номера его дома в точности равна 11, что равно числу игроков команды в его любимом виде спорта.

В доме с каким номером живет человек, чье хобби - музыкальная жизнь?

Задача 2. В библиотеке есть книги по истории, математике и физике.

Обложки этих книг красные, зеленые и голубые.

Нам известно, что обложки книг по истории не голубые, обложки математических книг либо голубые, либо зеленые, и что обложки книг по физике не красные, и не зеленые.

Какого цвета обложки исторических книг ?

5 этап. Подведение итогов

Молодцы! Вы сегодня хорошо поработали, поэтому домашнего задания не будет. А на следующем занятии мы перейдем к подробному рассмотрению приемов выполнения арифметических действий.

Занятие № 15.

Тема: «История отдельных арифметических действий. Сложение»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: подробно ознакомить учащихся с приемами сложения у разных народов, формировать общеучебные умения и навыки.

Развивающие: формировать мыслительные умения систематизировать, устанавливать связи с ранее изученным материалом.

Воспитательные: воспитывать интерес к истории математики, сознательную дисциплину.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь.

Методы: словесные, иллюстративные

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Теперь мы посвятим несколько занятий подробному изучению приемов выполнения арифметических действий. И начнем со сложения.

2 этап. Основной

Приемы сложения чисел в современном виде возникли в Индии. Индийцы складывали многозначные числа слева направо, «стирая» без труда в числе, написанном в качестве суммы левой колонны, цифру, если нужно было ее увеличить. Сложение слева направо рекомендовалось не раз и в европейской математике: такой способ гарантирует более скорый и более верный путь получения результата.

Результат сложения в Индии писали не под колонками слагаемых, а над ними - прием, который встречается у греков и римлян. Индийский прием сложения усвоил Мухаммед ал-Хорезми в начале 9 века и передал его арабам и через них Европе.

Сакробоско (середина 13 века), профессор математики и астрономии в Париже, внедряет в Европе через свое руководство правило складывать числа справа налево. С 15 века правила сложения не отличаются уже от современных.

Термин «сумма» употребляется в классической древности сначала не как название результата сложения чисел. Суммой называлось основное число при всяких расчетах, и оно записывалось первым, сверху, как долгое время записывалась сумма при сложении сверху. Еще Леонардо Пизанский говорил: «сумма умножения», «сумма деления». Термин «сумма действия» для обозначения любого результата арифметических действий встречается в европейских распространенных руководствах до конца 17 века, например, в очень распространенном в течение столетия руководстве Каспара Шотта. Оттенок такого значения слова «сумма» сохранился в нашем языке до сих пор: мы говорим о «денежной сумме» в случаях, когда никакого сложения не производим.

С конца 15 века слово «сумма» начинает употребляться и в специфическом значении результата сложения. Об этом свидетельствует появление слова «суммировать» рядом с глаголом «складывать» уже у Видмана в учебнике 1489 г.

Термин «результат» уже у Видмана происходит от латинского глагола resultare - происходить; resultatum - происходящее, произведенное. В качестве математического термина слово «результат» впервые появляется у Петра Датского.

Понятие «равняется» обозначалось латинским словом facit - делает, составляет. Это слово facit (фацит) в разных языках до сих пор обозначает результат вычислений. В этом же смысле употребляется термин «агрегат» (соединение).

Термин «слагаемое» встречается с 12 века.

3 этап. Подведение итогов

Таким образом, вы теперь все знаете об операции сложение. Так постепенно вы будете отлично владеть историей развития всех арифметических операций.

Занятие № 16.

Тема: «История отдельных арифметических действий. Вычитание»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: подробно ознакомить учащихся с методами вычитания, формировать умения вычитать разными способами.

Развивающие: формировать последовательность и систематичность мышления, развивать логические и творческие умения учащихся.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей математики, воспитывать позитивное отношение к учению, сознательную самодисциплину.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь.

Методы: словесные, иллюстративные, практические.

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

С методами сложения вы уже познакомились, сегодня вы узнаете, как выполняли вычитание разные народы и сами попробуете выполнить вычитание их способом.

2 этап. Основной

При выполнении действия вычитания применялись в разные времена два приема: 1) отсчитывание от уменьшаемого единиц вычитаемого, 2) прибавление к вычитаемому такого числа, чтобы в сумме получилось уменьшаемое. Второй прием получил в новое время название австрийского способа.

Первый способ ведет свое начало из Индии, где он выполнялся слева направо, что было практически нетрудно при легкости «стирания» подлежащей изменению цифры при индийском способе письма на посыпанных песком дощечках. При выполнении действия вычитания не на дощечке с песком пришлось ввести неудобный способ перечеркивания и надписывания цифр. Вот как выглядит вычитание по раннему переводу книги ал-Хорезми (по-видимому, сделанному Иоанном Севильским, 12 век):

Смысл записей следующий:

1. 12-3=9; результат записывается сверху, использованные цифры вычеркиваются.

2. 6 (сотен) из 0 (сотен) вычесть нельзя; берется от полученного числа 9 (тысяч) одна; 10 сотен - 6 сотен=4 сотни; перечеркивается 9, равно как использованные цифры 0 и 6, надписываются 8 и 4.

3. 2 десятка - 0=2 десятка, перечеркивается лишь 0.

4. 5-4=1, перечеркиваются 5 и 4 и надписывается 1, получается в виде числа из неперечеркнутых цифр 8421. Вычислитель, знакомый с методом, писал только третий этап записи.

Западные арабы ввели правило начинать вычитание от правой руки, однако в Европе еще Рамус (конец 16 века) рекомендовал начинать вычитание слева.

Понятие «вычитать» греки и римляне обозначали разными терминами житейского языка, не имея специального термина. Термин subtractio (у Магницкого «субтракцио или вычитание») появляется у Боэция. Термины «уменьшаемое», «вычитаемое» (число) появляются у Вольфа. Магницкий их не употребляет.

Термины «остаток», «избыток» для обозначения результата вычитания имеются у Герберта (10 век), Леонардо Пизанского (13 век), но не имеют еще характера специального термина. Термин «разность» - differentia - в смысле результата вычитания впервые употребляет Видман (1489).

3 этап. Практический

А теперь давайте попробуем таким методом вычесть из 48459 число 8581.

4 этап. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Оказывается наше вычитание в столбик даже самый простой метод вычитания. Но все равно дома выполните вычитание индийским методом 67423-1567.

Занятие № 17.

Тема: «История отдельных арифметических действий. Умножение»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: подробно ознакомить учащихся с методами умножения древних народов, формировать умения умножать разными способами.

Развивающие: формировать мыслительные умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, развивать гибкость, самостоятельность мышления.

Воспитательные: формировать правильное мировоззрение, связанное с историей математики, воспитывать интерес к истории математики и ко всей математике в целом.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь.

Методы: вербальные, иллюстративные, практические

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Мы все дальше уходим вглубь истории математики. И сегодня вы узнаете разные способы выполнения умножения, оказывается их было очень много.

2 этап. Основной

Действие умножения рядом со сложением является одним из оснований нумерации; в качестве особого арифметического действия умножение стало рассматриваться сравнительно поздно. Египтяне производили умножение чисел удвоением и сложением результатов удвоения. Вавилоняне умножали при широком применении таблицы в шестидесятеричной системе.

От греческого умножения сохранились примеры в комментариях Евтокия (480год н. э.) на вычисление площади круга Архимедом, пример умножения с шестидесятеричными дробями у Теона Александрийского (около 365 года н. э.) и умножение смешанных чисел у Герона (1 или 2 век н. э.). вот пример умножения Герона:

Значительное облегчение умножения больших чисел в греческой письменной нумерации ввел Аполлоний (между 250 и 200 годами до н. э.). Он разбивает десятичные разряды на классы по четыре, перемножает числа разрядных единиц и определяет класс и разряд полученного произведения по разрядам перемножаемых разрядных единиц. Прием этот совпадает с нашим, усложняясь лишь тем, что у греков отсутствовал позиционный принцип записи чисел.

В Индии в глубокой древности был создан способ умножения, близкий к современному. Перемножая отдельные разряды, начиная с высших, при большом развитии устного счета и легкой «стираемости» подлежащей исправлению цифры, индийцы надписывали над множимым сразу произведение без промежуточных выкладок. Из Индии же ведут начало разные быстрые методы умножения чисел, равно как и способы облегчения умножения путем разложения перемножаемых чисел на множители.

Индийские способы умножения перешли к арабам с заменой стирания цифр вычеркиванием и надписыванием исправленных. От арабов приемы эти переходят в Европу, где к ним добавляются разные варианты, так что каждый учебник 15 - 16 веков предлагает от 6 до 8 разных методов умножения чисел. Наш нынешний способ умножения, начинающийся с низшего разряда множителя и образующий отступающие влево ряды цифр, встречается начиная с Белдомани (1410), у Пачоли (1494) среди разных других приемов; Региомонтан, Борги и Кардано ограничиваются уже только одним этим способом. Пачоли указывает на возможность умножения, начиная с высшего разряда множителя и отступая вправо, причем пустые места верхних частичных произведений он заполняет нулями. Этот способ применяют учебники коммерческой арифметики до 19 века включительно, как способ, гарантирующий более аккуратную запись у учащихся.

Понимание того, что умножение есть частный случай сложения, ясно выражает Петр Рамус в своей арифметике 1586 года: «Умножение есть сложение, числа которого (слагаемые) не различаются между собой».

Для выполнения умножения многозначных чисел разными авторами указывались десятки правил. Обсуждать их не имеет смысла; достаточно указать из них только те, которые представляют тот или иной интерес или оставили какой-нибудь след в наших современных приемах вычислений.

Описание многих из этих некогда применявшихся способов умножения дано в книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики».

Немецкий автор Петценштейнер (15 век) советует располагать умножение (456 на 97) следующим образом:

Автор, очевидно, имеет в виду предупредить при умножении на многозначное число возможность пропуска умножения на какой-нибудь разряд множителя.

Очень распространенным в старину был способ умножения «решеткой», называвшийся в Италии Gelosia (джелозия, жалюзи - решетчатые ставни). Умножение чисел 456 на 97 по этому способу располагается так:

Множимое стоит над решеткой, множитель - справа, написанный сверху вниз. От умножения каждой цифры множимого на каждую цифру множителя получаются однозначные или двузначные числа; десятки этих чисел пишутся в соответственной клетке над наклонной чертой, единицы - под ней. Цифры произведения получают сложением чисел по наклонным полоскам решетки, как это ясно без объяснений по приложенному примеру.

3 этап. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Вот вы и познакомились с некоторыми способами умножения. Но это далеко не все способы.

В качестве домашнего задания будет следующее: найти по одному способу умножения и подробно разобрать его. С этого мы начнем следующее занятие. Рекомендованная литература: Депман И. Я. «История арифметики».

Занятие № 18.

Тема: «История отдельных арифметических действий. Деление»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: подробно ознакомить учащихся с методами деления разных народов, формировать умения делить разными способами.

Развивающие: формировать мыслительные умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, систематизировать, развивать гибкость, критичность мышления.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей математики, воспитывать хорошее отношение к учению, сознательную самодисциплину, интерес к математике.

Оборудование: ТСО, доска, мел, рабочая тетрадь.

Методы: словесные, наглядные, практические.

Ход занятия

1 этап. Организационный момент.

Осталось нам изучить последнее действие - деление. А точнее сказать методы, которыми выполняется деление.

2 этап. Проверка домашнего задания.

Но сначала проверим как вы справились с домашним заданием. Кто какие способы умножения нашел? Выходим к доске и рассказываем всем.

3 этап. Основной.

Ранние учебники арифметики называют деление нахождением числа, которое содержится в делимом столько раз, сколько делитель содержит единиц. Такое определение деления лежит в основе египетского способа.

Как производили деление чисел греки, мы не знаем, так как до нас дошел только один пример деления шестидесятеричных дробей Теона Александрийского.

Индийский способ деления, удобный при их способе вычислений, в котором цифры легко «стирались» и исправлялись, превратился в весьма громоздкую операцию перечеркивания и надписывания цифр у арабов, которая под названием «деления вверх» держалась у европейских народов до 18 века.

Можно проиллюстрировать этот метод деления одним из простых примеров, взятых из «Арифметики» Магницкого, - 158 888 : 348.

Делитель подписывается под делимым. Так как 158 не делится на 348, то первую цифру делителя надо писать под второй цифрой делимого. В уме находим первую цифру частного и пишем за скобкой вправо от делимого:

Умножаем отдельные разряды делителя на 4, вычеркиваем умноженную уже цифру, произведение отнимаем от соответствующих разрядов делимого, перечеркиваем их и надписываем остаток сверху: запись приобретает такую форму:

Далее поступаем также со следующими разрядами делителя:

Пока что выполнен первый этап деления:

Остаток 19 688 найден в виде неперечеркнутых цифр.

Поступая таким же образом с числом 19 688, имеем:

Выполнены два этапа деления:

С остатком 2288 поступаем так же:

Выполнены три этапа деления:

Соединяя все вместе и производя все три этапа вычислений в одной записи, имеем:

Под делимым в первой строке был написан делитель. После нахождения первой цифры частного все цифры делителя перечеркивались.

Для второго этапа деления делитель подписывался вновь, отступая на одно место вправо, но, по-видимому, для изящества или полноты последняя цифра делителя писалась за перечеркнутой последней цифрой первого делителя и таким же образом при последующих делениях.

Нужно отметить, что Магницкий фиксацию получения остатка при делении представляет иначе: при частном 456 он пишет . Это не дробь, о которой еще нет у него речи, а запись того факта, что при делении 158 888 на 348 получилось частное 456 и остаток 200.

Если сравнительно простой случай деления потребовал такой сложной операции, в которой Магницкий делает ошибки в записи, то становится понятным тот факт, что умение делить считалось в старину признаком хорошего знания математики. В 7 веке монах Бэда считался одним из самых просвещенных людей. Ему приписываются слова: «Кто умеет делить, тому никакое дело не покажется трудным».

«Трудная вещь - деление», - говорит старинная итальянская поговорка. Усвоивший деление в старое время получал титул «доктора абака». Число существовавших разных способов деления доходило до нескольких десятков. На выполнение деления сравнительно небольших чисел требовалось много времени.

Описывать существовавшие различные способы деления нет смысла. Все они говорят только о том, что деление, как и вся арифметика, трудно усваивалась человеком.

4 этап. Подведение итогов.

Вот мы и закончили путешествовать по государству Арифметических действий. Дома самостоятельно все повторите и на следующем занятии напишем тестирование по этому разделу.

Занятие № 19.

Тема: «История арифметических действий»

Тип: занятие - контроль

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: проконтролировать степень усвоения знаний по теме «История арифметических действий».

Развивающие: формировать последовательность и систематичность мышления.

Воспитательные: формировать правильное мировоззрение, связанное с историей развития математики, воспитывать сознательную самодисциплину.

Методы: контрольные (тест)

Оборудование: раздаточный материал

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Сейчас я выдам вам бланки с тестами, в некоторых вопросах вам придется самостоятельно сформулировать ответ, а в некоторых выбрать из предложенных. Всего 10 вопросов, постарайтесь вспомнить все, о чем мы с вами говорили на занятиях и приступайте.

2 этап. Основной

Тест по истории арифметических действий

Ученика (-цы) 5 (6) класса Ф. И.1.

Какими методами египтяне выполняли сложение, вычитание, умножение и деление?

а) сложением, удвоением и делением пополам;

б) сложением и удвоением;

в) как и в наше время.

2.

Кто первый классифицировал арифметические действия по ступеням?

а) Леонардо Пизанский;

б) Непер;

в) Лейбниц.

3.

Как появились знаки + и - ?

а) неизвестно;

б) от обозначающих их слов;

в) они всегда существовали.

4.

Кто первый придумал знак =?

а) Магницкий;

б) Декарт;

в) Рикорд.

5.

Что означал термин «сумма» в классической древности?

а) основное число при всяких расчетах;

б) результат сложения;

в) долг.

6.

Назовите два основных метода вычитания.

7.

Откуда ведут начало быстрые способы умножения?

а) Греция;

б) Индия;

в) Италия.

8.

Как делили числа греки?

а) «делением вверх»;

б) данные не сохранились;

в) удваиванием.

9.

Кто произнес слова: «Кто умеет делить, тому никакое дело не покажется трудным»?

а) Теон Александрийский;

б) Магницкий;

в) Бэда.

10.

Какой метод умножения в Италии называли Gelosia?

а) удваивание;

б) умножение решеткой;

в) вычеркивание.

3 этап. Подведение итогов

Сдаем работы. Надеюсь все справились на отлично. На следующем занятии мы продолжим наше путешествие по страницам истории арифметики и узнаем, как же она была выделена в число самостоятельных наук.

Раздел 3

</ История становления арифметики как самостоятельной науки

Занятие № 20.

Тема: «Последовательное развитие арифметики»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить усвоение учащимися истории становления арифметики как науки.

Развивающие: формировать систематичность и последовательность мышления, мыслительные умения самостоятельно делать выводы по теме.

Воспитательные: формировать правильное мировоззрение, связанное с историей развития арифметики, воспитывать сознательную самодисциплину.

Оборудование: ТСО, рабочая тетрадь.

Методы: иллюстративные, вербальные.

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Историю основных составляющих арифметики мы изучили. Теперь переходим к истории самой арифметики. Как она появилась? Почему назвали ее именно «арифметика»? Какова связь арифметики с другими науками? На эти и другие вопросы вы легко сможете ответить, если будете внимательно слушать меня сегодня и на следующем занятии.

2 этап. Основной

С арифметики, науки о числе, начинается наше знакомство с математикой. Один из первых русских учебников арифметики, написанный Л.Ф. Магницким в 1703 г., начинался словами: «Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобнопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное и изложенное». С арифметикой мы входим, как говорил М. В. Ломоносов, во «врата учености» и начинаем наш долгий и нелегкий, но увлекательный путь познания мира.

Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Эта наука изучает действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы - алгебру, математический анализ и т. д. Даже целые числа - основной объект арифметики - относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел. Такой взгляд на арифметику имеет основания - она действительно остается «азбукой счета», но азбукой «многополезнейшей» и «удобнопонятной».

Арифметика и геометрия - давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г. Ринда) относится к XX в. до н. э. Среди прочих сведений он содержит разложения дроби на сумму дробей с числителем, равным единице, например:

2/73=1/60+1/219+1/292+1/365

(Не всякому и в наши дни легко найти такие разложения!)

Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции. Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история - Анаксагор и Зенон, Евклид и Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (VI в. до н.э.). Пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) преклонялись перед числами, считая, что в них заключена вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые совершенные числа, дружественные числа и т. п.

В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. От индийцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления; от аль-Каши (XV в.) - десятичные дроби.

Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с XIII в. повышается интерес к арифметике и в Европе. Следует вспомнить имя итальянского ученого Леонардо Пизанского (Фибоначчи), сочинение которого «Книга абака» знакомило европейцев с основными достижениями математики Востока и явилось началом многих исследований в арифметике и алгебре.

Вместе с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные математические книги. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 г. В «Полной арифметике» немецкого математика М. Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования.

Основной объект арифметики - число. Натуральные числа, т.е. числа 1, 2, 3, 4, ... и т.д., возникли из счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем человек усвоил, что два фазана, две руки, два человека и т.д. можно назвать одним и тем же словом «два». Важная задача арифметики - научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и т. п. Уже у Фибоначчи есть задача: «Семь старух идут в Рим. У каждой по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в 7 ножнах. Сколько всех?» Для решения задачи придется складывать вместе и старух, и мулов, и мешки, и хлеба.

3 этап. Подведение итогов

Развитие понятия числа - появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) - все это имеет богатую и интересную историю, в чем мы и убедились на наших занятиях.

Занятие № 21.

Тема: «Связь арифметики с другими областями знаний»

Тип: изучение нового материала

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить усвоение учащимися связей арифметики с другими областями математики, различные трактовки определений арифметики.

Развивающие: формировать мыслительные умения устанавливать связи ранее изученного с новым материалом, развивать самостоятельность, критичность мышления.

Воспитательные: формировать правильные представления, связанные с историей арифметики, воспитывать интерес к изучению математики.

Оборудование: ТСО, рабочая тетрадь.

Методы: наглядные, вербальные.

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Сегодня мы установим связи арифметики с другими областями знаний, а так же что можно понимать под словом «арифметика».

2 этап. Основной

В арифметике числа складывают, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно производить эти действия над любыми числами долгое время считалось важнейшей задачей арифметики. Сейчас в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу микрокалькуляторам, которые постепенно приходят на смену таким устройствам, как счеты, арифмометр, логарифмическая линейка. Однако в основе работы всех вычислительных машин - простых и сложных - лежит самая простая операция - сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз. Но здесь мы вторгаемся в другую область математики, которая берет начало в арифметике, - вычислительную математику.

Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Эти свойства можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется», можно записать буквами: а + b = b + a, можно выразить специальными терминами.

Например, указанное свойство сложения называют переместительным или коммутативным законом. Мы применяем законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого. Часто ученики в школе спрашивают: «Зачем учить все эти переместительные и сочетательные законы, ведь и так ясно, как складывать и умножать числа?» В XIX в. математика сделала важный шаг - она стала систематически складывать и умножать не только числа, но также векторы, функции, перемещения, таблицы чисел, матрицы и многое другое и даже просто буквы, символы, не очень заботясь об их конкретном смысле. И вот здесь оказалось, что самым важным является то, каким законам подчиняются эти операции. Изучение операций, заданных над произвольными объектами (не обязательно над числами) - уже область алгебры, хотя эта задача основана на арифметике и ее законах. Арифметика содержит много правил решения задач. В старых книгах можно встретить задачи на «тройное правило», на «пропорциональное деление», на «метод весов», на «фальшивое правило» и т. п. Большинство этих правил сейчас устарело, хотя задачи, которые решались с их помощью, никак нельзя считать устаревшими. Знаменитая задача про бассейн, который наполняется несколькими трубами, имеет возраст не менее двух тысяч лет, и до сих пор она не легка для школьников. Но если раньше для решения этой задачи нужно было знать специальное правило, то в наши дни уже младших школьников обучают решать такую задачу, вводя буквенное обозначение х искомой величины. Таким образом, арифметические задачи привели к необходимости решать уравнения, а это уже снова задача алгебры. Среди важных понятий, которые ввела арифметика, надо отметить пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основано на сравнении различных зависимостей между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков.

Можно отчетливо проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самой математике и ее приложениях играет обратный процесс - перевод зрительной, геометрической информации на язык чисел. В основе этого перевода лежит идея французского философа и математика Р. Декарта об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, и до него эта идея уже использовалась, например, в морском деле, когда нужно было определить местонахождение корабля, а также в астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат в математике. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел, которые и обрабатывает вычислительная машина. При необходимости машина помогает человеку перевести на язык рисунка накопленную числовую информацию.

Вы видите, что, говоря об арифметике, мы все время выходим за ее пределы - в алгебру, геометрию, другие разделы математики.

Как же очертить границы самой арифметики?

В каком смысле употребляется это слово?

Под словом «арифметика» можно понимать:

• учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;

• часть исторического здания математики, накопившую различные сведения о вычислениях;

• «теоретическую арифметику» - часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);

• «формальную арифметику» - часть математической логики (см. Логика математическая), занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;

• «высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математики.

3 этап. Подведение итогов

«Под наукой чисел понимаются две науки: практическая и теоретическая. Практическая изучает числа постольку, поскольку речь идет о числах считаемых. Эту науку применяют в рыночных и гражданских делах. Теоретическая наука чисел изучает числа в абсолютном смысле, отвлеченные разумом от тел и всего, что них счету».

аль-Фараби

Вот мы и закончили наше путешествие по страницам истории арифметики. На следующем занятии мы прослушаем ваши оставшиеся доклады, а еще через занятие проведем итоговую игру по всему курсу нашего кружка.

Занятие № 22.

Тема: «Интересные факты из жизни и деятельности ученых»

Тип: занятие - семинар

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: прослушать доклады учащихся, дополнить важными фактами ответы.

Развивающие: развивать последовательность и систематичность мышления, творческие способности.

Воспитательные: формировать правильное мировоззрение, связанное с историей развития математики, воспитывать чувство ответственности, сознательную дисциплину.

Методы: словесные

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

Сегодня у нас пройдет занятие в виде семинара, то есть мы прослушаем доклады ваших товарищей. Остальные должны очень внимательно слушать и задавать вопросы, потому что этот материал будет в итоговом тестировании.

2. этап. Основной

Прослушивание докладов учеников и их обсуждение: Аль-Каши - его достижения и жизненный путь; Фибоначчи - его достижения и жизненный путь; Декарт - его достижения и жизненный путь; Женщины - математики; Совершенные и дружественные числа; Пифагор и его ученики

3 этап. Подведение итогов.

На следующем занятии мы проведем игру «Что? Где? Когда?». Поэтому самостоятельно выберите команду из 6 человек и поиграем. Как раз вспомним все, что пройдено на наших занятиях.

Занятие №23.

Тема: «Путешествие по страницам истории арифметики»

Тип: занятие - игра

Вид: нетрадиционный

Цели:

Образовательные: обеспечить повторение основных аспектов курса кружка, совершенствовать навык работы в группе при выборе правильного ответа.

Развивающие: развивать логическое мышление, монологическую речь.

Воспитательные: вызвать интерес к истории развития математики, к вопросам, изучаемым в ней, к истории жизни и научной деятельности ученых-математиков; прививать навыки делового общения; воспитывать чувство товарищества, взаимовыручки.

Методы: игровые, словесные, наглядные.

Оборудование: ТСО, цитата: «Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймёт». (Г.В.Лейбниц) , красочные газеты из истории математики; таблица результатов; волчок и номера вопросов, разбитые по секторам.

Ход занятия

1 этап. Организационный момент

С первых лет жизни и до глубокой старости человек постоянно обращается к числам, фигурам, правилам, сложившимся в математике. Просыпаясь, он обычно вспоминает, какой нынче день, в котором часу ему нужно отправиться в школу или на работу и когда он возвратится домой. Днём ему требуется неоднократно подсчитывать, сколько что стоит, сколько надо оплатить или получить, а прежде, чем приготовить обед, придётся отмерить, сколько взять крупы, масла, муки. Измеряют ложками, стаканами, литрами, граммами, сантиметрами, часами, минутами. Пользоваться основами математики стало для нас настолько обычным и естественным, что мы забываем: когда-то люди, наши предки, ничего этого не знали и, видимо, с большим трудом и продолжительное время открывали начала математики. Сегодня мы совершим небольшое путешествие в историю математики. И в этом нам поможет команда знатоков математики (приветствие и представление команды знатоков).

2 этап. Основной (игра)

Команда выбирает номер вопроса. Вопрос сопровождается небольшой исторической справкой. В зависимости от вопроса исторические сведения сообщаются либо до обсуждения вопроса, либо после ответа знатоков.

Вопрос №1: Имя этого математика носит прямоугольная система координат.

Ответ: Рене Декарт.

Историческая справка: Декарт Рене (1596-1650), французский философ, математик, физик и физиолог. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), обозначение степеней (a², x^-1...).. Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя.

Вопрос №2: Назовите первый вычислительный прибор, который появился он около 2500 лет назад и был широко распространён в Египте, Китае, Греции.

Ответ: Абак.

Историческая справка: Абак служил не столько для облегчения собственно вычислений, сколько для запоминания промежуточных результатов. Известны разновидности абака: собственно абак (греческий или египетский) в виде дощечки, на которой проводили линии или выдалбливали желобки, в которые колонками клали камешки; китайский суан-пан и японский соробан с шариками, нанизанными на прутики. Русский абак - счеты - появились приблизительно в 16 или 17 веке. Они использовали десятичную, а не пятеричную систему счисления, как остальные абаки. Основная заслуга изобретателей абака - создание позиционной системы представления чисел

Вопрос №3: Назовите знаменитое сочинение Евклида, в котором были систематизированы основные геометрические сведения.

Ответ: Начала.

Историческая справка: Евклид, древнегреческий математик. Работал в Александрии в III в. до н. э. Главный труд «Начала» (13 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

Вопрос №4: Назовите числа, которые в древности назывались «фальшивыми» числами.

Ответ: Отрицательные числа.

Историческая справка: Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению. Отрицательные числа долгое время считали «фальшивыми» и истолковывали как «долг», как недостачу. Правила действий над положительными и отрицательными числами длительное время рассматривались лишь для случаев сложения и вычитания. Например, индийские математики VII в. так формулировали эти правила: «Сумма двух имуществ есть имущество, сумма двух долгов есть долг, сумма имущества и долга равна их разности». Лишь в XVII в. с использованием метода координат отрицательные числа были признаны в качестве равноправных с положительными.

Вопрос №5: Назовите имя древнего математика, который отсеял простые числа, прокалывая их на восковой дощечке.

Ответ: Эратосфен.

Историческая справка: Эратосфен Киренский (около 276-194 до н.э.), древнегреческий ученый. Родился в Кирене (Северная Африка). Образование получил в Александрии и в Афинах. Служил воспитателем наследного принца при дворе Птолемея III Эвергета, около 225 г. до н. э. начал заведовать Александрийской библиотекой. Заложил основы математической географии, впервые измерил дугу меридиана. Составил каталог 675 неподвижных звезд. Заложил основы научной хронологии, предложил вводить лишний день в календарь каждые 4 года.

Историческая справка: Древнегреческими учёными - последователями Пифагора открыты дружественные числа. Так они называли 2 числа, каждое из которых равно сумме делителей другого (не считая самого числа). Пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел: 220 и 284..

Вопрос №6: Древние греки очень любили геометрию, даже числам имена придумывали «треугольные», «квадратные». Назовите по 2 таких числа.

Ответ: Треугольные - 3 и 6, квадратные - 4 и 9.

Вопрос №7: Назовите число, которое древние египтяне изображали в виде лягушки.

Ответ: 100　000.

Историческая справка: За 2000 лет до н.э. народы Египта достигли довольно высокой культуры и заложили основы многих разделов науки, в том числе и математики. Из найденных папирусов видно, что в цифрах египтян отразилась окружающая их природа. Вначале египтяне изображали единицу в виде палки или посоха, цифру десять рисовали как две соединённые вместе руки, сто в виде свёрнутого листа пальмы, тысячу изображали как цветок лотоса, а рисунок лягушки означал 10　000, может быть, потому что после разлива Нила их очень много появлялось на берегах реки.

Историческая справка: Первые единицы длины, как в России, так и в других странах были связаны с разными мерами частей тела человека. Таковы сажень, локоть, пядь. В Англии и США до сих пор используется «ступня» - фут (31 см), ярд (91 см) - единица длины, появившаяся почти 900 лет назад. Она была равна расстоянию от кончика носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки.

Вопрос №8: Название этой старинной единицы длины послужило именем сказочной героини

Ответ: Дюйм

Вопрос №9: Русский учёный. За особые заслуги Пётр I заменил ему фамилию Телятин на …

Ответ: Магницкий - притягивает к знаниям, как магнит.

Историческая справка: Магницкий Леонтий Филиппович (1669-1739 г.г.) - российский преподаватель математики в Школе математических и навигационных наук в Москве (с1701), автор первого русского печатного руководства «Арифметика» (1703). По его книге учились многие известные люди, например, Ломоносов.

3 этап. Подведение итогов игры.

Надеюсь, что сегодняшняя игра пробудила у вас интерес и к истории математики, и к математике, расширило ваш кругозор. И ещё хотелось бы, чтобы вы все запомнили главное. Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые и любознательные. Открытия ждут вас. Будьте настойчивы!

Тот материал, который мы успели изучить - это всего лишь малая часть от всего объема истории математики. Может быть в будущем вы продолжите заниматься этой стороной науки, а пока готовьтесь к следующему занятию, повторите все, что мы прошли.

Занятие №24.

Тема: «Путешествие по страницам истории арифметики»

Тип: занятие - контроль

Вид: традиционный

Цели:

Образовательные: проконтролировать степень усвоения знаний по всему курсу кружка.

Развивающие: последовательность и систематичность мышления.

Воспитательные: воспитывать интерес к истории математики, сознательную дисциплину.

Методы: контрольные (тест)

Оборудование: раздаточный материал

Ход занятия.

1 этап. Организационный момент

Вот и пришло время проверить насколько внимательны вы были на наших занятиях. В итоговом тесте будет 15 вопросов, но я надеюсь, что затруднений быть не должно. Есть вопросы, на которые вы сами должны написать ответ, а есть с выбором ответа. За каждый правильный ответ я ставлю 1 балл. Таким образом, в 14 вопросе если вы напишете более 7 имен, то за каждое следующее я буду прибавлять 1 балл. Можете приступать к выполнению работы, будьте очень внимательны!

2 этап. Основной

Тест по курсу истории арифметики

Ученика (-цы) 5 (6) класса Ф. И.1.

В чем преимущества позиционной системы счисления?

2.

Как называлось сочинение Евклида?

3.

Алфавитная система счисления была у …

а) греков;

б) арабов;

в) индийцев.

4.

Десятичная нумерация проникла в Европу из …

а) Индии;

б) Китая;

в) Исламского Востока.

5.

Имя женщины-математика, первой женщины-ученой, согласно дошедших до нас сведений

а) Софья Ковалевская;

б) Гипатия Александрийская;

в) Ада Байрон

6.

Назовите числа, которые в древности назывались «фальшивыми» числами.

а) дробные;

б) положительные;

в) отрицательные

7.

Назовите первый вычислительный прибор, который появился он около 2500 лет назад и был широко распространён в Египте, Китае, Греции.

а) абак;

б) калькулятор;

в) счёты

8.

Кто написал трактат «Арифметика»?

а) Евклид;

б) Эратосфен;

в) Магницкий

9.

Как записываются свойства арифметических действий?

а) только буквами;

б)формулируются только словесно;

в) по-разному

10.

Давние спутники человека - это …

а) геометрия и арифметика;

б) арифметика и алгебра;

в) геометрия и алгебра

11.

Самое крупное сочинение Аль-Каши это …

а) Книга абака;

б) Ключ арифметики;

в) Исчисление песчинок

12.

Как на самом деле звали Фибоначчи?

а) Аль-Каши;

б) Леонардо Пизанский;

в) Пифагор

13.

Какая знаменитая книга написана Декартом?

а) Геометрия

б) Рассуждение о методе

в) Координатный метод

14.

Напишите не менее 7 имен древних математиков.

15.

Чьи это слова? «Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймёт»

3 этап. Подведение итогов.

Сдаем работы. На следующем занятии я скажу вам, кто же стал самым выдающимся путешественником нашего кружка. Мы подведем итоги и наградим победителей.

Список рекомендованной литературы

1. Берман Н.Г. Счет и число. - М.: ОГИЗ Гостехиздат, 1947

2. С.Б. Гашков. «Системы счисления и их применение».Л.Н. Беляева. «Системы счисления и признаки делимости». Русский перевод из F. Nau. Notes d'astroaonie syrieane. Juornal Asiatiqus, ser. 6, 1910, v. 16, p. 225.]

3. Глейзер Г. И. История математики в школе: 4 - 6 класс. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981

4. Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1965

5. Нагибин Ф. Ф., Е. С. Канин Математическая шкатулка. Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1984

Оглавление

22