Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа п.Учебный

Ершовского района Саратовской области»

Лист Мёбиуса

Вид работы научно-исследовательская

Автор Палий Елизавета Валентиновна,

Руководитель работы Лепёхина Надежда Павловна

Должность учитель

Преподаваемый предмет математика

2016

Оглавление

I Введение...................................................................................................3

II Основная часть

1 Открытие листа Мебиуса…………………………………...…4

2 Эксперименты с бумагой………………………………………7

3 Эксперименты с веревкой и жилетом. ………………….......8

4 Практическое применение ………………………………..10

III Заключение…………………………………………………………13

IV Библиография……..……………………………..……………… 14

V Приложение………………………………………………………….15

I Введение.

Жизнь человека выражается в

отношении конечного к бесконечному.

Иван Алексеевич Бунин

В настоящее время проблема экономии является одной из самых актуальных проблем современности. Эта проблема существовала всегда, но сейчас она становится наиболее острой.

В своем проекте я хотела бы исследовать необычные свойства удивительного изобретения, ленты Мёбиуса. Благодаря стараниям изобретателей, нашедших в ее свойствах неисчерпаемый источник оригинальных технических решений, она давно перестала быть только математическим курьезом.

Что следует из свойств: что поверхность односторонняя? Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в различных областях науки и техники. Если ремень ременной передачи сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даст ощутимую экономию материалов.

II Основная часть

1.Открытие листа Мебиуса.

17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик - здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику - Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро…

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!"

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А.Дейча "Лента Мебиуса" описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон" не меняя их местами. Скольких людей приводили в восторг аттракционы "Американские горки".

Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса - на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер.

Лента Мебиуса положила начало новой науке - топологии. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его Лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать - делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы - "взрыва" фигуры. Поэтому иногда топологию называют "геометрией непрерывности". Она известна и под именем "резиновая геометрия", потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Какие же необычные свойства фигур изучает топология? До сих пор речь шла всего об одном свойстве - односторонности. Если двигаться по поверхности Ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ, то, в отличие от двусторонних поверхностей (например, сферы и цилиндры), попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному. Если двигать по этой ленте окружность, одновременно обходя ее по часовой стрелке, то в начальном положении направление обхода станет против часовой стрелки. Другими свойствами, которые изучает топология, являются непрерывность, связность, ориентированность.

Например, непрерывность - это ещё одно топологическое свойство. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб аэрофлотом далеко не выдержан - скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск - с Владивостоком. И, поэтому, тополог может, как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край "ленты". Разрывов нет - непрерывность полная.

2. Эксперименты с бумагой.

Все эти опыты проводим с помощью ножниц и клея.

Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона - наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какое-нибудь насекомое захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом непременно должна пересечь ту или иную границу.

Легко приготовить простую модель односторонней поверхности. Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим ленту Мебиуса. (Приложение рис.1)

Эксперимент 1. Она имеет только одну сторону (возьмем фломастер и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мебиуса - односторонняя.) (Приложение рис.2)

Эксперимент 2. А еще, из свойств, следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Сначала разрежем по середине. Сейчас получиться два отдельных кольца. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального кольца. (Приложение рис.3)

Эксперимент 3. Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое. (Приложение рис.4)

Эксперимент 4. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма "затейливое" переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине. (Приложение рис.5)

Эксперимент 5. Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону. (Приложение рис.6)

Эксперимент 6. Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. (Приложение рис.7)

Эксперимент 7. Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди - и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе. (Приложение рис.8)

Эксперимент 8. Если взять не бумажную ленту, а полосу любой ткани, повернуть один из концов полоски на три оборота, т.е. на 540 градусов, сшить оба конца. Затем взять ножницы и аккуратно разрезать полоску посередине, то получается три одинаковых кольца, сцепленных между собой. (Приложение рис.9)

3. Эксперименты с веревкой и жилетом.

Для выполнения экспериментов необходимы шарф, жилет, веревки, бумажные полоски, клей и ножницы. Сначала ставим перед собой проблемную ситуацию. С помощью экспериментов ищем выход из сложившейся ситуации.

Эксперимент 1. Проблема завязывания узлов

Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного" узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. (Приложение рис.11 рис.10,)

Эксперимент 2. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. (Приложение рис.12, рис.13)

Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними сантиметров 40, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди.

Эксперимент 3. Распутывание колец из верёвок.

Двое участников связаны веревками за руки. Тем самым руки и веревки образовывают два сцепленных кольца. Необходимо , не развязывая веревок, распутаться. Отгадка этого опыта кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и снять петлю через кисть руки.

4. Практическое применение ленты Мёбиуса

Самое удивительное ее свойство - то, что она односторонняя, ее нельзя раскрасить двумя красками, а насекомое, ползающее по ней, обойдет обе стороны, не пересекая край. Это свойство нашло практическое применение: запатентовано множество устройств, например, ремень для заточки, красящая лента для печатающих устройств, ременная передача и другие технические решения.

Пружинный механизм детских заводных игрушек чаще всего выходит из строя, потому, что дети нередко пытаются заводить пружину, когда она и так закручена до предела. Кольцевая перекрученная пружина может стать "вечным двигателем" для детских игрушек.

Еще один пример возможного использования нового механизма - щелевой затвор фото- или кинокамеры (не цифровой). В традиционных конструкциях после спуска затвора необходимо закрыть щель шторки затвора, а затем только вернуть его в исходное положение, одновременно взведя пружину. Иначе кадр засветится при прохождении щели затвора в обратном направлении. Устройство затвора получается весьма сложным. Применение ленты Мёбиуса позволило упростить конструкцию, повысило ее надежность, долговечность и быстродействие.

Лист Мёбиуса - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности ∞, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Сейчас выясняли, что это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путем склеивания двух лент Мёбиуса по краям.

Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-йоркском метро, когда потерялся во

времени поезд, отправившийся в путь по пути,

замкнутом в ленту Мебиуса. Оказалось, что автор не так далек от истины. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому

что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Есть предположение, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физики, кстати, утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего двойника!

В силу своих необычных свойств лента Мёбиуса широко используется фокусниками. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента».

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

III Заключение

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:

У математиков - идут дальнейшие исследования;

У школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;

У учителей - есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;

В технике - открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.

Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих…

В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса.

Я думаю, что следов Мёбиуса в искусстве будет ещё много.

Работая над проектом, я пришла к выводу, что свойства, которыми обладает лента Мёбиуса можно использовать в швейной промышленности при оригинальном раскрое ткани. Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - Топология. Это название ей дал Иоганн Листинг. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах. Но кто знает, может быть со временем, мы станем знаменитыми топологами и совершим замечательные открытия. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут нашими именами.

IV Библиография

1. www.vlink.ru/~v-design/mebius.htm.

2. ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса

3. oriart.ru/publ/3-1-0-11

4. www.smartvideos.ru/mebius-transfor

5. www.sola.narod.ru/top.htm

V Приложение

Рис.1 Рис.2

Рис.3 Рис.4

Рис.5 Рис.6

Рис.7 Рис.8

Рис.9

Рис.10 Рис.11

</ Рис.12 Рис.13