Методическая разработка по математике по теме Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГПОУ «ГОРЛОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЭКОНОМИКИ»

УТВЕРЖДАЮ:

Зам. директора по УР

_________О.Ю.Цыба

______.______.2016

ИНСТРУКТИВНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

к организации и проведению

открытого занятия по теме

«Исследование функций и построение графика функций»

по дисциплине «Математика»

Специальность: 27.02.04 Автоматические системы управления

Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой математических и общих естественно-научных дисциплин

Протокол № 6 от «03» 02. 2016 г.

Председатель комиссии

___________________ Е.В.Мудрецкая

Подготовил преподаватель

М.Н.Свириденко

Горловка, 2016

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»

Подготовила М.Н. Свириденко, преподаватель Горловского колледжа промышленных технологий и экономики - 2016

Изложена методика проведения практического занятия в форме деловой игры, направленного на формирование у студентов практических навыков и умений исследования функций с помощью производной.

Для преподавателей математики ГПОУ

Рецензенты

- преподаватель математики, специалист высшей категории Е.В.Мудрецкая

- преподаватель математики, специалист высшей категории Е.А.Старченко

Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии математических и общих естественно-научнных дисциплин (протокол № 6 от 03.02.2016г.)

Введение

Методическая разработка открытого занятия предназначена для преподавателей математики, в первую очередь, при организации обучения по теме "Применение производной к исследованию функций" в общеобразовательной подготовке студентов 1 курса в группах подготовки по специальностям технического направления.

Тема, форма и средства организации практического занятия, которые выбраны для методической разработки, актуальны и через прикладное значение дифференциального исчисления для понимания технических процессов, связанных с движением станков и их отдельных устройств, конструкций.

Цель разработки - оказать помощь преподавателю в организации и проведении практического занятия, направленного на формирование у студентов практических навыков и умений исследований функции, развитие логического и ассоциативного мышления, привитие понимания необходимости научно - математических знаний для становления будущего специалиста.

Методразработка предлагает применение такого актуального и полезного средства закрепления и диагностики знаний студентов как тестирование и самоконтроль с помощью тестовой компьютерной программы.

Основные теоретические положения темы

Предел отношения приращения функции Δf (x₀) в точке х_о к приращению аргумента ΔХ, когда последний стремится к нулю, называется производной функции Y= f(х) в точке x₀.

Производную обозначают так: , то есть

Операция отыскания производной функции называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцированной в этой точке.

Функция, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцированной на этом промежутке.

Из различных способов задания функции крупнейшую на точность имеет графический, что делает его незаменимым вспомогательным средством при решении различных задач.

Графики функций строят по точкам. Однако случайно выбранные точки (пусть даже плотно размещены) не всегда приводят к цели. График функции должен отражать такие важные особенности функции, как непрерывность, дифференцирование, рост, падение, постоянство, поведение на бесконечности и т. Поэтому строить график надо не по произвольным точками, но по характерным, "опорными".

К характерным точкам относятся, например, точки разрыва, точки, в которых функция недифференцированная, "поворотные" точки, где график переходит от роста к падению. Находить характерные точки функции и строить ее график нам помогут методы дифференциального исчисления.

1. При построении графиков функции очень важно уметь находить промежутки возрастания, убывания и постоянства функции, или же, иными словами, промежутки ее монотонности.

Теорема (признаки постоянства функции).

Если на некотором интервале производная тождественно равна нулю, то функция стала на этом интервале.

Теорема (признаки монотонности функции).

Если на некотором интервале производная положительная, то функция возрастает на этом интервале, если производная отрицательная, то функция убывает на этом интервале.

Внутренние точки с области определения функции, где производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

Критическими точками первого рода называются точки, в которых первая производная функции равна нулю.

Критические точки первого рода функции разбивают ее область определения на интервалы, в каждом из которых производная сохраняет устойчивое знак. Поэтому для нахождения интервалов монотонности функции действуют обычно таким образом:

1) находят критические точки первого рода функции;

2) разбивают область определения функции найденными точками на интервалы;

3) определяют знак производной на каждом из интервалов. Последнее можно сделать, например, вычислив значение производной в любой точке промежутка. Если на рассматриваемом интервале производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает, если отрицательная - падает.

2. Важной характеристикой функции и ее графика является экстремумы. Экстремумами функции называются самые большие и самые маленькие ее значение в окрестностях критических точек первого рода.Х₁, Х₂, Х_3, Х₄ - критические точки первого рода

у

₁, у₂, у₃, у₄ - экстремумы функции, причем::

- у₂, у₄ - максимумы функции

- у₁, у₃ - минимумы функции

Точка х_о называется точкой максимума функции , если для всех некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство .

Точка х_о называется точкой минимума функции , если для всех из некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство .

Теорема (о необходимом условии существования экстремума).

Для того чтобы точка х₀ была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была критической первого рода, то есть f ′(x₀)=0

Теорема (о достаточном условии существования экстремума).

если функция непрерывная в точке х_о, на некотором интервале (а; хо) на интервале (х₀;b), то точка х_о является точкой максимума функции.

Если функция непрерывна в точке х_о, на некотором интервале (а; х₀) и на интервале (х_о;b), то точка х_о является точкой минимума функции.

Теорема (о втором достаточном условии существования экстремума).

Если в некоторой точке х_о первая производная функции равна нулю, а вторая - большая нуля, то есть , то х₀ - точка минимума функции.

Если в некоторой точке, х_о первая производная функции равна нулю, а вторая - меньше нуля, то есть , то х₀ - точка максимума функции.

Для нахождения экстремумов функции действуют обычно таким образом:

1) находят критические точки первого рода функции;

2) определяют знак первой производной слева и справа от критической точки;

3) если при переходе слева направо через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то критическая точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то точкой минимума;

4) точки экстремума подставляют в функцию и вычисляют экстремум функции.

3. Еще одним важным понятием является понятие выпуклости (выпуклости вверх, выпуклости вниз). График функции y = f (x) называется выпуклым вверх на интервале (a; x₀), если он находится под причастными, проведенных с графиком в каждой его точке; и выпуклым вниз, если он находится над причастными, проведенных с графиком в каждой его точке.

На интервале (а; х₀) график функции у(х) выпуклый вниз, на интервале (х₀; b) график функции выпуклый вверх.

Точка С (х₀; у₀) - точка пересечения графика функции у(х)

Критическими точками второго рода называются точки, в которых вторая производная функции равна нулю.

Теорема (достаточное условие выпуклости графика на интервале). Если вторая производная функции положительна на некотором интервале, то график функции выпуклый вниз на этом интервале.

Если производная функции отрицательная на некотором интервале, то график функции выпуклый вверх на этом интервале.

Чтобы найти интервалы выпуклости графика такой функции надо:

1) найти все точки из области определения функции, где ее вторая производная не существует или равна нулю;

2) определить знак второй производной в каждом из интервалов, на которые область определения функции поделена найденными точками.

Точками перегиба графика функции называются точки, в которых график меняет характер выпуклости.

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба)

Для того чтобы в точке х₀ существовал перегиб, необходимо чтобы она была критической точкой второго рода, то есть f''(x₀) = 0.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба).

Для того чтобы в точке х₀ существовал перегиб, достаточно, чтобы при переходе через точку х0 вторая производная функции меняла знак.

Чтобы найти точки перегиба графика функции надо:

1) найти критические точки второго рода функции;

2) определить знак второй производной слева и справа критической точки; если знаки разные, то критическая точка является точкой перегиба графика функции;

3) подставить точку перегиба в функцию и вычислить перегиб функции.

Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции.

2. Найти область значений функции.

3. Определить четность, нечетность.

4. Определить нули функции.

5. Определить периодичность функции.

6. Определить интервалы монотонности и экстремумы функции.

7. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

8. Построить график функции.

Горловский колледж промышленных технологий и экономики

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

11 февраля 2016г.

Группа: 12АСУ

Специальность: 27.02.04 "Автоматические системы управления"

Тема занятия: "Исследование функций и построение графиков функций"

Цель занятия:

Учебная - формирование практических навыков и умений исследования функции, построения их графиков с помощью производных.

Воспитательная - привитие понимания важности фундаментальной подготовки для формирования профессиональных умений и навыков специалиста, развитие аналитического мышления, способностей к коллективному труду и личной ответственности.

Методическая - совершенствование методики проведения практического занятия с применением имитационных активных методов обучения и компьютерных технологий, развитие интеграции бригадно - индивидуального контроля.

Вид занятия: практическое.

Форма проведения занятия: деловая игра.

Межпредметные связи:

Обеспечивающие: физика, математика, основы информатики.

Обеспечиваемые: электротехника, техническая механика, экономика отрасли.

Методическое обеспечение: таблица производных, опорный конспект, таблица оценивания, карточки с заданиями, инструкции к выполнению тестовых заданий.

Литература:

Обязательное: 1. Алимов Ш.А. "Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Базовый уровень". М: Просвещение, 20013.-271 с.

Технические средства обучения: персональный компьютер.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент 3 мин.

1.1 Приветствие студентов

1.2 Подготовка аудитории к занятию, проверка наличия студентов.

2. Ознакомление с целью и формой проведения занятия 5 мин.

Практическое занятие проведем в форме деловой игры «Конструкторское бюро». Для этого группа разбита на четыре отдела, в каждом отделе есть свой зав. отделом. Конструкторским бюро руководит главный конструктор, то есть преподаватель. Также привлечен независимый эксперт, роль которого выполняет лаборант. Участники игры должны имитировать один рабочий день конструкторского бюро.

3. Мотивация обучения. 3 мин.

Знания материала данной темы необходимы современному техническому работнику, так как они дают возможность моделировать различные технические процессы, строить графики этих процессов и использовать результаты исследований в дальнейших расчетах. Специфика данной темы позволяет развивать абстрактное мышление, умение анализировать, делать выводы.

4. Актуализация опорных знаний. 10 мин

Актуализация знаний проводится в виде фронтального опроса по основным теоретическим понятиям (Приложение 1).

5. Комментарий ответов студентов. 2 мин

Оценка уровня знаний по ответам с акцентированием на сделанные ошибки, с указанием путей их устранения.

Результаты опроса заносятся в таблицу оценки (Приложение 2)

6. Формирование профессиональных умений и навыков.

6.1 Решение задач с практическим содержанием обязанностей (Приложение 3) 15 мин

Результаты исследования отражаются в таблице оценок.

6.2 Конкурс между зав. отделами (Приложение 4) 5 мин

Условие конкурса: идентифицировать график указанной функции с известными пословицами.

Результаты отражаются в таблице оценок.

6.3 Исследование функции и построение её графика (Приложение 5) 10 мин

Результаты отражаются в таблице оценки.

7. Закрепление знаний студентов 20 мин.

7.1. Установить соответствие между графиками квадратичных функций и графиками их производных - "бригадная" работа с карточками (Приложение 6) 10 мин

Результаты отражаются в таблице оценки.

7.2. Компьютерное тестирование студентов (Приложение 7) 10 мин

Результаты отражаются в таблице оценки.

Два этапа работы студентов по закреплению и диагностики знаний осуществляются параллельно (по 2 "отдел").

8. Комментарий работы студентов и итог занятия 5 мин.

Обсуждение итогов занятия в соответствии с критериями оценки работы и с учетом личного вклада "работников отделов".

9. Домашнее задание 2 мин.

Проработать теоретический материал по теме; [1], № 923, № 924, № 926.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Актуализация знаний студентов

Вопросы и рекомендованные ответы фронтального опроса

1. Сформулировать определение производной функции.

Ответ:

2. Сформулировать физический смисл производной первого порядка функции.

Ответ: y′(x) - скорость изменения функции y(x); y′(x₀) - мгновенная скорость функции y(x) в точке x₀.

3. Сформулировать геометрический смысл производной функции.

Ответ: y′(x₀) = k = tg φ

4. На интервале (a; b) y′(x)=0. Что это означает для монотонности функции? Сформулировать достаточный признак монотонности функции.

Ответ: если на интервале (a;b), y′(x)<0, то функция убывает на этом интервале; если на интервале (a;b) y′(x)>0, то функция возрастает на этом интервале.

5. Верно ли утверждение: экстремум функции - це наибольшее или наименьшее значение функции на некотором интервале? Обосновать ответ и сформулировать необходимый признак сущестования экстремума функции.

Ответ: экстремумом функции y(x) в точке xo називается наибольшее или наименьшее её значение в некоторой окрестности точки xo; для того, чтобы существовал экстремум функции y(x) в точке xo необходимо, чтобы y′(x₀)=0.

6. Какой признак яляется достаточным для существования экстремума функции y(x) в точке x₀?

Ответ: для того, чтобы в точке xo существовал экстремум функции y(x), достаточно, чтобы при переходе через точку xo первая производная функции меняла знак, причём, если при переходе слева направо первая производная меняет знак с плюса на минус, то x₀ - точка максимума, если с минуса на плюс, то точка x₀ - точка минимума.

7. Сформулировать определение выпуклости и вогнутости графика функции y(x) на интервале (a;b); достаточный признак выпуклости и вогнутости графика функции.

Ответ: график функции на интервале (a;b) называется вогнутым (выпуклым), если он лежит над (под) касательными, проведёнными в каждой точке графика на интервале (a;b); для того, чтобы график функции y(x) был вогнутым (выпуклым), достаточно, чтобы y′′(x)>0 (y′′(x)<0) на интервале (a;b).

8. Как называется точка xo функции y(x), в которой график функции меняется характер выпуклости? Сформулировать признак существования этой точки.

Ответ: точка xo называется точкой перегиба графика функции y(x). Для того, чтобы точка x₀ была точкой перегиба графика функции y(x), необходимо, чтобы y′′(xo)=0, и достаточно, щоб вторая производная функции имела разные знаки слева и справа от точки x₀.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица оценивания

1. Актуализация опорних знань.

Верный ответ на 1 вопрос - 1 балл. Каждому "отделу" предлагается ответить на 2 вопроса. Работа "отделов" и правильность полученных результатов оценивается от 0 - до 2 баллов.

2. Решение задач с практическим содержанием

Работа "отделов" и правильность полученных результатов оценивается

от 0 - до 10 баллов.

3. Конкурс зав.отделами - оценка выставляется "отделу".

Правильность и скорость мышления студентов оценивается по условиям: правильный ответ - 1 балл, т. е. максимум - 5 баллов. За скорость первому добавляется 3 балла, второму - 2 балла, третьему - 1 балл. Таким образом, разбежность баллов: 0 - 8.

4. Исследование функции и построение графика (работа по отделам).

Работа "отделов" и правильность полученных результатов оценивается

от 0 - до 5 баллов.

5. Работа по карточкам - оценка выставляется "отделу".

Оценка выставляется независимым экспертом с помощью карточки правильных ответов: 1 правильное соотношение графиков - 1 балл. Таким образом, разбежность баллов: 0 - 5 баллов.

6. Компьютерное тестирование - индивидуальное оценивание.

Оценка выставляется способом компьютерной программы: від 0 до 5 баллов.

Лист оценивания

работы "отдела" № ________1/к

2б

2/к

10б

3/к

8б

4/к

5б

5/к

5б

6/и

5б

Сумма баллов за коллективну работу (столбцы 1+2+3+4+5 первой строки)

Критерии оценивания

/перевод баллов в оценку/

Приложение 3

Материалы для работы отделов и таблица результатов работы

Отдел физиков

Критерии оценки: математическая модель составлена правильно - 5 баллов; дан правильный ответ - 5 балов

1. Ситуация: зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением

S = -t³+9t²-24t+1

2. Вопросы и задания для работы отдела физиковя:

2.1 Найти максимальную скорость движения этой точки

2.2 Составить общий алгоритм решения задачи

2.3 Продожить фразы:

- сегодня на занятии я узнал…

- сегодня на занятии я научился...

- сегодня на занятии я познакомился...

- сегодня на занятии я повторил...

- сегодня на занятии я закрепил...

Отдел конструкторов

Критерии оценки: математическая модель составлена правильно - 5 баллов; дан правильный ответ - 5 балов

1. Ситуация: прочность балки поперечного сечения пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Балка витесана из цилиндрической колоды радиуса R.

2 Вопросы и задания для работы отдела конструкторов:

2.1 Каким долино бать сечение балки, чтобы её прочность была?

2.2 Составить общий алгоритм решения задачи

2. Продожить фразы:

- сегодня на занятии я узнал…

- сегодня на занятии я научился...

- сегодня на занятии я познакомился...

- сегодня на занятии я повторил...

- сегодня на занятии я закрепил...

Отдел математиков

Критерии оценки: математическая модель составлена правильно - 5 баллов; дан правильный ответ - 5 балов

1. Ситуация: сумма двух положительных чисел равна a, сумма их кубов является наименьшей.

2. Вопросы и задания для работы отдела математиков:

2.1 Какими должны бать эти числа?

2.2 Составить общий алгоритм решения задачи

2.3 Продожить фразы:

- сегодня на занятии я узнал…

- сегодня на занятии я научился...

- сегодня на занятии я познакомился...

- сегодня на занятии я повторил...

- сегодня на занятии я закрепил...

Отдел геометров

Критерии оценки: математическая модель составлена правильно - 5 баллов; дан правильный ответ - 5 балов

1. Ситуация: периметр прямоугольника равен 2p, его диагональ имеет наименьшую длину.

2. Вопросы и задания для работы отдела геометров:

2.1 Какими должны бать размеры прямоугольника?

2.2 Составить общий алгоритм решения задачи

2.3 Продожить фразы:

- сегодня на занятии я узнал…

- сегодня на занятии я научился...

- сегодня на занятии я познакомился...

- сегодня на занятии я повторил...

- сегодня на занятии я закрепил...

Групи

Математична модель

Відповідь

Загальна кількість балів

Фізики

Конструктори

Математики

Геометри

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Конкурс между зав. отделами

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Задача.

1. Исследовать функцию и построить её график

Решение состоит из 4 связных частей. За каждую часть отвечает какой-либо отдел. Выбор задания по жребию.

Части задания:

1. исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

2. исследовать функцию на выпуклость, вогнутость графика;

3. исследовать функцію на точку перегиба графика;

4. обобщить результаты исследования и построить график.

Приложение 6

Вариант 1

Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду, найдите график её производной.

Вариант 2

Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду, найдите график её производной.

Вариант 3

Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду, найдите график её производной.

Вариант 4

Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду, найдите график её производной.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

Программа компьютерного тестирования

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

Оформление аудитории

…Нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира …

Н.И. Лобачевский

«Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового возможно. Где есть желание, найдется путь!»

Пойа Д.

Ни одно человеческое исследование не может называться истиной, если оно не прошло через математические доказательства.

Леонардо да Винчи

Правильное формулирование задачи - это проблема не менее сложная, чем само решение задачи и не нужно надеяться, что кто-то другой целиком сделает это за вас.

Н.С.Бахвалов

Продолжить фразы:

- сегодня на занятии я узнал...

- сегодня на занятии я научился...

- сегодня на занятии я познакомился...

- сегодня на занятии я повторил...

- сегодня на занятии я закрепил...