Подготовка к ОГЭ. Теория по теме Треугольники

Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Обозначение: ABC, BCA, CAB

Периметр - сумма длин всех сторон

P_ABC = AB + BC + AC

Элементы:

Вершины - A, B, C (точки)

Стороны - AB, BC, AC (отрезки)

Углы - BAC , ABC,  ACB (A, B, C)

Сумма углов треугольника равна 180º, т.е. A+ B+ C = 180

Внешний угол треугольника - угол, смежный с одним из углов треугольника

Внешний угол треугольника

1) равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, 4 = 1 + 2

2) больше любого внутреннего угла, не смежного сним,

4 > 1, 4 > 2

Виды треугольников

Остроугольный

Прямоугольный

Тупоугольный

Разносторонние (все стороны разные)

все углы острые (меньше 90)

один угол прямой (равен 90)

один угол тупой (больше 90)

Равнобедренные (две стороны равны - боковые)

Равносторонние (все стороны равны)

Основные линии в треугольнике

Медиана

(отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника)

Биссектриса

(отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника)

Высота

(перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника)

AM = MC

ABD = CBD

BH  AC

Средняя линия реугольника

(отрезок, соединяющий середины двух его сторон)

MN - средняя линия

М - середина АВ (AM = MB)

N - середина ВС (BN = NC)

Свойство:

MN  AC

MN = AC

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Сравните углы треугольника АВС, если АВ>BC>AC.

Ответ. C>A>B

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности a < b + c, a > b - c;

b < a + c, b > a - c;

c < a + b, c > a - b .

Существует ли треугольник со сторонами 5см, 8см и 12см?

5<8+12 

8<5+12 

12<5+8  Ответ. не существует

По двум сторонам и углу между ними

По стороне и двум прилежщим к ней углам

По трем сторонам

• По двум пропорциональным сторонам и углу между ним

• По двум равным углам

• По трем пропорциональным сторонам

Равнобедренный треугольник

Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный - равносторонним.

Свойства равнобедренного треугольника

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Если в треугольнике медиана является высотой, то он равнобедренный.

3. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то он равнобедренный.

4. Если в треугольнике высота является биссектрисой, то он равнобедренный.

</