Лекция по математике на тему «Основные методы интегрирования»

Лекция «Основные методы интегрирования»

План:

1. Непосредственное интегрирование

2. Метод подстановки

3. Интегрирование по частям

1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример.

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функция x=(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х µ множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример1.

Пример2.

Пример3.

3. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u(x)v'(x) также имеет первообразную и справедлива формула

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функции

и т. д., где n, k - целые положительные постоянные, а также отыскание некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции. В качестве функции u(x) принимается функция которая дифференцированием упрощается или трансцендентные функции ln x, arctg x, arcsin x.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

∫х² е^хdх = u = х² du = 2хdх = х² е^х - 2∫ хе^хdх =

dv = е^хdх  v = ∫ е^хdх = е^х

=u = х  du = dх = х² е² - 2(хе^х - ∫ е^хdх) = х² е^х - 2хе^х +

dv = е^хdх  v =∫ е^хdх = е^х

+ 2 е^х + с = е² (х² - 2х + 2) + с

Пример 4.

∫х cos 2х dх = u = х  du = dх =

dv = cos 2х dх  v = ∫ cos 2х dх = ½ sin 2х

=

х

sin 2х - ∫

1

sin 2х dх =

х

sin 2х +

1

сos 2х + с

Основная литература

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. 2 тома, М., «Высшая школа». 1980.

2. Зорич В.А. Математический анализ. 2 тома, М., «Наука». 1980.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 2 тома. М., «Наука». 1980.

4. Никольский С.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 2 тома. М., «Наука».

5. Темиргалиев Н.Т. Математикалық анализ. 3 тома. Алматы, 1977.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 3 тома. М., «Наука», 1980.

7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., Астрель АСТ, 2002.

8. Рудин У. Основы математического анализа. М., «Мир». 1986.