Оглавление

Введение.

Данная курсовая работа по предмету «Дифференциальные уравнения» рассчитана на умение применять полученные теоретические и практические навыки для решения задачи

Цель работы:

Решить поставленную задачу, применяя теорию и практику.

Глава 1. Теория.

Теорема Гробмана - Хартмана.

Пусть O - грубая неподвижная точка некоторого диффеоморфизма T . Тогда существуют окрестности U₁ и U₂ точки O, в которых диффеоморфизм T и его линейная часть топологически сопряжены.

В случае негрубой неподвижной точки подобное утверждение неверно. Это легко показать, если матрица A линейного отображения

= Ax

имеет мультипликаторы, равные 1 по модулю. Здесь можно добавить в правую часть нелинейный член g(x) так, что новое отображение

= Ax + g(x)

не будет топологически сопряжено со своей линейной частью.

Например, одномерное отображение

= x + x²

имеет только одну неподвижную точку O (см. рис. 3.4.2), тогда как все точки

являются неподвижными точками для соответствующего линеаризованного

отображения

Рис. 1. Ступенчатая функция Ламерея. График функции f(x) = x + x² касается

биссектрисы в неподвижной точке типа седло-узел

Рассмотрим другой пример: отображение

= −x + x³ ,

имеющее устойчивую неподвижную точку O (см. рис. 3.4.3), не сопряжено с линейным отображением

= x ,

для которого все точки (кроме O) периодические с периодом 2.

Рис. 2. Спираль Ламерея отображения x = −x + x³. Вне начала координат

производные отображения меньше 1 по абсолютной величине; неподвижная точка является устойчивой

В качестве следующего примера рассмотрим линейное отображение, имеющее неподвижную точку с парой комплексно сопряженных мультипликаторов e^±iω:

= x cos ω − y sin ω ,

= x sin ω + y cosω .

Все траектории лежат на инвариантных окружностях, расположенных симметрично относительно точки O(0, 0). Это отображение не сопряжено с отображением

= x cos ω − y sin ω − x(x² + y²) cosω ,

= x sin ω + y cos ω − y(x² + y²) cosω ,

траектории которого стремятся к точке O по спиралям.

В том случае, когда все мультипликаторы неподвижной точки O диффеоморфизма T меньше 1 по абсолютной величине, все положительные полутраектории стремятся к O. Если все мультипликаторы лежат вне единичной окружности, отрицательная полутраектория точки из малой окрестности точки O стремится к неподвижной точке. При положительных итерациях отображения T все траектории (кроме самой точки) покидают окрестность неподвижной точки.[1]

В случае седла, т. е. когда есть мультипликаторы как внутри, так и вне

единичной окружности, неподвижная точка имеет (локально) устойчивое

инвариантное многообразие W^s_loc и неустойчивое инвариантное многообразие W^u_loc, которые являются образами инвариантных подпространств ^s и ^u соответствующей линеаризованной системы относительно гомеоморфизма η, устанавливающего топологическую сопряженность. Следовательно, положительная полутраектория любой точки в многообразии W^s_loc лежит в нем полностью и стремится к седловой точке O. С другой стороны, отрицательная полутраектория произвольной точки в многообразии W^u_loc лежит полностью в W^u_loc и стремится к O. Размерность устойчивого (неустойчивого) многообразия равна числу мультипликаторов, лежащих внутри (вне) единичной окружности. Траектории точек, не лежащих в W^s_loc ∪ W^u_loc, проходят мимо седла.

Очевидно, если один диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки сопряжен другому в окрестности другой неподвижной точки, то размерности устойчивых (неустойчивых) многообразий обеих этих

седловых точек должны быть равны (для сохранения общности, полагаем,

что W^u = {∅} и dimW^u = 0 в случае устойчивой неподвижной точки; и W^s = {∅}, dimW^s = 0 в случае, когда точка вполне неустойчива). Однако, в отличие от случая грубых положений равновесия, не только одни лишь размерности устойчивого и неустойчивого многообразий являются инвариантами относительно локальной топологической сопряженности.

Чтобы найти другие инварианты, заметим, что теорема Гробмана -Хартмана допускает следующее обобщение:

В некоторой окрестности начала координат линейное невырожденное отображение, не имеющее мультипликаторов на единичной окружности, топологически сопряжено с любым достаточно близким отображением.

Из этого, в частности, вытекает то, что любые два близкие линейные

отображения топологически сопряжены. Таким образом, для двух произвольных матриц A₀ и A₁, отображения

и

будут топологически сопряжены, если можно построить такое семейство

матриц A(s), непрерывно зависящее от параметра s ∈ [0, 1], что A(0) = A₀ и

A(1) = A₁, при условии, что все матрицы A(s) являются невырожденными

и не имеют собственных значений на единичной окружности.[2]

Глава 2. Практика

Формулировка задачи.

Найти траектории для уравнения при . Нарисовать фазовый портрет в каждом из случаев.

Решение.

Заменим уравнение системой уравнений

;

Найдем неподвижные точки. Для этого решим систему

;

Заметим что неподвижная точка будет в случае , т. к.

, следовательно неподвижная точка в случае имеет координаты

Рассмотрим систему для каждого случая.

1. .

Определим вид точки. Для этого построим якобиан

Посчитаем его для нашей неподвижной точки

Решим уравнение

Полученные значения показывают, что наша неподвижная точка - седло, неустойчивое.

Найдем уравнение траектории

;

;

;

;

;

3. .

;

;

</Используемая литература.

1. Оболенский А.Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений. Учебно - методическое пособие. Для студентов математических специальностей вузов.

2. Тураев Д. В., Чуа Л., Шильников Л. П., Шильников А. Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. - Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2003, 428 стр.