Игра Математическая регата (7 класс)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕГАТА В 7 КЛАССЕ

Задачи для проведения турнира

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль - со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовик?

1.2. Точка В лежит на отрезке АС, причем AB = 2 см, BC = 1 см. На прямой АВ укажите все такие точки М, для которых AM + BM = CM.

1.3. Из Москвы в Неаполь самолет вылетает в 9.20 по московскому времени, а прилетает в 11.30 по неаполитанскому. Из Неаполя в Москву самолет вылетает в 8.30 по неаполитанскому времени, а прилетает в 14.40 по московскому. Какова разница во времени между Москвой и Неаполем?

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Частное от деления двух одночленов равно 9х²у, а их произведение равно х⁸у⁹. Приведите пример таких одночленов.

2.2. В равнобедренном тупоугольном треугольнике проведите четыре отрезка так, чтобы он разделился на шесть прямоугольных треугольников. Поясните ваше решение.

2.3. Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух.

Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

3.1. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх будет состоять из спортсменов и чиновников. Средний возраст этих спортсменов на начало олимпиады составит 22 года, а чиновников - 47 лет. При этом средний возраст всех членов делегации окажется равным 41 году. Какова в этой делегации доля чиновников, выраженная в процентах?

3.2. Из середины М стороны AB равностороннего треугольника ABC опустили перпендикуляры МK и МL на стороны AC и BC. Найдите KL, если AB = 1.

3.3. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Победитель выиграл у всех и набрал в 5 раз меньше очков, чем все остальные вместе. Сколько было участников? (Победа - 1 очко, ничья - 0,5 очка, поражение - 0 очков).

Решения заданий:

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль - со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовик?

Ответ: 500 метров.

Скорость сближения автомобилей равна 80 - 65 = 15 (км/ч) = 250

(м/мин). Через две минуты после того, как автомобили поравняются, они будут находиться друг от друга на расстоянии 250 ∙ 2 = 500 (м).

1.2. Точка В лежит на отрезке АС, причем AB = 2 см, BC = 1 см. На прямой АВ укажите все такие точки М, для которых AM + BM = CM.

Ответ: точки М₁ и М₂, лежащие от А на расстоянии 1 см (см. рис.).

Возможны четыре случая предполагаемого расположения искомых точек на прямой АВ по отношению к трем данным точкам А, В и С.

1) Точка М лежит левее точки А, тогда АМ + ВМ = АМ + BA + АМ = 2АМ + 2; СМ = CА + АM = AM + 3, следовательно, АМ = 1. Искомая точка - М₁ (см. рис.).

2) Точка М принадлежит отрезку АВ. Тогда АМ + ВМ = АВ = 2; СМ = СВ + ВМ = ВМ + 1, следовательно, ВМ = 1 = АМ. Искомая точка - М₂ (см. рис.).

3) Точка М принадлежит отрезку ВС. В этом случае решений нет, так как АМ + ВМ ≥ АВ = 2, а СМ ≤ 1.

4) Точка М лежит правее точки С. В этом случае также нет решений, поскольку ВМ > CM.

При желании случаи 3) и 4) можно объединить. Можно также считать прямую АВ координатной, где А(0), тогда решением задачи будут точки М(x), удовлетворяющей уравнению |x| + |x - 2| = |x - 3|.

1.3. Из Москвы в Неаполь самолет вылетает в 9.20 по московскому времени, а прилетает в 11.30 по неаполитанскому. Из Неаполя в Москву самолет вылетает в 8.30 по неаполитанскому времени, а прилетает в 14.40 по московскому. Какова разница во времени между Москвой и Неаполем?

Ответ: 2 часа.

Перелет в обе стороны длится одно и то же время, но из-за смены

часового пояса возникает разница во времени. В первом случае показания часов отличаются на 2 часа 10 минут, а во втором - на 6 часов 10 минут. Так как в первом случае мы из времени перелёта вычитаем разницу во времени, а во втором - её же прибавляем, то разница во времени между Москвой и Неаполем равна: (6 ч 10мин - 2 ч 10 мин) : 2 = 2 (ч).

Такой же результат можно получить из уравнения , где x - искомая разница во времени (в часах).

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Частное от деления двух одночленов равно 9х²у, а их произведение равно х⁸у⁹. Приведите пример таких одночленов.

Ответ: и или и .

Получить ответ можно подбором. Можно также использовать уравнения: если А и В - искомые одночлены, то , . Перемножив эти равенства почленно, получим: , откуда . Тогда .

2.2. В равнобедренном тупоугольном треугольнике проведите четыре отрезка так, чтобы он разделился на шесть прямоугольных треугольников. Поясните ваше решение.

Ответ: см., например, рис. 1.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором АВ = АС и ВАС > 90. Проведем его высоту AA₁, после чего треугольниках ВАА₁ и САА₁ проведем высоты А₁С₁ и А₁В₁ соответственно, а затем проведем отрезок С₁В₁, который пересечет AA₁ в точке Р.

Искомые шесть прямоугольных треугольников: А₁С₁В, А₁В₁С, А₁С₁Р, А₁В₁Р, АС₁Р и АВ₁Р.

Прямоугольность всех указанных треугольников очевидна из симметрии. Строгое доказательство можно провести, например, так: из равнобедренности треугольника АВС следует, что равны его углы В и С, а высота AA₁ является также медианой и биссектрисой. Значит, А₁АС₁ = А₁АВ₁ (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, треугольник С₁АВ₁ также равнобедренный и имеет с данным треугольником общий угол при вершине А. Тогда в треугольниках С₁АВ₁ и САВ равны и углы при основаниях, поэтому С₁В₁ || ВС. Так как ВС  АА₁, то С₁В₁  АА₁.

2.3. Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух.

Ответ: Только на 7. .

Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на четную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра 7.

Есть четыре числа, удовлетворяющих условию задачи: 167, 257, 347, 527; приводить примеры таких чисел в решении не требовалось.

Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

3.1. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх будет состоять из спортсменов и чиновников. Средний возраст этих спортсменов на начало олимпиады составит 22 года, а чиновников - 47 лет. При этом средний возраст всех членов делегации окажется равным 41 году. Какова в этой делегации доля чиновников, выраженная в процентах?

Ответ: 76%.

Пусть делегация состоит из x спортсменов и y чиновников, тогда суммарный возраст спортсменов равен 22x, а чиновников - 47y. Делегация насчитывает (x + y) человек, поэтому ее суммарный возраст равен 41(x + y). Получим уравнение: 22x + 47y = 41(x + y). Упростив его, получим, что 6y = 19x. Доля чиновников, выраженная в процентах, равна: = = = = 76%.

3.2. Из середины М стороны AB равностороннего треугольника ABC опустили перпендикуляры МK и МL на стороны AC и BC. Найдите KL, если AB = 1.

Ответ: KL = .

Так как САВ = СВА = 60, то KMА = LMВ = 30 (см. рис.). Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла величиной 30, равен половине гипотенузы, поэтому AK = AM = и BL = BM = . Следовательно, CK = CL = .

</ В равнобедренном треугольнике CKL угол КСL равен 60, следовательно угол СKL равен (180⁰-60⁰):2=60, поэтому этот треугольник - равносторонний, то есть KL = CK = CL = .

В заключительной фазе решения можно было рассуждать и по-другому: АМK = BML (по гипотенузе и острому углу), значит MK = ML. Тогда в равнобедренном треугольнике KML: KML = 120, MKL = MLK = 30. Следовательно, CKL = СLK = 60 (непосредственный подсчет или использование параллельности прямых KL и АВ).

3.3. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Победитель выиграл у всех и набрал в 5 раз меньше очков, чем все остальные вместе. Сколько было участников? (Победа - 1 очко, ничья - 0,5 очка, поражение - 0 очков).

Ответ: 12 участников.

Пусть в турнире участвовало n человек, тогда каждый из них сыграл n - 1 партию. Всего в турнире было сыграно партий, при этом без участия победителя было сыграно - (n - 1) = партий.

Заметим, что в каждой партии между участниками распределяется 1 очко. Поэтому победитель набрал n - 1 очко, а все остальные вместе набрали очков. Учитывая условие задачи, составляем уравнение: = 5(n - 1). Так как n > 1, то решением уравнения является только n = 12.

Задания для болельщиков

1. На скамейке сидят Вера, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит радом с мамой. Кто сидит радом с мамой Веры?

2. Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале.

Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике.

Если сыр на столе, а кошка в подвале, то мышка в комнате.

Сейчас идет дождь, а сыр на столе. Значит%

1. Кошка в комнате;

2. Мышка в норке;

3. Кошка в комнате или мышка в норке;

4. Кошка в подвале, а мышка в в комнате.

Выберите правильный ответ.

3. Барон Мюнхгаузен и его слуга Томас подошли к реке. На берегу они обнаружили лодку, способную перевезти лишь одного человека. Тем не менее они переправились через реку и продолжили путешествие. Могло ли так быть?

4. Вдоль улицы стоит 100 домов. Мастера попросили изготовить номера для всех домов от 1 до 100. Чтобы выполнить заказ, он должен запастись цифрами. Подсчитайте, сколько девяток потребуется мастеру?

5. В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов. Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов.

6. Вычислите: .

7. За книгу заплатили 73 рубля и еще полкниги. Сколько стоит книга?

8. Делится ли число 111∙121∙131∙141-151 на 10?

9. Постройте треугольник, проведите все его биссектрисы и сосчитайте количество треугольников на рисунке.

10. Сколько будет, если полсотни разделить на половину?

11. К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?

12. Что больше: произведение всех цифр или их сумма?

13. Сколько месяцев в году содержат 30 дней?

14. По дереву ползет гусеница. За день она поднимается на 6 метров, а ночью опускается на 4 метра. За сколько дней она доползет до вершины дерева, если его высота 14 метров?

15.