Учебный лист по геометрии Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей (7 класс)

Учебный лист

по теме «Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей»

(3 часа)

УМЕТЬ:

- условия взаимного расположения прямой и окружности;

- определение секущей и касательной к окружности;

- свойства касательной к окружности;

- теорему о о перпендикулярности диаметра и хорды и обратную к ней;

- условия взаимного расположение двух окружностей;

- определение концентрических окружностей.

- проводить касательную к окружности;

- использовать свойства касательной при решении задач;

- решать задачи на применение теоремы о перпендикулярности диаметра и хорды;

- решать задачи на условия взаимного расположения прямой и окружности и двух окружностей.В результате изучения темы нужно:

Литература:

1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012

2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы «Атамұра». 2012

3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы «Атамұра». 2012

4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы «Атамұра». 2012

5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы «Атамұра». 2012

Приобретать знания - храбрость,

Приумножать их - мудрость,

А умело применять их - великое искусство.

Помни, что работать нужно по алгоритму.

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.

Желаю успеха!

ЗАДАНИЕ 1

1) Рассмотри взаимное расположение прямой и окружности и заполни таблицу (3б):

Случай 1: Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки (не пересекаются)

a d - расстояние от точки (центра окружности) до прямой

r - радиус окружности

d > r,

Случай 2: Прямая и окружность имеют только одну общую точку (касаются)

d - расстояние от точки (центра окружности) до прямой

r - радиус окружности

a - касательная

d = r,

Случай 3: Прямая имеет с окружностью две общие точки (пересекаются)

d - расстояние от точки (центра окружности) до прямой

r - радиус окружности

АВ - хорда, секущая

d < r,

Условия взаимодействия (расстояние до прямой и радиус (d и r))

Количество общих точек

2) Прочти определения, теоремы, следствия и выучи их (5б):

Определение: Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку и перпендикулярная радиусу, называется касательной к окружности.

Теорема 1:

Диаметр окружности, разделяющий хорду пополам, перпендикулярен к этой хорде.

Теорема 2 (обратная теореме 1):

Если диаметр окружности перпендикулярен к хорде, то он разделит хорду на две равные части.

Следствие 1: Если расстояние от центра окружности до секущей прямой меньше длины радиуса окружности, тогда прямая пересекает окружность в двух точках.

Следствие 2: Хорды окружности, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны.

Теорема 3: Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Следствие 3: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной.

Следствие 4: Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не пересекается с окружностью.

Теорема 4:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

3) Ответь на вопросы (3б):

1) Как могут располагаться прямая и окружность на плоскости?

2) Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки?

3) Как нужно провести касательную к окружности через точку, лежащую на окружности?

4) Сколько касательных можно провести к окружности через точку:

а) лежащую на окружности;

б) лежащую внутри окружности;

в) лежащую вне окружности?

5) Дана окружность ω (O; r) и точка А, лежащая внутри окружности. Сколько точек пересечения будет иметь: а) прямая ОА; б) луч ОА; в) отрезок ОА?

6) Как разделить хорду окружности пополам?

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 1

ЗАДАНИЕ 2

1) Прочти текст и рассмотри рисунки. Сделай рисунки в тетради, запиши выводы и выучи их (3б):

Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух окружностей. Взаимное расположение двух окружностей связано с расстоянием между их центрами.

Пересекающиеся окружности: две окружности пересекаются, если они имеют две общие точки. Пусть R₁ и R₂ - радиусы окружностей ω₁ и ω₂, d - расстояние между их центрами. Окружности ω₁ и ω₂ пересекаются тогда и только тогда, когда числа R₁, R₂, d являются длинами сторон некоторого треугольника, т. е. удовлетворяют всем неравенствам треугольника:

R₁ + R₂ > d, R₁ + d > R₂, R₂ + d > R₁.

Вывод: Если R₁ + R₂ > d или |R₁−R₂| < d, тогда окружности пересекаются в двух точках.

Касающиеся окружности: две окружности касаются, если они имеют одну общую точку. Имеют общую касательную а. Пусть R₁ и R₂ - радиусы окружностей ω₁ и ω₂, d - расстояние между их центрами.Окружности касаются внешним образом, если они расположены

вне друг друга. При внешнем касании центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной. Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R₁ + R₂ = d.

Окружности касаются внутренним образом, если одна из них расположена внутри другой. При внешнем касании центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Окружности ω₁ и ω₂ касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда |R₁−R₂|=d.

Вывод: Если R₁ + R₂ = d или |R₁−R₂|=d, тогда окружности касаются в одной общей точке, лежащей на прямой, проходящей через центры окружностей.

Непересекающиеся окружности: две окружности не пересекаются, если они не имеют общих точек. В этом случае одна из них лежит внутри другой, либо они лежат вне друг друга.

Пусть R₁ и R₂ - радиусы окружностей ω₁ и ω₂, d - расстояние между их центрами.

Окружность ω₁ и ω₂ расположены вне друг друга тогда и только тогда, когда R₁ + R₂ < d. Окружность ω₁ лежит внутри ω₂ тогда и только тогда, когда |R₁−R₂| > d .

Вывод: Если R₁ + R₂ < d или |R₁−R₂| > d, тогда окружности не пересекаются.

2) Запиши определение и выучи его (1б):

Определение: Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими (d = 0).

3) Ответь на вопросы (3 б):

1) Как могут располагаться две окружность на плоскости?

2) От чего зависит расположение окружностей?

3) Верно ли утверждение, что две окружности могут пересекаться в трех точках?

4) Как располагаются окружности, если:

а) расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов;

б) расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов;

в) расстояние между центрами больше суммы двух радиусов;

г) расстояние между центрами окружностей равно нулю.

5) К какому из перечисленных трех случаев взаимного расположения двух окружностей, относятся концентрические окружности?

6) Как называется прямая, проходящая через точку касания окружностей?

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 2

ЗАДАНИЕ 3

Молодец! Можно приступить к проверочной работе №1.

ЗАДАНИЕ 4

1) Реши на выбор четные или нечетные задачи (2б.):

1. Ука­зать ко­ли­че­ство общих точек пря­мой и окруж­но­сти, если:

а) рас­сто­я­ние от пря­мой до цен­тра окруж­но­сти - 6 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти - 7 см;

б) рас­сто­я­ние от пря­мой до цен­тра окруж­но­сти - 7 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти - 6 см;

в) рас­сто­я­ние от пря­мой до цен­тра окруж­но­сти - 8 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти - 8 см.

2. Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:

1. R=16cм, d=12см; 2. R=8 см, d=1,2 дм; 3. R=5 см, d=50мм

3. Каково взаимное расположения окружностей если:

d = 1дм, R₁ = 0,8дм, R₂ = 0,2дм

d = 40см, R₁ = 110см, R₂ = 70см

d = 12см, R₁ = 5см, R₂ = 3см

d = 15дм, R₁ = 10дм, R₂ = 22см

4. Укажите количество точек взаимодействия двух окружностей по радиусам и по расстоянию между центрами:

а) R = 4 см, r = 3 см, ОО₁ = 9 см; б) R = 10 см, r = 5 см, ОО₁ = 4 см

в) R = 4 см, r = 3 см, ОО₁ = 6 см; г) R = 9 см, r = 7 см, ОО₁ = 4 см.

2) Реши одну задачу на выбор (2б.):

1. Найти длины двух от­рез­ков хорды, на ко­то­рые раз­де­ля­ет ее диа­метр окруж­но­сти, если длина хорды - 16 см, а диа­метр ей пер­пен­ди­ку­ля­рен.

2. Найти длину хорды, если диа­метр ей пер­пен­ди­ку­ля­рен, а один из от­рез­ков, от­се­ка­е­мых диа­мет­ром от нее, равен 2 см.

3) Выполни на выбор четные или нечетны задачи на построение (2б):

1. Постройте две окружности радиусами 2 см и 4 см, расстояние между центрами которых равно нулю.

2. Начертите две окружности разных радиусов (3 см и 2 см), чтобы они касались. Отметьте отрезком расстояние между их центрами. Рассмотрите возможные варианты.

3. Постройте окружность с радиусом равным 3 см и прямую расположенную на расстоянии 4 см от центра окружности.

4. Постройте окружность с радиусом равным 4 см и прямую расположенную на расстоянии 2 см от центра окружности.

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 4

ЗАДАНИЕ 5

Молодец! Можно приступить к проверочной работе №2.

ЗАДАНИЕ 6

1) Найди ошибку в утверждении и исправь ее, обосновав свое мнение. Выбери любых два утверждения (4б.):

А) Две окружности касаются внешним образом. Радиусы их равны R = 8 см и r = 2 см, расстояние между центрами d = 6.

Б) Две окружности имеют, по крайней мере, три общие точки.

В) R = 4, r = 3, d = 5. Окружности не имеют общих точек.

Г) R = 8, r = 6, d = 4. Меньшая окружность расположена внутри большей.

Д) Две окружности не могут располагаться так, что одна находится внутри другой.

2) Реши на выбор четные или нечетные задачи (66.):

1. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 19 см, а радиус малой окружности меньше на 4 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.

2. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 26 см, а радиус малой окружности в 2 раза меньше. Найдите расстояние между центрами окружностей.

3. Возьмите две точки D и F так, чтобы DF = 6 см. Начертите две окружности (D, 2см) и (F, 3 см). Как расположены между собой эти две окружности? Сделайте вывод.

4. Расстояние между точками А и В равно 7 см. Начертите окружности с центрами в точках А и В, радиусами, равными 3 см и 4 см. Как расположены окружности? Сделайте вывод.

5. Между двумя концентрическими окружностями с радиусами 4 см и 8 см расположена третья окружность так, что она касается первые две окружности. Чему равен радиус этой окружности?

6. Окружности, радиусы которых равны 6 см и 2 см, пересекаются. Причем большая окружность проходит через центр меньшей окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №6

Проверочная работа № 1

Выбери один из вариантов теста и реши ( 10 вопросов, по 1 баллу за каждый):1. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется…

А) хордой; В) диаметром;

С) секущей; D) касательной.

2. Через точку, лежащую на окружности, можно провести …….. касательных

А) одну; В) две;

С) ни одной; D) нет правильного ответа.

3. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше длины радиуса окружности, тогда прямая …

А) касается окружности в одной точке; В) пересекает окружность в двух точках;

С) не пересекается с окружностью;

D) нет правильного ответа.

4. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая…

А) касается окружности в одной точке; В) пересекает окружность в двух точках;

С) не пересекается с окружностью;

D) нет правильного ответа.

5. Окружности не пересекаются и не касаются, если …

А) R₁ + R₂ = d; В) R₁ + R₂ < d;

С) R₁ + R₂ > d; D) d = 0.

6. Касательная и радиус, проведенные в к точке касания ...

А) параллельны; В) перпендикулярны;

С) совпадают; D) нет правильного ответа.

7. Окружности касаются внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 3 см, радиус большей - 5 см. Чему равно расстояние между центрами?

А) 8 см; В) 2 с м; С) 15 см; D) 3 см.

8. Каково взаимное расположение двух окружностей, если расстояние между центрами равно 4, а радиусы равны 11 и 7:

А) внешнее касание; В) внутреннее касание;

С) пересекаются; D) не пересекаются.

9. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 7,2 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 0,4 дм:

А) касаются; В) не пересекаются.

С) пересекаются; D) нет правильного ответа.

10. Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна 70 мм?

А) внутри окружности; В) на окружности.

С) вне окружности; D) нет правильного ответа.

2 вариант

1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку и перпендикулярная радиусу, называется…

А) хордой; В) диаметром;

С) секущей; D) касательной.

2. Из точки, не лежащей на окружности, можно провести к окружности …….. касательных

А) одну; В) две;

С) ни одной; D) нет правильного ответа.

3. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая

А) касается окружности в одной точке; В) пересекает окружность в двух точках;

С) не пересекается с окружностью;

D) нет правильного ответа.

4. Окружности пересекаются в двух точках, если…

А) R₁ + R₂ = d; В) R₁ + R₂ < d;

С) R₁ + R₂ > d; D) d = 0 .

5. Окружности касаются в одной точке, если …

А) R₁ + R₂ = d; В) R₁ + R₂ < d;

С) R₁ + R₂ > d; D) d = 0 .

6. Окружности называются концентрическими, если …

А) R₁ + R₂ = d; В) R₁ + R₂ < d;

С) R₁ + R₂ > d; D) d = 0 .

7. Окружности касаются внутренним образом. Радиус меньшей окружности 3 см. Радиус большей окружности - 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей?

А) 8 см; В) 2 с м; С) 15 см; D) 3 см.

8. Каково взаимное расположение двух окружностей, если расстояние между центрами равно 10, а радиусы равны 8 и 2:

А) внешнее касание; В) внутреннее касание;

С) пересекаются; D) не пересекаются.

9. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 7,2 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 3,25 см:

А) касаются; В) не пересекаются.

С) пересекаются; D) нет правильного ответа.

10. Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна 4 см?

А) внутри окружности;

В) на окружности.

С) вне окружности;

D) нет правильного ответа.

Оценка: 10 б. - «5», 9 - 8 б. - «4», 7 - 6 б. - «3», 5 б. и ниже - «2»

Проверочная работа № 2

1) Заполни таблицу. Выбери один из вариантов (6б):

а) взаимное расположение двух окружностей: