Программа элективного курса по математике в 9 классе Интенсивный курс подготовки к ОГЭ.

Нефтеюганское районное муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«САЛЫМСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1»

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ «Интенсивный курс подготовки к ОГЭ»

для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки

Утверждена

___________________________________________________________

Составитель курса Николаева И.Н.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Интенсивный курс подготовки к ОГЭ ориентирован на учащихся 9 класса в рамках предпрофильной подготовки и рассчитан на 34 часа аудиторного времени.

Материал курса поддерживает изучение основного курса математики и является расширенным вариантом некоторых разделов (тем) курса математики основной школы, что позволяет учащимся получить дополнительную подготовку для сдачи ОГЭ по математике.

Курс состоит из четырех модулей.

Модуль 1 «Виды уравнений и приемы их решения» (10ч) - направлен на систематизацию знаний по решению простых уравнений, изучению более сложных видов уравнений и приемов их решения. Модуль 2 «Виды неравенств и способы их решения» (11ч)- знакомит учащихся с решением неравенств различных видов. Модуль 3 «Процентные расчеты на каждый день» (13ч) направлен на формирование у учащихся умения решать разнообразные задачи на проценты.

При проведении занятий на первое место выйдут следующие формы организации работы: групповая, парная, индивидуальная; методы работы: частично-поисковые, эвристические, исследовательские, тренинги. Данный курс поможет ученику основательно подготовиться к итоговой аттестации и осознанно выбрать профиль обучения в старшей школе. Освоение элективного курса завершается итоговым контролем (контрольная работа). К каждому модулю приводится пояснительная записка, учебно-тематический план, содержание программы, методические рекомендации, подобраны задания для самостоятельной работы, задачи повышенной трудности с решениями, ответами и дополнительными указаниями. В данной программе представлены приложения, содержащие теоретические, практические и контрольно-измерительные материалы, а так же комплект опорных схем по изучаемым темам, который рекомендуется использовать учащимся в индивидуальной работе.

Программа элективного курса «Интенсивный курс подготовки к ОГЭ» считается усвоенной учеником, если он положительно выполнил более половины различных видов промежуточного контроля, итоговый тест и итоговую контрольную работу, посетил не менее 80% занятий.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие:

Оценка «отлично» (5) - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно. Как правило, для получения высокой оценки учащийся должен показать не только знание теории и владение набором стандартных методов, но и известную сообразительность, математическую культуру.

Оценка «хорошо» (4) - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно» (3) - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.

Оценка «неудовлетворительно» (2) - ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением простых задач.

Модуль 1 «Виды уравнений и приемы их решения»

Пояснительная записка

Данный модуль имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, систематизации знаний при подготовке к выпускным экзаменам. Модуль позволит учителю повторить и систематизировать знания по решению простых уравнений, рассмотреть более сложные виды уравнений и приемы их решения. Учащиеся сами могут найти уравнения для самостоятельного решения из различных источников, что будет способствовать самостоятельной поисковой деятельности.

Цель: систематизировать и обобщить сведения о решении уравнений (целых, дробных рациональных, неполных квадратных и квадратных уравнений, уравнений с модулем, иррациональных уравнений и уравнений третьей и четвертой степени с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной), способов решения систем уравнений с двумя переменными.

Задачи модуля:

- обобщить понятия: «уравнение», «система уравнений»;

- систематизировать основные методы решения уравнений, систем уравнений и научиться применять их в новых нестандартных ситуациях;

- приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах;

- совершенствовать навыки самоконтроля.

Содержание модуля

Модуль рассчитан на 10 часов, содержит 5 основных тем.

Вводное занятие предназначено для знакомства учащихся с целями и задачами данного элективного курса, организацией занятий, требованиями к усвоению курса, повторением основных теоретических положений по теме «Уравнения».

Темы 1 - 4 предполагают обобщить знания учащихся по решению уравнений (линейных, квадратных, рациональных, иррациональных, дробно-рациональных и уравнений, содержащих знак модуля). На последних двух занятиях предусматривается проведение практикума по отработке полученных знаний, умений и навыков решения уравнений.

Тема 5 предназначена для обобщения способов решения систем уравнений. На заключительном занятии предусматривается проведение итоговой диагностики (тест).

Тема 1. Уравнения первой степени.

Решение простых уравнений с переносом слагаемых из одной части в другую.

Тема 2. Квадратные уравнения.

Неполные квадратные уравнения. Квадратные уравнения, теорема Виета. Дробные рациональные уравнения.

Тема 3. Целое уравнение.

Приемы решения целых уравнений: с помощью разложения на множители, методом введения новой переменной, методом неопределенных коэффициентов, графическим способом. Решение биквадратных уравнений.

Тема 4. Иррациональные уравнения и уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Приемы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Решение иррациональных уравнений.

Тема 5. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Решение систем уравнений второй степени. Способы решения систем уравнений второй степени (графический способ, способ подстановки, способ сложения).

Календарно - тематический план

п\п

Тема занятия

Дата проведения

Коррекция

план

факт

Тема 1. Уравнения первой степени.

Решение уравнений первой степени.

Тема 2. Квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений.

Решение дробно-рациональных уравнений.

Тема 3. Целое уравнение.

Решение целых уравнений с помощью разложения на множители.

Решение целых уравнений заменой переменной.

Тема 4. Иррациональные уравнения и уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Решение иррациональных уравнений.

Решение уравнений с модулем.

Тема 5. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Решение систем уравнений с двумя переменными.

Практикум по решению уравнений.

Тестирование по теме «Решение уравнений».

Дидактические материалы.

Занятие 1. Решение уравнений первой степени.

Занятие №2. Решение неполных квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений.

Занятие №3. Решение дробно-рациональных уравнений.

Решение упражнений:

1. Решить уравнение: а) х² + 3х - 4 = 0; б) 7х² - 2х + 5 = 0; в) 3х² + 8х + 5 = 0.

2. Сократить дробь: а) х² - 5,5х б) х² + 7х +6

2х² + 9х - 11 7х² +15х + 8

в) х⁴ - 11х² + 10

х² - 1

3. Решить уравнение: а) х + х + 2 = 8

х + 2 х - 2 х² - 4

б) 2х _ 15 - 32х² = 3х

2х - 3 4х² - 9 2х + 3

в) х + 2 + 3 = 3 + 1

х + 1 х - 2 х² - х - 2

4. Решить систему уравнений: ху = -8

(х - у)(у - 2) = -12

5. Найти область определения функции: у = х

7х² - 5х - 2

6. Построить график функции и указать ее область значений:

а) у = 7х² - 9х + 2 б) у = -1/2х² + 3х - 1/2

7. Построить график функции, указав сначала ее область определения: . Найти наибольшее или наименьшее значение функции и указать промежутки ее возрастания и убывания:

8. Решить уравнение: х³ - 3х + 2 = 0

Занятие №4. Решение целых уравнений с помощью разложения на множители.

1. Решить уравнения: а) 2х⁴ + 3х³ - 8х² - 12х = 0 б) х³ - 3х + 2 = 0

в) 2х⁴ - 5х² - 12 = 0 г) (х² - 2)(х² + 2) - 3х² - 6 = 0

2. Найти координаты точек пересечения графика функции у = х⁴ - 10х² + 9 с осью абсцисс.

3. Решить систему уравнений: х² + у² = 20

ху = 8

4. Решить неравенство: а) х⁴ - 9х² + 10 ≤ 0 б) х⁴ - 3х² - 4 > 0

в) 4х⁴ - 13х² + 9 ≥ 0

х + 1

5. Решить уравнение: а) (х² - 3х)² - 2(х² - 3х) = 8

б) (х² + 4х)(х² + 4х - 17) + 60 = 0

в) (2 - х² + 2х)(4 - х² + 2х) = 3

3 3

6. Сократить дробь: а) х - √х - 2 б) х - 6√х + 8

√х - 2 4 - √х

7. Найти область определения функции: а) у = √ х⁴ - 5х² + 4

б) у = √ х⁴ - 10х² + 9

х² - 16

Занятие №6. Решение иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример: Решить иррациональное уравнение

Ответ:

Занятия №7. Решение уравнений с модулем.

Определение модуля.

1. Правила раскрытия модуля: а) если | f(x)| = a, то f(x) = a или f(x) = -a

б) если | f(x)| = g(x), то f(x) = g(x) или f(x) = - g(x) при g(x) > 0.

в) если | f(x)| < g(x), то f(x) < g(x) и f(x) > -g(x).

г) если |f(x)| > g(x), то f(x) > g(x) или f(x) < -g(x).

д) если |f(x)| > |g(x)|, то f²(x) > g²(x).

Пример 1.

| х - 3 | = 5 | х - 3 | = 5

х - 3 = 5 х - 3 = - 5 у = | х - 3 |, сдвиг графика

х = 8 х = - 2 у = | х | на 3 ед. вправо.

Ответ: х = 8, х = - 2. y = 5 - прямая || оси абсцисс.

Прочитать и объяснить словесную запись:

ρ (х; 7) = 2; ρ(х; - 5) = 3

Предполагаемый ответ (ПО): Найти точки, которые находятся от точки 7 на расстоянии, равном 2 ед. отрезкам.

ПО: Найти точки, которые находятся от точки - 5 на расстоянии, равном 3 ед. отрезкам.

- В чем заключается геометрический смысл модуля?

ПО: Расстояние между точками на координатной прямой.

Записать аналитическую модель рисунка:

ПО: | х + 6 | = 3

Пример 2. | х - 2 | = 3

- В чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?

ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2.

- Записать данное уравнение с помощью знака ρ и решить его.

Ρ(х; 2) = 3; х - 2 = 3 х - 2 = - 3

х = 5 х = - 1

- Как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?

Пример 3. | х + 5 | = 3

-Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля | х + 5 | = 3, найдите его корни, используя координатную прямую.

ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки - 5.

Ответ: х = - 2; х = - 8.

Пример 4. | х - 2 | = | х + 5 |

Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения.

ПО: Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.

Составьте план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.

ПО:

а) найдем расстояние между точками - 5 и 2.

5 + 2 = 7.

б) т.к. х равноудалена от точек - 5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2 = 3,5

в) найдем координату точки: - 5 + 3,5 = - 1,5 или 2 - 3,5 = - 1,5

Пример 5. | х - 1 | + | х - 2 | = 1

1) Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:

| х - 1 | + | х - 2 | = 1

ПО: Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2. Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.

- Найдите расстояние между точками 2 и 1. Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1; 2].

Ответ: х Є [1; 2].

Пример 6. | х - 1 | + | х - 2 | = -1

- Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ.

ПО: Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.

Пример 7. | х - 1 | + | х - 2 | = 3. В чем заключается геометрический смысл данного уравнения?

ПО: Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.

Уравнение имеет 2 корня: х = 0; х = 3.

Пример 8.| х - 3 | + | х - 7 | = 4

Ответ: х Є [3; 7]

Пример 9. | х - 3 | - | х - 7 | = 4

- В чем заключается геометрический смысл этого уравнения?

ПО: Разность расстояний от точки х до точек 3 и 7 равна 4.

- Так как расстояние между 3 и 7 равно 4, то ответом будет любое число, расположенное на координатной оси правее 7.

Ответ: х Є [7; ∞).

Пример 10. | х - 7 | - | х - 3 | = - 4 (возможно учащиеся по аналогии с суммой скажут, что корней нет, но это неверный ответ, обязательно изобразить решение на координатной прямой).

Ответ: х Є [7; ∞).

Пример 11. | х - 7 | - | х - 3 | = 4

Ответ: х Є (-∞; 3].

Занятие №8. Решение систем уравнений с двумя переменными.

Повторение.

1. Решите систему методом подстановки.

а) в) д)

б) г) е)

2. Решите систему методом алгебраического сложения.

3. Решите графически систему уравнений

Для каждого ряда отдельная система:

Одновременно 2 ученика у доски решают другие системы, используя построение графиков.

С помощью рисунков на экране проверим правильность выполнения задания.

Игра "Математическое домино".

В раздаточном материале 30 систем уравнений. Решая системы уравнений, учащийся выбирает ответы только с целыми положительными числами и вписывает их в пустые фишки.

На магнитной доске учитель вывешивает фишку с любыми числами от 0 до 9, для начала цепочки игры домино.

Учащиеся решают системы уравнений в любом порядке и, показывая свое решение учителю, продолжают цепочку по принципу игры домино, если их ответы в данный момент подходят.

Если при решении системы уравнений были получены ответы с дробными числами, то такие ответы не рассматривать, а ответы с целыми отрицательными числами отмечать на координатной плоскости.

Если решение системы уравнений верное, то точки, координаты которых являются целые отрицательные числа, будут находиться на заготовленной линии.

Раздаточный материал.

Занятие №9. Практикум по решению уравнений.

Решение вариантов ОГЭ в электронном виде (презентация)

Занятие №10. Итоговый тест по теме «Уравнения».

Модуль 2 «Виды неравенств и способы их решения»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Понятие «неравенство» - одно из фундаментальных понятий школьного курса математики.

Умение решать неравенства различных видов позволяет обеспечить базовую подготовку школьника для успешного прохождения итоговой аттестации по математике за курс основной школы. Кроме того, это может помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования, так и повысить уровень своей общей математической культуры.

Модуль «Виды неравенств и способы их решения» рассчитан на 11 часов.

Цели модуля:

- развитие математических способностей: логически мыслить, умения анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных методов решения неравенств, систем неравенств;

- преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения итоговой аттестации по математике, и обретение уверенности в своих силах.

Задачи модуля:

- обобщить понятия: «неравенство», «система неравенств»;

- систематизировать основные методы решения неравенств, систем неравенств и научиться применять их в новых нестандартных ситуациях;

- приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах;

- совершенствовать навыки самоконтроля.

Содержание модуля.

ЗАНЯТИЕ 11. Рассматриваются, обобщаются, систематизируются и расширяются знания учащихся о решении линейных неравенств, повторяются виды числовых промежутков, их геометрическое изображение, обозначение и запись.

ЗАНЯТИЯ 12-13. Предусматривается повторение и продолжение формирования умений и навыков решения квадратных неравенств. Данные занятия направлены на развитие самостоятельности, самоконтроля учащихся. На втором занятии проводится диагностика умений учащихся решать квадратные неравенства, после которой, необходимо провести анализ результатов и провести коррекцию умений и навыков учащихся.

ЗАНЯТИЯ 14-15. Повторяются понятия «рациональное неравенство», «дробно-рациональное неравенство», продолжается формирование умения решать квадратные, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов. На занятиях уделяется внимание развитию самостоятельности, рефлексивных умений, умений самоконтроля.

ЗАНЯТИЕ 16. Повторяются понятие «иррациональное неравенство», алгоритм решения иррациональных неравенств базового уровня сложности и отрабатывается навык их решения.

ЗАНЯТИЕ 17. На занятии повторяется алгоритм решения неравенств, содержащих знак модуля. Изученный материал закрепляется в ходе решения упражнений, как во фронтальной, так и в индивидуальной работе.

ЗАНЯТИЕ 18. Предусматриваются: отработка умений и навыков решения различных видов неравенств (базового и повышенного уровня сложности);

коррекция умений, полученных на занятиях; развитие самостоятельности учащихся, умений самоконтроля.

ЗАНЯТИЕ 19.Учащимся предлагается итоговый тест, который направлен на проверку степени усвоения изученного материала по теме «Решение неравенств различных видов».

ЗАНЯТИЯ 20-21. Повторяются понятия «система неравенств», «решение системы неравенств», «решить систему неравенств»; повторяются названия числовых промежутков, их запись и изображение на числовой прямой; отрабатываются умения и навыки решение систем линейных, квадратных, дробно-рациональных и других видов неравенств. Предусматривается коррекция умений, полученных на занятиях, развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Календарно- тематический план

п\п

Тема занятия

Дата проведения

Коррекция

план

факт

Решение линейных неравенств.

Решение неравенств методом интервалов.

Решение неравенств методом интервалов.

Решение дробно-рациональных неравенств.

Решение квадратных, рациональных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Решение иррациональных неравенств.

Решение неравенств, содержащих знак модуля.

Урок-практикум по теме «Решение неравенств».

Тест по теме «Неравенства»

Решение систем неравенств.

Решение систем неравенств.

Требования к уровню подготовки учащихся

После освоения модуля учащийся должен знать:

- понятия «неравенство», «система неравенств»,

- виды неравенств и систем неравенств,

- основные методы решения неравенств и их систем;

учащийся должен уметь:

- различать виды неравенств,

- решать неравенства рациональным методом,

- выбирать и верно записывать ответ;

учащийся должен владеть:

- анализом и самоконтролем,

- способами решения неравенств и систем неравенств,

- методами исследования ситуаций, в которых результат принимает те или иные

формы.

Модуль Программа элективного курса «Виды неравенств и способы их решений» считается усвоенной учеником, если он положительно выполнил более половины различных видов промежуточного контроля, итоговый тест и итоговую контрольную работу, посетил не менее 80% занятий.

При подготовке к проведению занятий по каждой теме учитель может воспользоваться приведённым ниже теоретическим и дидактическим материалом, а также может видоизменить или дополнить его.

Дидактические материалы для учителя

Занятие №11. Решение линейных неравенств.

Цели занятия: - обобщить, систематизировать и несколько расширить знания

учащихся о решении линейных неравенств;

- повторить виды числовых промежутков, их геометрическое

изображение, обозначение и запись.

Ход занятия:

1. Теоретический материал.

Числовые промежутки.

вид промежутка

геометрическое изображение

обозначение

запись, с помощью неравенства

Интервал

a< x< b

Отрезок

a≤ x≤ b

Полуинтервал

a< x≤ b

Полуинтервал

а≤ x <b

Луч

x≥a

Луч

x≤b

Открытый луч

x>a

Открытый луч

x<b

2. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений.

1. Решите неравенства:

а) 8 + 6р < 2(5р - 8), б) 2(3 - 4q) - 3(2 - 3q) < 0,

в) -(6у +2) + 6(у - 1) > 0, г) 7 - 16r < -2(8r - 1) + 5,

д) е) ,

ж) , з)

и) а (а - 2) - а² > 5 - 3а, к) 0,2m² - 0,2(m - 6)(m+6) > 3,6m,

л) (4q - 1)² > (2q + 3)(8q - 1), м) .

2. Изобразите на координатной плоскости точки, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) у < 2х + 1; б) у ≥ х + 2.

3. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

а) 3(х - 2) - 4 ≥ 2(х + 3), б)

4. Решите двойные неравенства:

а) -5≤2х-7≤10, б) -13.

III. Подведение итогов.

Занятие №12-13. Решение неравенств методом интервалов.

Цели занятий:

- продолжить формирование умений решать квадратные неравенства;

- коррекция умений и навыков, полученных на уроках;

- развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Ход занятия:

I. Теоретический материал.

Квадратные неравенства - это неравенства вида ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0,

ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c≥0.

Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.

Пример 1. Решите неравенство (х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.Рассуждения учителя

Запись на доске

Данное неравенство является неравенством вида (1). Для его решения можно воспользоваться рассмотренным свойством чередования знаков функции. Отметим на координатной прямой нули функции f(x = (х+6) (х + 1) (х - 4).

Найдем знаки этой функции на каждом из промежутков (- ; -6), (-6; -1), (-1; 4), (4; + ).

Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка (4; + ), т. к. в нем значение данной функции заведомо положительно. Это объясняется тем, что при значениях х, взятых правее наибольшего из нулей функции, каждый из множителей х + 6, х+1, х -4 положителен. Используя свойство чередования знаков, определим знаки функции в каждом из остальных промежутков, двигаясь по координатной прямой справа налево.

Из рисунка видно, что множеством решения данного неравенства является объединение промежутков (-; -6) и (-1; 4)

(х + 6)(х+1)(х-4)<0,

f(x) = (x + 6)(x + 1)(x-4),

D(f) = (-; + )

Найдем нули функции:

f(x) = при х = -6, х = -1, х = 4.

- + - +

--------1-------1--------1-------►х

-6 -1 4

F(x) <0 при х (-;-6)(-1;4).

О т в е т: (-; -6) (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов

Пример 2.Решим неравенство -3х²-5х+2>0.

-3х²-5х+2>0,

3х²+5х-2<0,

3х²+5х-2=0,

x_1,2 =

x₁=, x₂= -2;

3х²+5х-2=3(x-)(x+2);

Ответ: (-2; )

3(x-)(x+2)<0,

или

нет решения .

Пример 3. Решите неравенство (х + 3) (x- 4) (2х + 5) < 0.

Рассмотрим функцию f(x) = (х + 3) (х - 4) (2х + 5), определенную на (-; + ).

В дальнейшем можно не акцентировать внимание на области определения функций, заданных многочленом, поскольку такие функции определены на множестве действительных чисел. Но ученики четко должны это понимать.

Найдем нули функции: f (х) = 0 при х = -3, х = 4 и х = -2,5.

И еще одно замечание: допускается, что ученик находит нули функции в таких простых случаях устно. Хотя на усмотрение учителя или ученика можно показать решение уравнения

(х + 3) (х - 4) (2х + 5) = 0:

(х + 3)(х-4)(2х + 5) = 0;

х + 3 = 0, или х - 4 = 0, или 2х + 5 = 0;

х= - 3; х = 4; х = -2,5.

Отметим на координатной прямой нули функции и выясним знаки функции в каждом из получившихся промежутков: в «крайнем правом» промежутке f (х) > 0, т. е. ставим знак «+», а далее «чередуем» знаки.

- + - +

-------1-------1-------------1---------►х

-3 -2,5 4 х

f(x) < 0 при х € (-; -3) и (-2,5; 4).

Теперь еще раз об оформлении записей на доске и в тетрадях учащихся:

(х + 3)(х-4)(2х + 5)<0.

f(x) = (х + 3) (х - 4) (2х + 5), D(f) = (-; + );

f(х) = 0 при х = - 3,х = 4 или х = -2,5.

- + - +

-------1-------1-------------1---------►х

-3 -2,5 4 f(x) < 0 при х € (-; -3) и (-2,5; 4). Ответ: (-; -3) и (-2,5; 4).

Пример 4. Решить неравенство (5х+1)(5-х)>0.

Рассмотрим два способа решения данного неравенства.

1-й способ.

Приведем неравенство к виду (1):

-(5х+1)(х-5)>0,

(5x+1)(х-5)<0.

А теперь воспользуемся методом интервалов:

f(x) = (5x+1)(x-5), f(x) = 0 при х= , х = 5.

+ - +

-------1---------------1--------►х

5

f(x)<0 при х € (;-5). Ответ: (;-5).

2-й способ:

(5х + 1)(5-х)>0

Рассмотрим функцию f(x) = (5х + 1) (5 -х), D(f) = (-; + ).

Найдем нули функции: f(x) = 0 при = , х = 5.

Выясним знак функции в «крайнем правом» промежутке (5; + ). Для этого достаточно выяснить знак функции при каком-нибудь значении аргумента из этого промежутка, например, при х = 10.

f (10) = (5 10+1) (5-10) <0.

А далее воспользуемся свойством чередования знаков функции.

- + -

-------1---------------1--------►х

5

f(x)>0 при х € (; 5).

Пример 5. Решить неравенство (х² + 6) (4 - х) (х +) < 0.

В произведении (х² + 6) (4 - х) (х +) присутствует множитель х²+ 6, положительный при любых значениях х, поэтому данное неравенство равносильно неравенству (4-х) (х +) < 0. Решим его методом интервалов:

f(x) = (4-x)(x+);

- + -

---------1----------1--------►х

- 4

f(x) = 0 при х = 4, х =-

f(x) < 0 при х €(- ) ∩(4; Ответ: (- ) ∩(4;

Пример 6. Решите неравенство (х + 8) (х - 1)² (х - 5) < 0.

В левой части неравенства есть множитель (х - 1)², который принимает положительные значения при любых значениях х, кроме х=1.

Поэтому при всех х ≠1 произведение (х + 8) (х - 1)¹ (х - 5) имеет тот же знак, что и произведение (х + 8) (х- 5). Значит, данное неравенство равносильно системе (x + 8) (х - 5) < 0,

х ≠1 .

Решим неравенство (х + 8) (х - 5) < 0 методом интервалов:

+ - +

--------1------1------►х

-8 5

f(x) = (х + 8) (х - 5) < 0 при х € (-8; 5).

Чтобы найти все решения неравенства (х + 8) (х - 1)² (х - 5) < 0, нужно из промежутка (-8; 5) исключить число 1, получим (-8; 1) и (1;5).

Ответ: (-8; 1)и(1;5).

Рассмотрим пример, опираясь на обобщенный метод.

Пример 7. Решите неравенство

(х + 7) (2х - 5)² (6 - х)⁵ (3х + 10)⁴ < 0.

Для решения неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой прямой отметим нули «левой части» неравенства. Выясним знак в «крайнем правом» промежутке: Р(100) < 0

+ - - + -

-------1-----1-----1-----1------►х

-7 6

При переходе через точку х = 6 знак меняем, т. к. показатель степени двучлена х - 6 нечетный; аналогично при переходе через точку х = . Справа от точки х= знак «-», значит, и слева знак «-», т. к. показатель степени двучлена (3х + 10) четный; при переходе через точку х = 7 знак меняем.

Решением неравенства является совокупность промежутков, где стоит знак «-».

х€(-7; -) и (-; -)^(6; +). Ответ: (-7; -) и (-; -)^(6; +).

Пример 8. Решим неравенство -3х²-5х+2>0 графически.

Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax²+bx+c, где a0. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Графическое изображение.D

a>0

a<0

D<0

D=0

х_1,2=

х_1,2=

D>0

х_1,2=

х_1,2=

Пример 9. Решите неравенство х² - 5х + 6 ≤ 0.

В школьном курсе математики квадратные неравенства чаще всего решают с помощью «схематичного» графика соответствующей квадратичной функции.

Решим неравенство методом интервалов:

х2- 5х + 6 = 0 при х₁ = 2, х₂ = 3,то есть х² - 5х + 6 = (х -2) (х -3).

Мы разложили квадратный трехчлен на множители, данное неравенство равносильно неравенству (х - 2) (х - 3) ≤ 0.

+ - +

-------1--------1-------►х

2 3

f(x) = (x-2)(x-3)≤0 при x € [2;3]. Ответ: [2;3].

Пример 10. Решите неравенство х⁷ + 8х⁴ - х³ - 8 > 0.

Решение

Разложим на множители многочлен в левой части неравенства: х⁷ + 8х⁴ - х³ - 8 = (х⁷ + 8х⁴) - (х³ + 8) = х⁴ (х³ + 8) - (х³ + 8) = (х³ + 8) (х⁴ - 1) = (х + 2) (х²- 2х + 4) (х²+1) (х² - 1).

Таким образом, нам необходимо решить неравенство:

(х + 2)(х²-2х + 4)(х² + 1)(х-1)(х + 1) > 0.

х² + 1 > 0 при любых действительных х;

х² - 2х + 4 > 0 при любых действительных х, т. к. Д = (-1)² - 4 = = 1-4 = -3<0

и а=1 >0; значит, данное неравенство равносильно неравенству (х + 2) (х - 1) (х + 1) > 0.

Применим метод интервалов:

- + - +

------1------1------1--------►х

-2 -1 1

f(x) = (х + 2) (х- 1) (х + 1) > 0 при х €(-2; -1) и(1; +). Ответ: (-2; -1) и (1; + ).

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

№ 1. Решите квадратные неравенства двумя способами:

а) (х-2)(х+4)>0, в) x²-3x+2<0,

б) (x-3)(x+5)<0, г) x²-2x-3>0.

№ 2. Решите неравенства (любым способом):

а) х² - 5х > 0, д) 4х ≤ -х²

б) х² > 25х, е) ¹/₃х² > ¹/₉

в) х² - 36 < 0, ж)

г) 3х² + х + 2 > 0, з)

№ 3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства х² + 7х ≤ 30.

№ 4. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства 3х - х² > -40.

№ 5. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:

а) в) б) г)

№ 6. Равносильны ли неравенства:

а) х² + 6х - 16 < 0 и х² + 6х - 16 ≤ 0;

б) и

№ 7. Сколько целочисленных решений имеют неравенства:

а) 15 - х² + 10х ≥ 0, б) х² + 5х - 8 < 0.

№ 8. При каких значениях параметра р квадратное уравнение 3х² - 2рх - р + 6 = 0

а) имеет 2 различных корня; б) имеет 1 корень; в) не имеет корней.

III. Подведение итогов.

Тест.

В - 1. В - 2.

1. Сколько решений неравенства содержится среди чисел:

2х² + 7х - 4 < 0 х² - 7х - 8 < 0

-3; 0; 1; 2,5. -3; 0; 1; 2,5.

а) ни одного; б) 1; в) 2; г)3.

2. Решите неравенство:

1 - х² < 0. 9 - х² > 0.

а) х > 1, в) х < 1, а) х > 3, в) -3 < х < 3,

б) х < -1, г) х < -1; х > 1. б) х < -3, г) х < -3, х > 3.

3. Решите неравенство:

2х² + 7х - 4 < 0. 3х² - 4х + 7 ≥ 0.

а) [½; 4], в) (-½; 4), а) [-1; 2⅓], в) (-1; 2⅓),

б) (-4; ½), г) (-∞; -4) U (½; +∞). б) (-∞; +∞), г) (-2⅓; 1].

4. Найдите область определения функции:

у= у=

а) (0; 3) U (4; +∞) в) (-∞; 0) U [3; 4) а) [-5; -2] в) (-∞; -5] U [2; 1) U (1; +∞)

б) [0; 3] U [4; +∞) г) (0;3) б) [1; +∞) г) [-5; -2] U [1; +∞)

Ключ к тесту:

1

2

3

4

В-1

в

г

б

б

В-2

г

в

б

г

II. Подведение итогов, коррекция знаний и умений учащихся.

Занятие № 14-15. Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Цели занятия:

- повторить понятия «рациональное неравенство», «дробно-рациональное неравенство»;

- продолжить формирование умения решать квадратные, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов;

- развитие самостоятельности, рефлексивных умений, умений самоконтроля.

Ход занятия:

1. Теоретический материал.

Рациональные и дробно-рациональные неравенства - это неравенства вида Р_n(x)>0, , , где P_n(x), Q_m(x) -многочлены степеней n и m.

Осуществляется переход к равносильному неравенству P_n(x)∙ Q_m(x)>0 и P_n(x)∙ Q_m(x)<0. Для решения рациональных дробно-рациональных неравенств обычно применяется метод интервалов.

Метод интервалов часто применяется и при решении квадратных неравенств.

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Пример 1. Решите неравенство >0.

Это неравенство равносильно неравенству (х -7)(х + 2)> 0.

Действительно, дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака, то есть двучлены х - 1 и х+ 2 либо оба положительны, либо оба отрицательны. Но в таком случае и их произведение положительно. Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию f(x) = (х-7)(х + 2).

f(x) = 0 при х= -2, х₂ = 7.

+ - +

------1-------1-------►х

-2 7

f(x) > 0 при х€ (-; - 2)u(7; +) . Ответ: (-; -2)и(7; +)

Пример 2. Решите неравенство .

Учитывая, что при любых действительных значениях х (х² + 1) положительно, данное неравенство равносильно неравенству

.

Отметим на числовой прямой нули функции, задаваемой левой частью неравенства; определим знак ее в «крайнем правом» промежутке, а далее будем чередовать знаки, учитывая четность-нечетность степеней сомножителей:

+ - - - + +

-----------1----1---------1----1-------1------►х

-2 -1 1 3

х€(-2;-l) u (-l;l) u (l;). Ответ: (-2;-1) и (-1; 1) и (1;).

Пример 3. Решите неравенство 0.

Решение

В отличие от случая, рассмотренного в предыдущих примерах, неравенства (х+ 4) (х + 11) < 0 не равносильны, т. к. х = 11 является решением второго неравенства, но не является решением первого неравенства (при х = 11 дробь не имеет смысла).

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе условий.

(х+ 4) (х + 11) ≤ 0,

х≠11

Далее решим по методу интервалов.

+ - +

------1-------1------►х

-4 11

f(x) = (x + 4)(x-11),

f(x)≤0 при x € [-4; 11). Ответ: [-4; 11).

Пример 4. Решите неравенство 0.

Решение

Данное неравенство равносильно системе условий:

(х²-5х + 6)(4-х) 0

≠0

(х-2)(х-3)(4-х)(х + 2)(;с+1) ≤ 0,

х≠-2,

х≠-1.

Решим неравенство (х - 2) (х - 3) (4 - х) (х + 2) (х + 1) ≤0 методом интервалов:

+ - + - + -

------1------1------1------1------1------►х

-2 -1 2 3 4

х € (-2;-1) и [2; 3] и [4; +). Ответ: (-2; -1) и [2; 3] и [4; + ).

Решите неравенства:

1) x²-4x+3<0; 7) (х²-7х+12)(х²-х+2)≤0;

2) х²-3х+2≤0; 8) ;

3) 2x²+7x-4<0; 9) ;

4) 3х²-5х-2>0; 10) ;

5) 4x²-4x+1≥0; 11) .

6)

III. Задания для самостоятельного решения.

Для развития самостоятельности, рефлексивных умений, проведения самоконтроля, учащимся может быть предложена самостоятельная работа или тест по решению квадратных, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов.

Самостоятельная работа.

В - 1. В - 2.

Решите неравенства:

(2 - х )(х + 3) ≥ 0, (1 - х) (х + 4) > 0,

4х² + 4х + 1 ≤ 0, 9х² + 6х + 1 > 0,

х - х² - 1 ≥ 0, 3х -х² - 1 ≥ 0,

(х + 4)²(х - 2) < 0, (х - 2)²(х + 1) > 0,

Тест.

В - 1. В - 2.

1. Решить неравенство:

х² - 2х - 3 < 0. х² - 3х - 4 > 0.

а) -1 < х < 3; в) х < -1, х > 3; а) -1 < х < 4; в) х < -1, х > 4;

б) -3 < х < 1; г) х < -3, х > 1. б) -4 < х < 1; г) х < -4, х > 1.

2. Решить неравенство:

х² < 9. 16 > х².

а) х < 3; в) -3 < х < 3; а) х < 4; в) х < 4;

б) х < -3; г) х < -3, х > 3. б) -4 < х < 4; г) х < -4, х > 4.

3. Решить неравенство:

^{. .}

а) х < 2; в) 0 < х < 2; а) х ≤ 3; в) 0 < х ≤ 3;

б) х > 2; г) х < 0, х > 2. б) х > 3; г) х > 2.

4. Найдите натуральное значение параметра р, при котором множество решений неравенства содержит пять целых чисел:

(1 + х)(р - х) ≥ 0. х(х - р) ≤ 0.

а) 1; в) 3; а) 1; в) 4;

б) 2; г) 4. б) 2; г) 3.

5. Найти область определения функции: -13-

у = . у =

а) (-1,1; 0) U (1,2; +∞); в) (-∞; 0) U [1,2; +∞); а) [-∞; -3]; в) (-∞; -3] U [3; +∞);

б) [-1,1; 0] U [1,2; +∞]; г) (0;1,2). б) [3; +∞); г) (-∞; -3) U (3; +∞).

Ключ ответов к тесту:

1

2

3

4

5

В-1

а

в

г

в

б

В-2

в

б

в

в

в

IV. Подведение итогов.

Занятие № 16. Решение иррациональных неравенств.

Цели занятия:

- повторить понятие «иррациональное неравенство»,

- повторить алгоритм и отработать навык решения иррациональных неравенств базового уровня сложности.

Ход занятия:

1. Теоретический материал.

Под иррациональными неравенствами понимаются неравенства, в которых неизвестные величины находятся только под знаком корня (радикала). Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам. Освободить иррациональное неравенство от корней иногда удается путем возведения обеих частей неравенства в степень корня. Помни: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получается неравенство, которое будет равносильно исходному лишь тогда, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

2. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Рассмотрим несколько заданий, в которых необходимо решить иррациональное неравенство.

Пример 1. . ОДЗ: х-5 ≥0, х≥5.

Возведем обе части неравенства в квадрат, получим x-5<1, x<6. Учитывая ОДЗ, изобразим решение на числовой прямой:. Ответ: [5; 6).

Пример 2. ОДЗ: -х≥0, х≤0

Разделим обе части неравенства на неотрицательное выражение, получим

(х+1) > 0, х+1>0, x>-1.

Найдем пересечение полученного множества с ОДЗ: . Ответ: (-1; 0].

Пример 3. . ОДЗ: х≥0.

Левая часть неравенства неотрицательная, правая часть отрицательная. Следовательно, неравенство выполняется при всех допустимых значениях х.

Ответ: [0; +∞).

Пример 4. . ОДЗ: 9х-20≥0, 9х≥20, .

С учетом ОДЗ правая часть неравенства тоже неотрицательная. Значит, обе части неравенства можно возвести в квадрат:

9x-20<x²; x²-9x+20>0, x²-9x+20=0, x_1,2=, x₁=5, x₂=4.

x²-9x+20= (x-5)(x-4), (x-5)(x-4)>0, решив неравенство методом интервалов, получим: x<4, x>5.

Ответ: (-∞;4) U (5;+∞).

Пример 5. . ОДЗ: x+61≥0, x≥ -61.

Правая часть неравенства при x≥ -61 может быть отрицательна. Рассмотрим два случая:

1) х+5≥0, х≥-5, тогда обе части неравенства неотрицательные и обе части можно возвести в квадрат: x+61<x² + 10x+25, x²+9x-36>0, x²+9x-36=0, х_1,2=, х₁=3, х₂=-12, тогда x²+9x-36= (х-3)(х+12).

Решив неравенство (х-3)(х+12)>0 методом интервалов , получим: x<-12, x>3. Найдем пересечение данного множества с множеством х≥-5 и с ОДЗ, получим x>3.

2) x+5<0, x<-5, при этом правая часть неравенства отрицательная. Такое неравенство не верно, т.е. рассматриваемый промежуток не содержит решений исходного неравенства.

Ответ: (3; +∞).

Пример 6. . ОДЗ: x+7

Правая часть неравенства может быть отрицательной. Рассмотрим 2 случая:

1. x+1 х≥-1. Тогда х+7>(х+1)²; x+7> x²+2x+1, x²+x-6<0.

x²+x-6=0, x_1,2= х₁=2, x₂=-3.

Решив неравенство (x-2)(x+3)<0 методом интервалов, получим -3<x<2. Найдем пересечение найденного решения с множеством х≥-1 и ОДЗ, получим хє[-1;2).

2. x+1<0, x<-1. Правая часть неравенства отрицательная, значит исходное неравенство верно при всех действительных значениях х, входящих в ОДЗ. Значит, 7.

3. Ответом будет объединение множеств значений переменной х, полученных в обоих случаях.

Ответ: [-7; 2).

Пример 7. (x-1) . ОДЗ: x²-x-2≥0, х≤-1, x.

1) Корнями уравнения (x-1) являются x₁=-1, x₂=1; x₃=2.

2) Найдем решение строгого неравенства (x-1). Разделим обе его части на Получим: х<1.

Окончательное решение исходного неравенства видно из рисунка:

Ответ: (-∞; -1), х=2.

Пример 8. Найдите область определения функции

a) у=

б) у=

Область определения функции.

Если функция задана формулой, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Целая рациональная функция определена на множестве действительных чисел, то есть D(f) = (- со; + со); дробная рациональная имеет смысл при всех тех значениях аргумента, при которых знаменатель (знаменатели) дроби отличен от нуля. Функция, содержащая радикал четной степени, определена при условии, что покоренное выражение неотрицательно.

Решение

а) =

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным (D() = [0; + ), то х(х - 1,2) (х + 1,1) 0. Применим метод интервалов.

Найдем нули функции f(x) = х(х - 1,2) (х + 1,1): f(х) = 0 при х₁ = 0, х₂= 1,2;

х₃= -1,1.

- + - +

-------1-----------1----------1-----------►х

-1,1 0 1,2

f(x) ≥0 при x € [-1,1; 0] и [1,2;+ )

Ответ: D(y) = [-1,1; 0] и [1,2; + ).

б) у=

Так как D() = [0; + ), то (х² + 4) (х² - 9) > 0.

(х - 3) (х + 3) 0, поскольку х² + 4 > 0 при любых действительных значениях х.

+ - +

-----1--------------1-------►х

-3 3

Д (у) = (-;-3]и [3; + ).

Пример 9. При каких значениях х имеет смысл выражение

Решение:

Выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда ,

х(1 - х) ≥ 0. Решим неравенство методом интервалов.

х(1 - х) = 0, х = 0 или 1 - х = 0, х = 4

- + -

-----1-------1------►х

1. 4

Выясним знак выражения в «крайнем правом» промежутке, например, при х = 100: 100(1- 100) < 0. А далее чередуем знаки.

Выражение имеет смысл при х € [0; 4].

Пример 10. Найдите область определения функции у=

Решение

Данная функция дробная, содержащая иррациональность в числителе дроби, значит, область определения функции обусловлена системой:

3х²-х-14≥0,

2х+5≠0.

Решим неравенство 3х² -х - 14 ≥ 0 методом интервалов.

Найдем нули функции f(x) = 3х² - х - 14:

3х²-х-14 = 0,

Д = (-l)²-4∙3∙(-14)=169,

Х_1,2=; х₁= -2; х₂=

3х² -х - 14 = 3(х + 2) (х-); (х + 2) (х - ) ≥ 0.

+ - +

----1------1------►х

-2

f(x)≥0 при х € (- ; -2] и [; + ).

Надо учесть, что 2х + 5 ≠0, х ≠-2,5.

---------1----------1-----------1-------►х

-2,5 -2

D(y) = [-; -2,5) и (-2,5; 2] u [; ).

II. В конце занятия учащимся целесобразно предложить домашнее задание.

Решите неравенства:

1) , 3) ,

2) (х-1), 4) .

III. Подведение итогов.

Занятие № 17. Решение неравенств, содержащих модуль.

Цели занятия:

- повторить решение неравенств, содержащих знак модуля;

- закрепить изученный материал в ходе решения упражнений;

- развитие интеллектуальных способностей, обобщенных умственных умений.

Ход занятия:

3. Теоретический материал.

Неравенства, содержащие знак модуля, следующего вида:

(1) (3)

(2) (4)

Решить неравенства можно тремя способами. Например, рассмотрим решение неравенства :1 способ

2 способ

3 способ

а рассматривается как расстояние на координатной прямой.

Пример:

,

- расстояние между точками х и 1

Ответ: (-1;3).

Если а>0, то и а возводим в квадрат.

Если а<0, то (1) и (2) верны всегда, а (3) и (4) не имеют решений.

Пример:

,

(x-1)²<4,

х²-2x-3<0,

-1<x<3.

Ответ: (-1;3).

По определению модуля:

Пример:

или

1≤х<3. -1<x<1. Объединяем оба решения.

Ответ: (-1;3)

Опорные неравенства

1) 3)

2) 4)

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

1. Решить неравенство 2-м способом:

(x+4)²≥1 <=> x²+8x+16≥1 <=>x²+8x+15≥0 <=>(x+3)(x+5)≥01 <=>x≤-5; x≥-3.

Ответ: (-∞;-5) U (-3; +∞).

2. Решить неравенство 1-м способом:

3. Решить неравенство и указать наименьшие целые положительные решения:

x=-2 и x=2 точки, обращающие один из модулей в ноль (критические точки).

1) при х<-2 получим: -x+2-x-2≤4, -2x≤4, x≥-2. Неравенство на этом

промежутке не имеет решения.

2) при -2≤x<2 получим: -x+2+x+2≤4. 0∙x≤0, хєR. Решением неравенства

является промежуток -2≤х<2.

3) при х≥2 получим: х-2+х+2≤4, 2х≤4, х≤2. Решением неравенства

является х=2.

Ответ: [-2;2]; 1.

Задания для самостоятельного решения.

1. . Ответ: нет решений.

2. . Ответ: нет решений.

3. . Ответ: -8<x<2.

4. . Ответ: x<-2, x>0.

5. . Ответ: (-∞;-5) U (3;+∞).

III. Подведение итогов.

Занятие № 18. Урок - практикум.

Цели занятия:

- отработка умений и навыков решения различных видов неравенств;

- коррекция умений, полученных на занятиях;

- развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Ход занятия:

1. Актуализация опорных знаний учащихся.

2. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

1 уровень (базовый).

Решите неравенства:

1. 6-8x≥5x+19. Ответ: (-∞;-1].

2. 3x-11<7x+9. Ответ: (-5;+ ∞).

3. 7-2x<-23-5(x-3). Ответ: x<-5.

4. 8x+12>4-3(4-x). Ответ: x>-4.

5. 1-3x≤2x-9. Ответ: x≥2.

6. 7-5x≥-11-11x. Ответ: x≥-3.

7. (2-x)(x+3)≥0. Ответ: [-3;2].

8. (1-x)(x+4)>0. Ответ: (-4;1).

9. x²<0,81. Ответ: (-0,9; 0,9).

10. x²≥0,04. Ответ: (-∞;-0,2] U [0,2;+ ∞).

11. 4x²≤1. Ответ: -0,5≤x≤0,5.

12. . Ответ: (-∞;-3] U [3;+ ∞).

13. (x-2)²(x+1)>0. Ответ: (-1;2) U (2;+∞).

14. 9x²+6x+1>0. Ответ: (-∞;-)U .

15. . Ответ: x≤-2,4; x≥4,4.

16. . Ответ: .

17. . Ответ: x>2,5.

18. . Ответ: y>-4.

19. . Ответ: x - любое.

20. . Ответ: x - любое.

21. . Ответ: нет решений.

2 уровень (повышенный)

Решить неравенства:

1. x⁴-4x³+4x²-1≤0. Ответ: [1-; 1+].

2. x⁴-6x³+9x²-4≥0. Ответ: (-∞; ] U [1; 2] U [; +∞).

3. |х²-5х|≥6. Ответ: (-∞; -1] U [2; 3] U [6; +∞).

4. Найти сумму целых решений неравенства лежащих на

промежутке [-8; 8]. Ответ: 5+6+8=19.

III. Подведение итогов.

Занятие № 19. Урок контроля знаний.

Цели занятия:

- проверить уровень усвоения учащимися изученного материала по теме «Решение неравенств различных видов».

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Итоговое тестирование по теме «Решение неравенств».

Вариант I Вариант II

№ 1. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

4(х - 7) - 2(х + 3) ≤ -10. (х - 1) + 7(х + 2) < 27.

а) 7, в) 12, а) 2, в)1,

б) 0, г) 5. б) 0, г) 3.

№2. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

а) 1, в) 2, а) 0, в) 2,

б) 0, г) 3. б) 1, г) 4.

№ 3. Решите неравенство:

-2х² + 3х + 2 ≥ 0. -6х² - х + 1 > 0.

а) свой ответ, а) свой ответ,

б) (-∞; -½) U ( 2; +∞), б) (-½; ⅓),

в) [-½; 2], в) (-∞; -½) U (⅓; +∞),

г) (-∞; -½] U [2; +∞). г) (-∞; -½] U [⅓; +∞).

№ 4. Решить неравенство:

а) [-3; 2], в) (-3; 2), а) (-∞; 1,5), в) (-∞; 1,5] U [8; +∞),

б) [-3; 2), г) (-3; 2]. б) (1,5; 8), г) (-∞; 1,5) U (8; +∞).

№ 5. Решите неравенство.

׀ х - 1׀ ≤ 2. ׀х - 4׀ ≥ 5.

а) -1 ≤ х ≤ 3, в) х < -1, а) х > 1, в) х ≥ -1,

б) х ≤ -1, г) х ≤ 3. б) х ≥ 9, х ≤ -1, г) х > 9.

№ 6. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

х² + 7х ≤ 30. 3х - х² > -40.

а) 12, в) 13, а) 8, в) 10,

б) 14, г) 0. б) 9, г) 12.

№ 7. Решить двойное неравенство:

-3-1. -3-1.

а) < х ≤-3, в) ≤ х ≤-3, а) ≤ х ≤-2, в) х < -2,

б) х ≤ _, г) х ≥ -3. б) < х <-2, г) х >.

№ 8. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а) (-∞; 2), в) (2; 3], а) (-∞; -2,5] U [8; +∞), в) (-∞; 2,5),

б) (2; 3), г) (2, 3]. б) (-∞; -2,5)U (8; +∞), г) (8; +∞).

№ 9. При каких значениях параметра р квадратное уравнение имеет

действительные корни:

х² - 12рх - 3р = 0 х² + 2рх + (р + 2) = 0

а) (-∞; -0,5], в) [0; +∞), а) (-∞; -1), в) (-∞; -1] U [2; +∞),

б) (-∞; -¹/₁₂] U [0; +∞), г) (-0,5; 0). б) (-∞; -1], г) (2; +∞).

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

В-1

в

б

в

в

а

б

в

б

в

В-2

в

в

б

б

б

г

а

б

в

III. Подведение итогов.

Занятие № 20-21. Решение систем неравенств.

Цели занятия:

- повторить понятия «система неравенств», «решение системы неравенств», «решить неравенства»;

- повторить названия числовых промежутков, их запись и изображение на числовой прямой;

- повторить решение систем линейных неравенств.

Ход занятия:

1. Повторение теоретического материала, актуализация опорных знаний учащихся.

Несколько неравенств с одной переменной могут образовать систему.

Решением системы неравенств с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором все неравенства обращаются в верные числовые неравенства.

Решить систему неравенств - это значит найти все решения этой системы или установить, что их нет.

Следовательно, чтобы решить систему неравенств, можно решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.

Решением систем неравенств с одним неизвестным являются различные числовые множества. Эти множества имеют названия.

Если а<b, то множество чисел х, удовлетворяющее неравенству а, называется отрезком и обозначается [a;b]

Если а<b, то множество чисел х, удовлетворяющее неравенству а<, называется интервалом и обозначается (a;b).

Множество чисел х, удовлетворяющее неравенству а или а< называется полуинтервалами и обозначается [a;b) и (a;b]

Отрезки, интервалы, полуинтервалы называются числовыми промежутками. Например,

1) Ответ: х>5, полуинтервал. 2) Ответ: х<3, полуинтервал.

3) Ответ: (3;5), интервал. 4) Ответ: [3;5], отрезок

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

№ 1. Укажите множество решений системы неравенств.

1). Ответ: (1,5; 3). 2). Ответ: 1,25<x<4.

№ 2. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений

системы неравенств.

1) 3)

2) 4) Ответ: 2).

№ 3. Какой системе неравенств соответствует множество решений, изображенное на рисунке :

1) 2) 3) 4) другой ответ. Ответ: 1).

№ 4. Какой системе неравенств соответствует множество решений, изображенное на рисунке :

1) 2) 3) 4) другой ответ. Ответ: 2).

№ 5. Какое из чисел удовлетворяет решению системы неравенств:

1)-, 2) -, 3) , 4) . Ответ: 3).

№ 6. Какое из чисел удовлетворяет решению системы неравенств:

1)-25, 2) -10, 3)1, 4) 12. Ответ: 2).

№ 7. Найдите наименьшее целое положительное решение системы

неравенств 1) -4, 2) 0, 3) 1, 4) 3. Ответ: 1).

№ 8. Найдите наибольшее целое решение системы неравенств

1) 2, 2) 1, 3) 7, 4) 0. Ответ: 2).

Учащимся можно предложить домашнее задание.

№ 1. Множество решений, какой системы неравенств изображено на рисунке

.

1) 2) 3) 4)

Ответ: 4).

№ 2. Множество решений, какой системы неравенств показано на рисунке.

.

1) 2) 3) 4)

Ответ: 1).

III. Подведение итогов.

Занятие 2.

Цели занятия:

- отработка умений и навыков решения различных видов систем неравенств;

- коррекция умений, полученных на занятиях;

- развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Ход занятия:

1. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Решить системы неравенств:

1) Решение:

Ответ: (-∞; -2] U [3; 4,5).

2) Решение:

Ответ: (-3; 1) U (3;5).

3) Решение:

Рассмотрев первое неравенство, получим: D=-3<0, значит квадратный трехчлен при хєR имеет постоянно отрицательный знак, поэтому решением первого неравенства системы являются х(-∞; +∞).

Второе неравенство системы x(x+1)<0 выполняется при x(-1; 0).

Ответ: (-1; 0).

4) Для решения воспользуемся методом интервалов.

Решение первого неравенства: Решение второго неравенства:

Пересечение этих решений:

Ответ: [-4; -1) U (3; 4].

II. Задания для самостоятельного решения.

Для развития самостоятельности, рефлексивных умений, проведения самоконтроля, учащимся может быть предложена самостоятельная работа.

№ 1. Решить системы неравенств:

1) Ответ: [6; +∞).

2) Ответ: (-8; 7].

3) Ответ: (0;2].

4) Ответ: .

5) Ответ: (-4;0).

III. В конце занятия учащимся (по их желанию) можно предложить домашнее задание.

Решив системы неравенств, записать в ответ наименьшее целое решение.

1) Ответ: -3.

2) Ответ: 6.

3) Ответ: -2.

IV. Подведение итогов.

Итоговый контроль по теме «Решение систем неравенств» (тест).

1. Множество решений какой системы неравенств указано на рисунке:

1) 2) 3) 4)

К Ф О У

2. Множество решений какой системы неравенств указано на рисунке:

1) 2) 3) 4)

И Т О С

3. На каком из рисунков изображено множество решений системы неравенств

1) 2)

Н Д

3) 4)

П Н

4. Укажите множество решений системы неравенств

1) [1; 2,6], 2) решений нет, 3) (1; 2,6), 4) (0,6; 2,6).

Е Ы И Е

5. Какое из следующих чисел не содержится во множестве решений системы неравенств

1) 3 2) 17 3) 4) 5

Ш Ц Х У

Ключ ответов: 2; 1; 4; 3; 1 (ФИНИШ).

Домашняя контрольная работа по теме «Решение неравенств и систем неравенств».

В-1

В-2

1. Решите неравенства:

а) x+9>8-4x, b) 3(y+4) ≥ 4 - (1-3y), c) (x-3)(2x-3)+6x²≤2 (2x-3)².

a) 3x-7≤ 4x+8, b) 3(y-2) + y < 4y+1, с) (5-6x)(1+3x)+(1+3x)² ≤ (1+3x)(1-3x).

2. Решите систему неравенств:

а)

b) c) 4x² +3x -1 <0;

d) e) .

a)

b) c) 6x²+x-1>0;

d) e) .

Модуль 3 «Решение текстовых задач»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В школьном курсе алгебры решению текстовых задач уделено мало учебных часов: в седьмом классе - 7 часов (4 - с помощью уравнений и 3 - с помощью систем уравнений); в восьмом классе - 4 часа (с помощью квадратных уравнений); в девятом классе - 3 часа (задачи на прогрессии) и несколько уроков по усмотрению учителя в период повторения.

В то же время на выпускном экзамене в 9 классе предлагаются текстовые задачи различных уровней сложности и различных типов: на совместную работу, на движение, на планирование, на проценты, на зависимости между компонентами арифметических действий, и другие виды. Не малое место занимают текстовые задачи на вступительных экзаменах в ВУЗы, в ЕГЭ по математике, об этом следует помнить и готовиться к таким испытаниям заранее.

Каждое занятие предлагаемого модуля, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес школьников к предмету, познакомить их с общими идеями и методами (возможно новыми для них).

Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них. В связи с этим целесообразно рассмотреть типовые задачи и их решения различными методами (с помощью уравнений, с помощью систем уравнений, логически…).

Программа модуля рассчитана на 13 часов.

Цель:

1) познакомить учащихся со способами решения текстовых задач: на движение,

на работу, на проценты, на сплавы и смеси;

2) научить составлять уравнение по условию задачи, описывать выбор

переменных уравнения; составлять и обосновывать выбор ответа;

3) сформировать у обучающихся умение решать разнообразные текстовые задачи алгебраическим способом;

4) познакомить учащихся с задачами ГИА.

Требования к уровню подготовки обучающихся.

Учащиеся должны знать: алгоритм решения уравнений, формулу корней квадратного уравнения, дробно-рациональные уравнения, способы решения систем уравнений, пропорции и их свойства, приёмы рационального счета.

Учащиеся должны уметь: решать линейные, квадратные, дробно-рациональные уравнения; системы уравнений первой и второй степени; выражать одно неизвестное через другое; заменять проценты дробью и наоборот; находить неизвестный член пропорции; выполнять действия с десятичными и обыкновенными дробями.

Учащиеся будут уметь:

1. Анализировать условие сюжетной задачи, выявлять главное в тексте.

2. Обосновывать выбор переменной при составлении уравнения.

3. Решать полученные уравнения рациональным способом.

Учащиеся будут знать:

1. Соотношения, показывающие связь между элементами в задачах на «движение», «работу», на проценты, на сплавы и смеси.

2. Ориентировочные основы поиска путей решения задачи.

Содержание модуля

Тема 1 «Задачи на «движение».

В начале занятия рассмотреть:

- основные компоненты этого типа задач (время, скорость, расстояние);

- зависимость между этими величинами в формулах;

- план решения задач на движение (заполнение таблицы);

- обратить внимание на особенности при различных видах движения.

Затем рассматриваем решение задач этого типа:

- движение навстречу друг другу (задачи, приводящие к линейным уравнениям, задачи, приводящие к системе двух линейных уравнений, задачи повышенной сложности);

- движение в одном направлении (задачи, приводящие к линейным уравнения, задачи, приводящие к системе двух уравнений, задачи повышенной сложности);

- движение с изменениями в режиме движения (задачи, приводящие к линейным уравнениям, задачи, приводящие к системе двух уравнений);

- движение по воде (задачи, приводящие к линейным уравнениям, задачи, приводящие к системе двух уравнений).

Тема 2 «Задачи на «работу».

Начнем с некоторых указаний к задачам данного типа:

- основными компонентами задач являются работа, время, производительность труда (обратить внимание на аналогию с задачами на движение);

- рассмотреть алгоритм решения задач (желательно с помощью таблицы - это универсальный способ, аналогичный задачам на движение).

Далее переходим к решению различных задач данного типа:

- задачи на совместную работу при неизвестном объеме работы (приводящие к системе двух уравнений);

- задачи с известным объемом работы, задачи, связанные с изменением режима работы.

Тема 3. Задачи на проценты.

Следует заметить, что задачи этого раздела входят как составная часть в решение других типовых задач. Заменяя проценты соответствующим количеством сотых долей числа, легко свести данную задачу на проценты к задаче на части.

Далее переходим к решению различных задач данного типа:

- задачи, связанные с торгово-денежными отношениями (себестоимость товара, прибыль, инфляция, процентный прирост);

- задачи на сплавы и смеси (концентрация и процентное содержание, разложение на компоненты, простейшие задачи "на усыхание», задачи "на сплавление и сливание, задачи "на переплавление и переливание").

Календарно- тематический планп\п

Тема занятия

Дата проведения

Коррекция

план

факт

Тема 1 «Задачи на «движение».

Решение задач на движение навстречу друг другу.

Решение задач на движение в одном направлении.

Решение задач на движение с изменениями в режиме движения.

Решение задач на движение по воде.

Тема 2 «Задачи на «работу».

Решение задач на совместную работу при неизвестном объеме работы.

Решение задач с неизвестным объемом работы.

Решение задач, связанных с изменением режима работы.

Тема 3. Задачи на проценты.

Решение основных задач на проценты.

Решение задач на нахождение числа по его процентам и процентное отношение двух чисел.

Решение задач на смеси и сплавы.

Решение задач на смеси и сплавы.

Решение задач на сложные проценты.

Итоговое занятие.

Дидактические материалы по теме «Задачи на проценты»

1. Основные задачи на проценты

1.1 Нахождение процентов от данного числа.

Задача 1. Для лесопитомника школьники собрали 60 кг семян дуба, акации, липы и клена. Желуди составляли 60%, семена клена 15%, семена липы 20% всех семян, а остальное составляли семена акации. Сколько кг семян акации было собрано школьниками?

Решение.

Желуди -60% , Акации х кг- 5%,

клен -15% , семена 60 кг-100%.

липа -20%. x = 5∙ 60 : 100=3 кг семян акации

Осталось 100-60-15-20=5%, Ответ: 3 кг

Задача 2. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Какова теперь масса арбуза?

Решение.

Масса «сухого вещества» в арбузе

100-99=1% или 20∙ 0,01=0,2 (кг).

После того, как арбуз усох, масса «сухого вещества» составила 100-98=2% от новой массы арбуза. Масса « сухого вещества» в арбузе не изменилась.

Пусть x кг новая масса арбуза, тогда 2% от x - это те самые 0,2 кг.

0,02∙x = 0,2,

x= 0,2: 0,02,

x=20:2,

x=10, значит новая масса арбуза 10 кг.

Ответ: 10 кг.

1.2 Нахождение числа по его процентам.

Задача 3. Ромашка при сушке теряет 84% своей массы. Сколько получится сухой ромашки из 50 кг свежей? Сколько надо взять свежей ромашки, чтобы получить 32 кг сухой ромашки?

Решение.

100% - вся масса (свежая),

84% -теряет,

100-84=16% остается (сухая),

50 кг -100%,

x кг -16%,

x =50 ∙16 : 100 =8 кг сухой ромашки из 50 кг свежей,

y кг -100%,

32 кг -16%,

y = 32 ∙ 100 : 16 = 200 кг свежей ромашки надо взять, чтобы получить 32 кг сухой.

Ответ: 8 кг, 200 кг.

Задача 4. Вес чая, получаемого из зеленого чайного листа, составляет 4% веса листа. Сколько надо чайного листа, чтобы получить 5,6 кг чая? Сколько получится чая из 750 кг чайного листа?

Решение.

Лист x кг- 100%, лист 750 кг - 100%,

чай 5,6кг- 4% , чай y кг - 4%,

x=5,6 ∙ 100 : 4 = 140 кг, y = 750 ∙ 4 : 100 =30 кг.

Ответ:140 кг; 30 кг.

1.3 Процентное отношение двух чисел.

Задача 5. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

Решение.

Надо найти отношение вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить это отношение в процентах:

150:500 = 0,3 = 30%

Ответ: 30%

Задача 6. Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой?

Решение.

45:36 = 1,25% = 125%

Ответ: 125%

1.4. Задачи всех типов.

Задача 7. Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12% , а затем к вечеру еще на 5% по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности воздуха составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?

Решение.

Утро - x %. Полдень - на 12% меньше, т.е. x - 0,12x = 0,88x %.

Вечером - еще на 5% меньше: 5% от 0,88x - это 0,88x ∙ 0,05 = 0,044x % ,

0,88x - 0,044x = 0,836x %,

x - 100%,

0,836x - ? %

?% = 0,836x ∙100 = 83,6 %

x

100 - 83,6 = 16,4 %

Ответ:83,6% , на 16,4 %

Задача 8. В одном из городов Грузии часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть - только по-русски. По-грузински говорят 85% всех жителей, по-русски - 75%. Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках?

Решение.

а)100% - 75% = 25% всех жителей не говорят по-русски;

б) 85% - 25% = 60% говорят по-русски и по-грузински.

Ответ: 60%

Задача 9. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения ее приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время заполнения бассейна?

Решение.

а) 100% - 60% = =40% = 0,4 - такую часть составляет оставшийся приток воды.

б) 1 : 0,4 = 2,5 (раза) - во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна, то есть оно увеличится на 150%.

Ответ: на 150%.

Задача 10. Ширину прямоугольника увеличили на 3,6 см, а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%. Найти ширину нового прямоугольника.

Решение.

a-ширина, b - длина, S = a∙b,

a +3,6 -новая ширина,

b - 0,16b = 0,84b новая длина,

новая S = (a + 3,6)∙0,84b,

a∙b - 100%,

(a + 3,6)∙0,84b - 105%,

(a + 3,6)∙84b = 105ab,

84ab + 3,6∙84b = 105ab,

21ab = 302,4b, разделим обе части на 21b,

a = 14,4; значит, старая ширина 14,4 см, тогда новая ширина 14,4 + 3,6 = 18 см.

Ответ: ширина нового прямоугольника 18 см.

Задача 11. Первое число равно 0,2; второе равно 0,3. Сколько процентов составляет первое число от суммы этих чисел? На сколько процентов первое число меньше второго и на сколько процентов второе больше первого?

Решение

0,2 + 0,3 = 0,5,

0,2 : 0,5 = 0,4 = 40%,

(0,3 - 0,2) : 0,2 = 0,5 = 50 %,

(0,3 -0,2): 0,3 = 1/3 = 33 1/3%.

Ответ: 40%, на 50%, на 33 1/3%.

2. Задачи, связанные с торгово-денежными отношениями

Задача 1. В стране Тьмутаракани инфляция столь стремительна, что еще 1 ноября один американский доллар стоил там 6000 тьмутараканских купонов, а спустя два месяца,1 января, за него предлагали уже 8640 купонов. Определите месячный процент инфляции, если известно, что в ноябре и декабре он был одинаковым.

Решение.

Пусть x % - месячный процент инфляции.

6000 + 6000x:100 = 6000 ∙ (1 + x:100) - купонов стоил доллар 1 декабря;

6000 ∙ (1 + x:100) + 6000 ∙ (1 + x :100) ∙ x:100 = 6000 ∙ (1 + x:100)² - купонов стоил доллар 1 января. В результате имеем уравнение:

6000 ∙ (1 + x:100)² = 8640, откуда

x = 20.

Ответ: 20% - месячный процент инфляции.

Задача 2. На один продукт была два раза снижена цена, каждый раз на 15%, На другой продукт, бывший до снижения в одной цене с первым, снизили цену один раз на x %. Каким должен быть x, чтобы после всех указанных снижений цен оба продукта были вновь в одной цене?

Решение.

Пусть y - первоначальная цена каждого из продуктов, тогда для первого продукта:

первое снижение y - 0,15y = 0,85y,

второе снижение на 0,85y ∙ 0,15 = 0,1275y и новая цена 0,85y - 0,1275y = 0,7225y.

Для второго продукта снижение на х %

x % от y - это xy:100, тогда после снижения цена стала y - (xy:100) = (100y -xy):100,

так как после снижений оба продукта вновь стали в одной цене, то

(100y -xy):100 = 0,7225y,

100y -xy= 72,25y,

xy= 100y - 72,25y,

xy= 27,75y, разделим обе части на y,

x = 27,75, значит, снижение должно быть на 27,75%.

Ответ: на 27,75%

Задача 3. Магазин, купив два предмета за 225 рублей, продал их, получив 40% прибыли. Сколько стоил магазину каждый предмет, если на первом было получено 25% прибыли, а на втором - 50%?

Пусть А - первоначальная стоимость первого предмета, В - первоначальная стоимость второго предмета, тогда А + В = 225.

А1 рублей - это прибыль с первого предмета,

А - 100%,

А1 - 25% , А1 = 25А:100 = 0,25А,

В1 - это прибыль со второго предмета,

В - 100%,

В1 - 50% , В1 = 50В:100 = 0,5В,

тогда А1 + В1 = 90 , так как общая прибыль 40% от 225 рублей составляет 90 рублей.

Имеем систему двух уравнений А + В = 225

0,25А + 0,5 В = 90,

А + В = 225

А + 2В = 360,

В = 135

А = 90, значит, предмет А стоил магазину 90 рублей, а

предмет В стоил магазину 135 рублей.

Ответ: 90 руб.,135 руб.

Задача 4. Фирма продала 3 партии автомобилей. Во второй партии по сравнению с первой автомобиль стоил на 50% дороже, продать удалось на 3 автомобиля меньше, выручка от продажи оказалась на 20% больше. В третьей партии по сравнению с первой автомобиль стоил на 1 тысячу долларов дешевле, продано автомобилей было на 20% больше, а выручка оказалась на 10% меньше. Сколько стоил автомобиль из первой партии?

Решение.№ партии

Стоимость,$

Количество

Выручка, $

А

x

Аx

1,5А

x - 3

1,2Аx

А - 1000

1,2x

0,9Аx

1,2x (А - 1000) = 0,9Аx,

1,2Аx - 1200x - 0,9Аx = 0,

0,3Аx = 1200x,

А = 4000, значит, 4000 $ стоил автомобиль из первой партии.

Ответ: 4000$

Задача 5. В конце года вкладчику на его сбережения банк начислил проценты, что составило 60 рублей. Добавив 440 руб., вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении этого года были начислены проценты. Сумма вклада вместе с процентным начислением составила 2575 рублей. Какова была первоначальная сумма вклада?

Решение.

Пусть x рублей - первоначальная сумма вклада, тогда в конце года (x + 60) руб., в начале следующего года x + 60 + 440 = x + 500 руб., в конце года 2575 руб.

Процент начислений 6000:х, т.к. x руб. - 100 %,

60 руб. - ? %,

(x + 500) + (x + 500)∙6000 = 2575,

100x

x + 500 + 60 + 30000 = 2575,

x

x + 30000 = 2575 - 560,

x

x² + 30000 - 2015x = 0,

x² - 2015x + 30000 = 0,

Д = 4.060.225 - 120.000 = 3.940.225,

x1 = (2015 + 1985):2 = 2000,

x2 = (2015 - 1985):2 = 15 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: первоначальная сумма вклада 2000руб.

Задача 6. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей уменьшилось. Вернулся к первоначальной цене. На сколько % владелец снизил новую цену билета, чтобы она стала первоначальной?

Решение.

А сколько рублей он потерял?

Какую часть составляет (1) от (2)?

Какую долю составляет незаработанная сумма от той, которую хотел заработать?

0,25x = 1 = 20%

1,25x 5

Ответ: 20%

Задача 7. Магазин выставил на продажу шубу по цене на 150% выше оптовой, затем снизил цену на 20%. После этого новую цену еще снизили на 40% и только потом продали за 36 тысяч рублей. Какую прибыль получил магазин?

Решение.

Оптовая цена x руб., продажа x + 1,5x = 2,5x руб.% снижения

Новая цена, руб.

20

40

2,5x - 0,2 ∙ 2,5x = 2,5x(1- 0,2) = 2,5x ∙ 0,8 = 2x

2x - 0,4 ∙ 2x = 2x(1 - 0,4) = 2x ∙ 0,6 = 1,2x

1,2x = 36000,

x = 30000.

36000 - 30000 = 6000 (руб.) прибыль.

Ответ: магазин получил 6 тысяч рублей прибыли.

3.Задачи на сплавы и смеси

Задача 1. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй - 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.

Решение.Сплав

Масса золота, г

Масса меди, г

Общая масса, г

% золота

Взяли от общей массы, г

Взяли золота, г

Первый

230

20

250

230:250 ∙100 = 92

x

0,92x

Второй

240

60

300

240:300 ∙ 100 = 80

(300 - x)

0,8(300-x)

Новый

300 ∙ 0,84 = 252

300

84

Уравнение: 0,92x + 0,8(300 - x) = 252,

0,92x + 240 - 0,8x = 252,

0,12x = 12,

x = 12 : 0,12,

x = 100

Ответ: от первого слитка взяли 100 г.

Задача 2. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360 г серебра и 40 г олова, а второй слиток - 450 г серебра и 150 г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200 г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу

( в граммах) куска, взятого от второго слитка.

Решение.Сплав

Масса серебра, г

Масса олова, г

Общая масса, г

% серебра

Взяли от общей массы, г

Взяли серебра, г

Первый

360

40

400

90

(200-x)

0,9(200 - x)

Второй

450

150

600

75

x

0,75

Новый

162

200

81

0,9(200 - x) + 0,75x = 162,

180 - 0,9x + 0,75x = 162,

-0,15x = -18,

x = 120.

Ответ: 120 г сплава взяли от второго слитка.

Задача 3. Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, второй - 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?

Решение.Сплав

Масса серебра, г

Масса меди, г

Общая масса, г

% серебра

Взяли от общей массы, г

Взяли серебра, г

Первый

x

70

70 + x

x:(70+x)∙100

225

225x:(x +70)

Второй

210

90

300

(210:300)∙100 =70

300-225 =75

75∙0,7 = 52,5

Новый

0,82 ∙ 300 = 246

300

82

225x:(x + 70) + 52,5= 246,

225x:(x + 70) = 246 - 52,5,

225x:(x + 70) = 193,5,

225x = 387,

(x+70) 2

450x = 387(x + 70),

450x - 387x = 27090,

63x = 27090,

x = 430.

Ответ: 430 граммов серебра содержалось в первом сплаве.

Задача 4. Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и пластичностью. Первый такой сплав содержит 5% магния, второй сплав - 3% магния. Масса второго сплава в 4 раза больше, чем масса первого сплава. Их сплавили и получили 3 кг нового сплава. Определите, сколько граммов магния содержится в новом сплаве.

Решение.Сплав

Масса магния, г

% магния

Общая масса, г

Первый

30

5

x = 600

Второй

72

3

4x = 2400

Новый

102

1. Общая масса 3 кг. 2)m1 магния = 600∙0,05 = 30 (г) 3) 30 + 72 = 102(г)

x + 4x = 3000, m2 магния = 2400∙0,03 = 72 (г)

5x = 3000,

x = 600.

Ответ: 102 г магния содержится в новом сплаве.

Задача 5. Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько кг меди было в куске латуни первоначально?

Решение.Сплав

Масса меди, кг

Масса цинка, кг

% меди

Общая масса, кг

Первый

x + 11

x

2x + 11

Второй

12

Новый

x + 23

x

75

2x + 23

(2x + 23) ∙ 0,75 = x + 23x,

3(2x + 23) = 4x + 92,

6x + 69 = 4x + 92,

2x = 23,

x = 11,5, значит, меди x + 11 = 11 + 11,5 = 22,5 кг

Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни первоначально.

Задача 6. Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 60 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди и получили латунь, в которой 70%. Определите процент содержания меди в первоначальном куске латуни.

Решение.Сплав

Масса цинка, кг

Масса меди, кг

% меди

Общая масса, кг

Первый

x

x + 60

x + 60 ∙ 100

2x + 60

2x + 60

Второй

100

Новый

x

100 + x + 60 = =160 + x

70

2x + 160

0,7(2x + 160) = 160 + x , или x + 160 = 0,7

1,4x + 112 = 160 + x, 2x + 160

0,4x = 48,

x = 120, значит, меди 180:300 ∙ 100 = 60%.

Ответ: 60% меди в первоначальном куске латуни.

Задача 7. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

Решение.Сплав

Масса взятого сплава

m1 металла

m2 металла

Первый

x

x ∙ 1 = x

3 3

x∙ 2 = 2x

3 3

Второй

y

y ∙ 2 = 2y

5 5

y∙ 3 = 3y

5 5

Новый

x + y

(x + y) ∙ 17

44

(x + y) ∙ 27

44

1 металл 1 + 2 = 3 части,

2 металл 2 + 3 = 5 частей,

новый 17 + 27 = 44 части.

1x + 2y = 17(x + y) ,

3 5 44

1x + 2y = 17Х + 17y , умножим обе части на 15 и на 44

3 5 44 44

5x ∙ 44 + 6y∙44 = 17x ∙ 15 + 17y ∙ 15,

x∙(220 - 255) = y∙(255 - 264),

x∙(-35) = y∙(-9), умножим обе части на (-1),

35x = 9y.

Ответ: 9 и 35 частей.

Задача 10. Имеется два сплава золота и серебра. В первом - количество этих металлов в отношении 2:3, во втором - в отношении 3:7. Сколько надо взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Решение.

2 + 3 = 5 частей,

3 + 7 = 10 частей,

5 + 11 = 16 частей.

Золото 2x + 3(8 - x)

5 10 = 5 ,

Серебро 3x + 7(8 - x) 11

5. 10

4x + 3(8 -x) = 5 ,

6x + 7(8 - x) 11

4x + 24 - 3x = 5 ,

6x + 56 - 7x 11

x + 24 = 5 ,

56 - x 11

11x + 264 = 280 - 5x,

16x = 16,

x = 1, значит, от первого сплава взяли 1 кг, от второго 8 - x = 8 - 1 = 7 (кг)

Ответ: 1кг и 7 кг

Задача 9. В колбе было 200 г 80%-ого спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60%-й спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?

Решение.

160 - 0,8x = 0,6 ,

200

160 - 0,8x = 120,

0,8x = 40,

x = 50, значит, добавили 50 г воды.

Ответ: 50 г.

Задача 10. В колбе 800 г 80%-го спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определите концентрацию (в процентах) полученного спирта.

Решение.

Масса раствора, г

% спирта

M спирта, г

Было

800

80

640

Взял

200

80

160

Осталось

800, т.к. добавили 200 г воды

?

640 - 160 = 480

(48:800)∙100 = 60%

Ответ: 60%

4. Задачи на сложные проценты

Задача 1. Зарплата повышалась дважды и возросла с 7000 руб. до 9240 руб. На сколько процентов она повышалась каждый раз, если второе повышение в процентах было вдвое больше первого? Найти общий процент прироста зарплаты.

Решение.

x % от 7000 - это 7000x:100 = 70x руб.- 1-е повышение,

(7000 + 70x) - новая сумма,

2x % от (7000+70x) - это (7000 + 70x)∙2x:100 = 1,4x(100+x) =(140x + 1,4x²) руб. - 2-е повышение,

7000 + 70x + 140x + 1,4x² = 9240,

1,4x² + 210x - 2240 = 0,

x² + 150x - 1600 = 0,

Д = 22500 + 4∙1600 = 28900,

x1 = 10, x2 <0

1-е повышение на 10%, 2-е повышение на 20%.

Общий процент прироста зарплаты:

7000 - 100%,

9240 - y %,

y = 9240∙100:7000 = 132%,

132 - 100 = 32 %.

Ответ: 10%, 20%, 32%.

Задача 2. В начале года в сберегательную кассу было положено 1500 руб. и в конце года снято 575 руб. Еще через год на книжке оказалось 1050 руб. Сколько процентов в год начисляется на вклад?

Решение.

Пусть x % годовых, тогда через год начислят 1500 ∙ x:100 = 15x руб. и сумма через год

(1500 + 15x) руб., так как было снято 575 рублей, осталось (925 + 15x) руб.

Через год на эту сумму начислили проценты (925 + 15x)∙ x ,

100

к концу второго года сумма 925 + 15x + (925 + 15x)∙ x = 1050,

100

925 + 15x + 9,25x + 0,15x² = 1050,

0,15x² + 24,25x - 125 = 0,

3x² + 485x - 2500 = 0,

Д = 235225 + 30000 = 265225,

x1 = (-485 + 515):6 = 5, x2 <0.

Ответ: 5% годовых.

Задача 3. Цену товара сначала снизили на 20%, а затем на 15% и еще раз на 10%. На сколько процентов снизилась первоначальная цена?

Решение.

Пусть x - первоначальная цена, 20% от x - это 0,2x,

значит, после первого снижения цена стала x - 0,2x = 0,8x,

15% от этой суммы 0,8x ∙ 0,15 = 0,12x,

значит, после второго снижения цена стала 0,8x - 0,12x = 0,68x,

10% от этой суммы 0,68x ∙ 0,1 = 0,068x,

значит, после третьего снижения цена стала 0,68x - 0,068x = 0,612x.

Если x - 100%,

0,612x - ? %,

?% = 0,612x∙100 = 61,2%,

x

100% - 61,2% = 38,8%.

Ответ: на 38,8% снизилась первоначальная цена.

Задача 4. На некоторую сумму был куплен товар и продан с прибылью в 200 тысяч рублей. На вырученные деньги был куплен новый товар, который был продан за 2420 тысяч рублей, причем процент прибыли остался тем же, что и первый раз. На какую сумму был куплен товар в первый раз?

Решение.

Пусть x тыс. рублей сумма купленного товара,

(x + 200) тыс.руб. после продажи,

Прибыль в % x - 100%,

200 - ?%,

? = 200∙100/x = 20000/x процент прибыли.

(x + 200) + (x +200) ∙20000 = 2420,

100x

x + 200 + 200x + 40000 = 2420,

x x

x² + 200x + 200x + 40000 - 2420x = 0.

x² - 2020x + 40000 = 0,

Д = 4.080.400 - 160.000 = 3.920.400.

x1 = (2020 - 1980)/2 = 40/2 = 20, x2 = (2020 + 1980 )/2 =2000.

Ответ: 20 тыс. или 2000 тыс. рублей

Задача 5. Три одинаковых суммы денег были помещены в банк на три года под 20% годовых начислений. Первый вклад не трогали, а со второго через год сняли 40%, а еще через год добавили 60% (каждый раз по отношению к текущей сумме). С третьим вкладом проделали те же операции, но проценты исчислялись от исходной суммы. На сколько процентов будут отличаться второй и третий вклады от первого через три года?

Решение.

Первый вклад: x,

через год: x + 0,2x = 1,2x,

через 2 года: 1,2x∙ 0,2 = 0,24x составляют проценты,

1,2x + 0,24x = 1,44x сумма,

через 3 года 1,44x ∙ 0,2 = 0,288x составляют проценты.

1,44х + 0,288x = 1,728x сумма

Второй вклад: x,

через год: x + 0,2x = 1,2x,

40% от 1,2x составляет 0,48x - эту сумму сняли,

1,2x - 0,48x = 0,72x осталось.

Через 2 года: 0,72x ∙ 0,2 = 0,144x составляют проценты,

стало: 0,72x + 0,144x = 0,864x,

добавили: 60% от 0,864x т.е. 0,5184x,

стало: 0,864x + 0,5184x = 1,3824x.

Через 3 года: 1,3824x ∙ 0,2 = 0,27648x составляют проценты,

стало: 1,3824x + 0,27648x = 1,65888x.

Третий вклад: x,

через год: x + 0,2x = 1,2x,

сняли 40% от x, осталось: 1,2x - 0,4x = 0,8x.

Через 2 года: 0,8x ∙ 0.2 = 0,16x составляют проценты,

стало: 0,8x + 0,16x = 0,96x,

добавили 60% от x, стало 0,96x + 0,6x = 1,56x.

Через 3 года: 1,56x ∙ 0,2 = 0,312x составляют проценты,

стало: 1,56x + 0,312x = 1,872x.

Первый вклад 1,728x - 100%,

второй вклад 1,65888x - y %,

третий вклад 1,872x - z %.

y = 1,65888 ∙ 100 :1,728 = 96% ,

100 - 96 = 4%, второй вклад будет на 4% меньше первого,

z = 1,872 ∙ 100 :1,728 = 325/3 = 108 1 ,

3

108 1 _ 100 = 8 1 , третий вклад увеличится на 25/3%.

3 3

Ответ: второй вклад будет меньше первого на 4%, а третий вклад будет больше первого на 25/3%.

Зачет по теме «В мире процентов»

1-й вариант

1. Первое число равно 0,4, второе 0,6. Сколько процентов составляет второе число от суммы этих чисел? На сколько процентов второе число больше первого и на сколько процентов первое меньше второго? Ответ: 60%, на 50%, на 33 1/3%.

2. Банк дает своим вкладчикам 25% годовых. Чему станет равен вклад 100 000 руб. через два года? Ответ: 156 250 руб.

3. При выполнении контрольной работы по математике 12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допустили ошибки, а остальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе? Ответ: 25 учеников

4.Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания соответственно на 120%, 200 % и 100 % его конечная стоимость составила 264 руб. Ответ: 20 руб.

5. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84% массы. Сколько килограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого растения? Ответ: 50 кг.

6. Сбербанк в конце года начисляет 20% к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 500 руб. через три года? Ответ: 864 руб.

7. а) Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй - 70%. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50%-го раствора соляной кислоты? Ответ: 40 л, 60 л.

2-й вариант

1. Первое число равно 0,5, второе 0,3. Сколько процентов составляет второе число от суммы этих чисел? На сколько процентов второе число меньше первого и на сколько процентов первое больше второго? Ответ:37,5%, на 40%, на 66 2/3%

2.Снижение себестоимости производства товара равно 5% в год. Первоначальная себестоимость товара равна 10 000 руб. Чему станет равной его себестоимость через два года?

Ответ: 9025 руб.

3. На заводе были изготовлены легковые и грузовые машины, причем 35 % всех изготовленных машин - легковые. Определите число изготовленных машин, если грузовых изготовлено на 240 больше, чем легковых. Ответ: 800 машин.

4.Предприниматель купил акции и через год продал их по номинальной стоимости, получив прибыль, причем полученная им сумма составила 11 500 руб. Сколько акций было куплено предпринимателем, если прибыль составляет 15% от стоимости акции и равна 150 руб.?

Ответ:10 акций.

5.При добавлении воды к раствору его объем увеличился на 42% и стал равным 71 л. Определите первоначальный объем раствора. Ответ: 50 л

6. Сбербанк в конце года начисляет 20% к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 1200 руб. через четыре года?

Ответ: 2488,32 руб.

7. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30 % меди?

Ответ: 5 кг.

Список литературы

1. Алгебра: учебники для 8, 9 классов общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г. и др.- М.: Мнемозина, 2008.

2. Алгебра 9 класс. Предпрофильная подготовка, итоговая аттестация-2006г. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко.- Ростов-на-Дону: Легион, 2006.

3. Бобровская А.В. Текстовые задачи/часть 1,2 Шадринск, 2005.

4. Кочагин В.В. Алгебра: 9 класс: Тестовые задания к основным учебникам: Рабочая тетрадь/ В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина.- Эскимо,2007.

5. Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. М.: Просвещение, 2008.

</ Приложение

Мини-лекция «Как готовиться к экзаменам»

Цель: сообщить в доступной форме об эффективных способах подготовки к экзаменам.

Время: 15 минут.

Как подготовиться психологически

- Начинай готовиться к экзаменам заранее, понемногу, по частям, сохраняя спокойствие.

- Если очень трудно собраться с силами и с мыслями, постарайся запомнить сначала самое легкое, а потом переходи к изучению трудного материала.

- Ежедневно выполняй упражнения, способствующие снятию внутреннего напряжения, усталости, достижению расслабления.

Что делать, если устали глаза?

В период подготовки к экзаменам увеличивается нагрузка на глаза. Если устали глаза, значит, устал и организм: ему может не хватить сил для выполнения экзаменационного задания. Нужно сделать так, чтобы глаза отдохнули.

Выполни два любых упражнения:

- посмотри попеременно вверх-вниз (25 секунд), влево - вправо (15 секунд);

- напиши глазами свое имя, отчество, фамилию;

- попеременно фиксируй взгляд на удаленном предмете (20 секунд), потом на листе бумаги перед собой (20 секунд);

- нарисуй квадрат, треугольник - сначала по часовой стрелке, потом в противоположную сторону.

Режим дня

Раздели день на три части:

- готовься к экзаменам 8 часов в день;

- занимайся спортом, гуляй на свежем воздухе, сходи на дискотеку потанцуй - 8 часов;

- спи не менее 8 часов; если есть желание и потребность, сделай себе тихий час после обеда.

Питание

Питание должно быть 3-4-разовым, калорийным и богатым витаминами. Употребляй в пищу грецкие орехи, молочные продукты, рыбу, мясо, овощи, фрукты, шоколад. Еще один совет: перед экзаменами не следует наедаться.

Место для занятий

Организуй правильно свое рабочее пространство. Поставь на стол предметы или картинку в желтой и фиолетовой тональности, поскольку эти цвета повышают интеллектуальную активность.

Как запомнить большое количество материала

Повторяй материал по вопросам. Вначале вспомни и обязательно кратко запиши все, что знаешь, и лишь затем проверь правильность дат, основных фактов. Читая учебник, выделяй главные мысли - это опорные пункты ответа. Научись составлять краткий план ответа отдельно на каждый вопрос на маленьких листочках. В последний день перед экзаменом просмотри листочки с кратким планом ответа.

Как развивать мышление

1. Хочешь быть умным - научись разумно спрашивать, внимательно слушать, спокойно отвечать и молчать, когда нечего больше сказать.

2. Знания невозможно приобрести без мыслительных усилий, но и само мышление невозможно без знаний.

3. Развивать мышление - это насыщать свой ум знаниями. Источники знаний могут быть самыми разнообразными: школа, книги, телевидение, люди. Они дают информацию о предметах и явлениях, о человеке.

4. Мышление начинается с вопросов. Все открытия сделаны благодаря вопросам «Почему?» и «Как?». Учись ставить вопросы и искать ответы на них.5. Мышление активизируется тогда, когда готовые стандартные решения не дают возможности достичь желаемого результата. Поэтому для развития мышления важно формировать умение видеть предмет или явление с разных сторон, замечать новое в привычном.

6. Способность замечать в предмете или явлении различные признаки, сравнивать между собой предметы или явления - необходимое свойство мышления.

7. Чем большее число признаков, сторон объекта видит человек, тем более гибко и совершенно его мышление. Это умение можно тренировать в играх на сообразительность, в решении логических задач и головоломок.

8. Мышление и речь неразрывны. Непременное условие развития мышления - свободное изложение прочитанного, участие в дискуссиях, активное использование письменной речи, пересказ другому того, что не до конца понимаешь сам.

Некоторые закономерности запоминания

1. Трудность запоминания растет непропорционально объему. Большой отрывок учить полезнее, чем короткое изречение.

2. При одинаковой работе количество запоминаемого тем больше, чем выше степень понимания.

3. Распределенное заучивание лучше концентрированного. Лучше учить с перерывами, чем подряд, лучше понемногу, чем сразу

4. Эффективнее больше времени тратить на повторение по памяти, чем на простое многократное чтение.

5. Если работаешь с двумя материалами - большим и поменьше, разумно начинать с большего.

6. Во сне человек не запоминает, но и не забывает.

Условия поддержки работоспособности

1. Чередовать умственный и физический труд.

2. В гимнастических упражнениях предпочтение следует отдавать кувырку, свече, стойке на голове, так как усиливается приток крови к клеткам мозга.

3. Беречь глаза, делать перерыв каждые 20-30 минут (оторвать глаза от книги, посмотреть вдаль).

4. Минимум телевизионных передач!

Мини-лекция «Как вести себя во время экзаменов»

Цель: познакомить выпускников с правилами поведения до и во время экзамена.

Время: 15 минут.

Одежда должна быть спокойных тонов. Постарайтесь избегать чересчур ярких, кричащих цветовых сочетаний в одежде, слишком вызывающих деталей костюма, чтобы не спровоцировать отрицательных эмоций у людей, с которыми предстоит вступить в контакт во время экзамена. Всегда помните о чувстве меры. Ничего лишнего! А вот после экзамена - все что хотите.

Рекомендации по поведению до и в момент экзамена

1. За день до начала экзамена постарайся ничего не делать. Если ты чего-то не доучил, лучше не пытайся. «Перед смертью не надышишься». Отдыхай, развлекайся и постарайся забыть о предстоящем экзамене.

2. Перед экзаменом обязательно хорошо выспись.

3. И вот ты перед дверью класса. Успокойся! Скажи несколько раз: «Я спокоен! Я совершенно спокоен». Иди отвечать в первых рядах. Чем дольше ты не будешь заходить и оставаться в окружении переживающих одноклассников, тем больше будет нагнетаться напряжение, чувство неуверенности, страха.

4. Приведи в порядок свои эмоции, соберись с мыслями.

5. Смело входи в класс с уверенностью, что все получится.

6. Сядь удобно, выпрями спину. Подумай о том, что ты выше всех, умнее, хитрее и у тебя все получится. Сосредоточься на словах «Я спокоен, я совершенно спокоен». Повтори их не спеша несколько раз. Мысли отгонять не стоит, так как это вызовет дополнительное напряжение. В завершение сожми кисти в кулаки.

7. Выполни дыхательные упражнения для снятия напряжения:

- сядь удобно,

- глубокий вдох через нос (4-6 секунд),

- задержка дыхания (2-3 секунды).

8. Слушай внимательно, чтобы не отвлекаться в дальнейшем и не задавать лишних вопросов об оформлении тестирования. Тебе все объяснят: как заполнить бланк, какими буквами писать, как кодировать номер школы и т.д.

9. Постарайся сосредоточиться и забыть об окружающих. Для тебя существуют только часы, регламентирующие время выполнения теста, и бланк с заданием. Торопись не спеша. Читай задания до конца. Спешка не должна приводить к тому, что ты поймешь задание по первым словам, а концовку придумаешь сам.

10. Просмотри все вопросы и начни с тех, в ответах на которые ты не сомневаешься. Тогда ты успокоишься и войдешь в рабочий ритм. В любом тесте есть вопросы, ответы на которые ты прекрасно знаешь, только соберись с мыслями.

11. Когда приступаешь к новому заданию, забудь все, что было в предыдущем, - как правило, задания в тестах не связаны друг с другом.

12. Действуй методом исключения! Последовательно исключай те ответы, которые явно не подходят.

13. Если ты сомневаешься в правильности ответа, тебе сложно сделать выбор. Доверься своей интуиции!

14. Оставь время для проверки своей работы хотя бы для того, чтобы успеть пробежать глазами и заметить явные ошибки.

15. Стремись выполнить все задания, но помни, что на практике это нереально. Ведь тестовые задания рассчитаны на максимальный уровень трудности, а для хорошей оценки достаточно одолеть 70% заданий.

61