Зачетные работы факультативного курса Решение нестандартных задач по математике (5-8 класс)

Зачет №1 (5 класс).

1. Кузнечик прыгает по прямой вперед и назад большими и малыми прыжками. Большой прыжок составляет 12 см, малый - 7 см. Покажите, как ему попасть из точки А в точку В, если расстояние между этими точками 3 см.

2. У мальчика было 370 рублей пятирублевыми и двадцатирублевыми монетами, всего 26 монет. Сколько пятирублевых и сколько двадцатирублевых монет у него было? (решить арифметически)

3. Решите ребус : коза + коза =стадо

4. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км, одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 30 мин после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

5. Составить всевозможные уравнения к задаче (12 уравнений): Вес отца в 5 раз больше веса сына. Найдите вес отца, если он больше веса сына на 64 кг.

6. Если учащихся посадить по одному на стул семерым места не хватит. Если на каждый стул посадить двоих свободными останутся 5 стульев. Сколько учащихся и сколько стульев?

7. Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел, так чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?

8. Из 22 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади.

9. Если двузначное число увеличить на 27, то получится двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, Какое это число?

10. Можно ли из 13 полосок 1х1, 1х2, …, 1х13 сложить прямоугольник со сторонами больше 1?

11. Разделите фигуру на 4 равные части:

12. Найдите правило нахождения неизвестного числа

    
    
    

    б)

    

    14. Две пачки печенья, пачка сахара и банка варенья имеют массу 1 кг 900 г. Масса одной пачки печенья, двух пачек сахара и банки варенья 2 кг 200 г, а одной пачки печенья, пачки сахара и двух банок варенья 2 кг 700 г. Определите общую массу трех банок варенья, четырех пачек печенья и трех пачек сахара.

    15. Миша заплатил в кассу столовой за 3 блюда, а Саша - за 2 (все блюда по одной цене). За столом к ним присоединился Гриша и они втроем съели 5 блюд. Во время расчета оказалось, что Гриша должен заплатить товарищам 50 рублей. Сколько из этой суммы, он должен дать Мише и сколько Саше, если каждый из них должен внести одинаковую плату?

    Зачёт №2 (5 класс)

    
    
    

    1. Девять чисел записаны в виде таблицы из трех строк и трех столбцов. Складывая числа первой строки, ученик получил сумму 818, числа второй строки дали в сумме, по его подсчетам 819, а третьей строки - 917. Проделав те же вычисления для столбцов, ученик получил суммы 185, 722 и 648. Правильны ли его вычисления?

    2. Деревянный куб, длина ребра которого 1 дм надо оклеить цветной бумагой. Хватит ли для этой цели квадратного листа бумаги со стороной 2,5 дм. Как надо разрезать для этой цели данный лист?

    3. В темном шкафу лежат салфетки: 10 красных, 8 синих и 4 желтых. Какое наименьшее число салфеток надо взять, чтобы среди них было не менее:

    А) 4 салфеток одного цвета, Б) 6 салфеток одного цвета,

    В) одной салфетки каждого цвета, Г) 6 синих салфеток?

    4) Имеется 6 ключей от 6 комнат с разными замками. Сколько потребуется проб в худшем случае, чтобы подобрать ключи к комнатам?

    5)Руководство некоторой страны решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном фоне в одном из углов помещается круг другого цвета. Цвета решено выбрать из трех возможных: красный, желтый, зеленый.

    А) Сколько вариантов такого флага существует?

    Б) Сколько из них флагов с кругом в верхнем правом углу?

    В) Сколько флагов не желтого прямоугольного фона?

    Г) Сколько красных флагов с кругами в нижних углах?

    6) Из 100 студентов английский изучают 28 человек, немецкий - 30 человек, французский - 42 , английский и немецкий - 8, английский и французский - 10, немецкий и французский - 5. Все три языка изучают три студента. Сколько студентов не изучают ни одного языка?

    7) Две булочки и три коржика вместе стоят 30 рублей. Может ли одна булочка и один коржик вместе стоить 9 рублей? (все булочки имеют одну цену и все коржики - также одну цену)

    8) Цистерна, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, обладает тем, свойством, что если поставить ее на любую боковую стенку, то площадь полученного дна не уменьшится по сравнению с данной. Каков наибольший возможный объем этой цистерны, если ее высота 1.5 м?

    9) Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В., П., С. и К. Известно, что:

    А) Ваня и С. - отличники; Б) Петя и В. - троечники; В) В. Ростом выше П.;

    Г) Коля ростом ниже П.; Д) Саша и Петя имеют одинаковый рост.

    На какую букву начинается фамилия каждого мальчика?

    10) Однажды черт предложил бездельнику заработать. « Как только ты перейдешь через этот мост, - сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдай мне за это 24 копейки». Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег у него было сначала?

    11)Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

    12) После того как туристы прошли 1 км и половину оставшегося пути, им еще осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен путь?

    13) В цехе не больше 100 рабочих, треть из них женщины, 8% рабочих имеют сокращенный рабочий день. Сколько в цехе рабочих? Сколько из них женщин и сколько человек имеют сокращенный рабочий день?

    14) Путешественник в первый день пошел пятую часть всего пути и 2 км. Во второй -прошел половину остатка и еще 1км. В третий день четверть оставшегося пути и еще 3 км. Остальные 18 км он прошел в четвертый день. Какова длина пути, пройденного путешественником?

    15) В ковре размером 3х3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок?

    ЗАЧЕТ №1 (6 класс)

    1) Найдите наибольший общий делитель всех пятизначных чисел записанных при помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений.

    2) На лесоскладе были брёвна длиной по 6м и по 8м одинаковой толщины. Какие брёвна выгоднее брать, чтобы получить больше кусков при меньшем числе распиловок для распиловки их на метровые куски?

    3) Сравните дроби

    и ;

    4)Вычислите наиболее рациональным способом.

    А) Б)

    5) Найдите наибольшее число, при делении на которое каждой из дробей и получаются натуральные числа.

    6) Какой цифрой оканчивается число 7⁴³ , 12¹⁰⁹.

    7) Докажите, что 7⁹⁹+33⁴⁴+4⁸⁸кратно 10.

    8) Мария, Нина, Ольга и Полина участвовали в лыжных соревнованиях и заняли первые четыре места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три ответа:

    А) Ольга заняла первое место, Нина - второе.

    Б) Ольга заняла второе место, Полина - третье.

    В) Мария заняла второе место, Полина - четвёртое.

    Девочки признались, что одно из высказываний каждого ответа верно, а другое неверно. Какое место заняла каждая девочка?

    9) Три товарища - Владимир, Игорь и Сергей преподают в школах Тулы, Рязани, и Ярославля Математику, физику и литературу. Владимир работает не в Рязани, Игорь - Не в Туле. Рязанец преподают не физику, Игорь - не математику, а Туляк преподаёт литературу. Какой предмет и в каком городе преподаёт каждый из них?

    10) На соревнования приехала группа спортсменов. Они рассказали, что каждый из них посещает две секции и что в каждой секции по 5 человек, причём каждые две секции имеют одного общего представителя. Сколько было спортсменов и какое количество секций они посещали?

    11) Чему равно 84, если 88=54? Чему равно100, если 56=33?

    12) Даны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Разрешено к любым двум из них прибавить по единице. Можно ли за несколько шагов уравнять эти числа?

    13. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по одному веселому чижу. Время от времени какие - то два чижа перелетают один по часовой стрелке, а другой - против, каждый - на соседнее дерево. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

    14. Барон Мюнхаузен утверждал, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552. Покажите, что он сказал неправду.

    15. На рисунке изображена схема зоопарка в виде графа. Вершинами графа являются вход в зоопарк, выход из зоопарка, клетки и вольеры для зверей. А рёбрами - дорожки зоопарка. а) найдите маршрут, если вы как экскурсовод хотите провести посетителей так, чтобы побывать у каждой клетки один раз. б) Подберите маршрут для случая, когда вы хотите показать посетителям зоопарка всех зверей и пройти по каждой дорожке зоопарка

    только один раз.

    

    ЗАЧЕТ №2 (6 КЛАСС)

    
    
    

    
    
    

    1. Почтовый индекс каждого из районов Страны Зазеркалья выражается четырехзначным числом, в записи которого цифры не повторяются. Кроме того, сумма однозначных чисел, обозначенных двумя средними цифрами равна 15, а число, записанное крайней левой цифрой, в 3 раза меньше числа, записанного крайней правой. Определите все возможные разные индексы. Каково наибольшее возможное число районов?

    2. Царь Дадон заключил военный союз с тремя княжествами: Правдинским, Кривдинским и Правдо - Кривдинским. За большую дань он со своим войском обязался защищать каждое из княжеств от врагов. Царь Дадон знал, что любой житель княжества Правдинского всегда говорит прпавду, любой житель княжества Кривдинского - всегда лжет. Что касается Правдо - Кривденского княжества, то каждый его житель попеременно говорит то правду, то неправду. Однажды к царю Дадону примчался гонец: - На наше княжество напал враг! -А ты гонец какого княжества будешь? - Правддо - Кривдинского. И царь Дадон глубоко задумался, идти в поход или нет. А что ты посоветуешь царю Дадону?

    3. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

    
    
    

    4. Вычислить 200920082008 - 200820092009

    5. Сравнить

    
    
    

    6. Решите ребусы а) ЧАЙ : АЙ = 5 б) СУКСУК = БАРСУК

    
    
    

    7. Вычислить 1 + 2 + 3 + … + 181 - 96 - 95 - … - 1

    
    
    

    8. (Старинная задача) Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 метров ширины и 12 дм глубины в течении 4о дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

    9. У берега реки надо поставить водонапорную башню, из которой вода доставлялась бы по трубам в селения А и В. В какой точке ее нужно соорудить, чтобы общая длина труб до обоих селений была наименьшей?( Берег считать прямолинейным, А и В - по одну и ту же сторону реки.)

    10. Собрание из 80 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

    11. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

    12. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получиться сухих грибов из 11 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 5 кг сухих?

    13. Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде?

    14. Купили конфеты и печение. За 1кг конфет заплатили на 50% больше, чем за 1кг печенья, но их купили на 50% меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

    15. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить ее знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

    
    
    

    
    
    

    
    
    

    
    
    

    ЗАЧЕТ №1 (7 КЛАСС)

    
    
    

    1) Из чисел от 1 до 252 выбросили все числа, делящиеся на 2, но не делящиеся на 5, и все числа, делящиеся на 5, но не делящиеся на 2. Сколько осталось чисел?

    2) Имеется прямоугольная пластинка весом в 10 г. Какими способами можно разрезать ее на 3 части с целым числом граммов каждая, чтобы с их помощью можно было взвесить любой предмет от 1 до 10 г?

    3) Алеша Попович и Добрыня Никитич по очереди воюют с девятиглавым змеем. Они по очереди ходят к его пещере и отрубают 1, 2,или 3 головы. Как начинающему бой Алеше обрести славу победителя змея ( т. е. отрубить последнюю голову)?

    4) В подвале замка Баскервиль - Холл лежат две кучи камней, по 100 штук в каждой. Шерлок Холмс и доктор Ватсон по очереди берут из них камни, за один раз можно взять любое ненулевое число камней из одной из куч. Пропускать ход нельзя, проигрывает тот, после хода которого камней не останется. Первым ходит Холмс. Кто из игроков выиграет при правильной игре?

    5) Найдите остаток от деления 2²⁰⁰⁹ на 3; 9²⁰⁰⁰ на 8.

    6) Сумма квадратов двух целых чисел равна квадрату третьего числа. Докажите, что хотя бы одно из них делится на 3.

    7) Иван Петрович приобрел в начале года ĸ акций банка «Надежда», часть которых простые, а другая часть - привилегированные. За год доход по одной простой акции составил 16 условных денежных единиц, а доход по одной привилегированной акции - 21 условную единицу. Сколько привилегированных акций приобрел Иван Петрович, если доход за год по купленным акциям составил 269 условных денежных единиц?

    8) (Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) ) 30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби - по 2 и пара воробьев - по монете. Спрашивается, сколько куплено птиц каждого вида?

    9) Двадцать пять жуков сидели по - одному на клеточках доски 5х5. Каждый перелетел на соседнюю клетку (соседними называем клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что хотя бы одна клетка осталась свободной (т. е. хотя бы на одну клетку прилетели 2 жука или более).

    10) Директор дома отдыха решил закупить яблоки. Одна оптовая база продает яблоки по цене 30 рублей за килограмм, вторая - по 20 рублей за килограмм, но первая оптовая база втрое ближе к дому отдыха, чем вторая. Стоимость одного рейса до первой оптовой базы и обратно для трехтонной машины равна 10 тыс. рублей, для восьмитонной - 20 тыс. рублей. Привести все яблоки необходимо за один рейс и на одной машине. Где выгоднее купить яблоки и на какой машине их вести?

    
    
    

    11) В четырехугольнике АВСД АВ= ВС, СД=ДА. Точки Ки Р расположены на отрезках АВ и ВС таким образом, что ВК=2АК, ВР=2СР. Точки М и Н - середины отрезков СД и ДА соответственно. Докажите, что отрезки КМ и РН равны.

    12) Постройте угол, равный 135⁰ . От его вершины А на сторонах отложите два равных отрезка АВ и АС и постройте окружность, проходящую через точки А, В, и С.

    13) В равнобедренном т. Д - середина основания АС. На лучах АВ и СД вне отмечены точки М и к соответственно, так, что Докажите, что

    14) Три черепахи находятся в точках А. В и С, являющихся вершинами равностороннего треугольника. Они одновременно с одинаковой скоростью начинают ползти. Черепаха, находившаяся в А, ползет по прямой АВ в направлении к В. Черепаха из В ползет в С, черепаха из С ползет в А. Докажите, что во все моменты времени черепахи располагаются в вершинах равностороннего треугольника.

    15) Дан угол в 34⁰. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить угол в 12^о?

    
    
    

    ЗАЧЕТ №2 (7 КЛАСС)

    
    
    

    1. Есть две десятилитровые бочки с соляным раствором 10% и 15%. Даны также три емкости по 3, 4 и 5 литров. Как с помощью переливаний получить литр 12% раствора соли?

    2) Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить два слитка вместе, то получится слиток в котором будет 40% золота. Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу частей первого и второго слитков, получается сплав в котором 35% золота.

    3) Доказать неравенство

    4. Сравнить а) 63⁵ и 8¹⁰; б) 15⁶ и 7¹²

    5. Докажите, что при любом натуральном а значение выражения а³ - 7а + 6 делится без остатка на 6.

    6. Найдите все значения к, при которых число 4^2к - 1 делится на 15.

    3²⁰⁰⁹

    7. Является ли простым числом 1+2 ?

    8. Разложить на множители:

    а) (x²-1+x)(x²-1+3x)+x²

    б) х³ +11х-12

    в) 6х²+5х+1

    9) Найдите значения х и у при которых выражение х² - 2ху +6у² -14х - 6у +72 принимает наименьшее значение.

    10) Вычислить

    11) В четырехугольнике АВСД , ВС=СД, ^о. На стороне АД взята точка к так, что АК=ВК, ⁰. Найдите величину

    12) Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника отсекает от него равнобедренный треугольник. Какими могут быть углы искомого треугольника (найти все возможные решения)?

    13) Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой и точка Д, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мерее два из трех отрезков АД, ВД И СД не равны друг другу.

    14) Внутри выбрана точка М. Через нее проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС соответственно в точках Д и Е, причем МД=АД и МЕ=ЕС. Докажите, что М- точка пересечения биссектрис треугольника.

    15) Постройте биссектрису острого угла треугольника, вершина которого недоступна.

    ЗАЧЕТ № 1 (8 КЛАСС)

    
    
    

    1. В квадрате АВСД проведены отрезки СЕ И СК, где е - середина АВ, к - середина АД. Докажите, что СЕ и СК делят отрезок ВД на три равные части.

    2. Докажите, что если медиана и высота, проведенные из одной вершины делят его угол на три равные части, то этот треугольник прямоугольный ( 2 способа).

    3. Жестянику заказали изготовить из квадратного куска жести в 60 см ширины коробку без крышки с квадратным дном и поставили условие, чтобы коробка имела наибольшую вместимость. Жестяник долго примерял, какой ширины нужно для этого отогнуть края, но не мог прийти к определенному решению. Не удастся ли вам выручить его из затруднения?

    4. В прямоугольнике АВСД ВЕАС, АЕ: СЕ= 1:3. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

    5. На биссектрисе СД выбрана точка К. Оказалось, что АС+АК=СВ. Докажите, что .

    6. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35% больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20%, а ботинки на 70%. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

    7. Решите уравнение

    
    
    

    8. Если сложить сумму, разность, произведение и частное двух натуральных чисел, то получится 450. Найдите эти числа.

    9. При каких значениях параметра уравнение (х-3)(х+2а - 1)(х - а) =0 имеет ровно два различных корня? Для каждого а найдите эти корни.

    10. При каких значениях а корень уравнения (2 - а)(а+х)=15-7а больше или равен 3? В ответе указать наибольшее из этих значений.

    
    
    

    11. Решите уравнения а)

    б)

    
    
    

    12. Упростить

    
    
    

    13. Если к раствору соли добавить 100г воды, то его концентрация уменьшится на 40%, если же к первоначальному раствору добавить 100г соли, то его концентрация увеличится на 10%. Наитии первоначальную концентрацию раствора.

    
    
    

    14) Вычислить

    
    
    

    15) Порция сливочного мороженого стоит 5 руб., а порция шоколадного 9 рублей. Все имевшееся мороженое раскупили 60 человек, каждый из которых купил либо одно сливочное, либо одно шоколадное, либо одно шоколадное и одно сливочное. Выручка составила 764 рубля. Сколько порций сливочного мороженого было продано?

    
    
    

    
    
    

    
    
    

    
    
    

    
    
    

    ЗАЧЕТ № 2 (8 КЛАСС)

    
    
    

    
    
    

    1. Построить параллелограмм, стороны которого относятся как 1: 2, по острому углу и диагонали, проведенной из вершины этого угла.

    
    
    

    2. Между точками А и В течет река с приблизительно параллельными берегами. Нужно построить через реку мост под прямым углом к его берегам. Где следует выбрать место для моста, чтобы путь от А до В был кратчайшим?

    
    
    

    3. Окружность касается сторон угла с вершиной О в точках А и В. На этой окружности внутри взята точка С. Расстояния от т. С до прямых ОА и ОВ равны соответственно а и . Найдите расстояние от т С до хорды АВ.

    
    
    

    4. С помощью циркуля и линейки постройте звездчатый пятиугольник.

    
    
    

    5. Точки М и Н лежат соответственно, на сторонах ВС и СД параллелограмма АВСД, причем ВМ: МС=1:3 и СН: НД=2:5. Отрезки АН и ДМ пересекаются в точке К. Найдите отношение АК: КН.

    
    
    

    6. В сторона АС наименьшая. На сторонах АВ и СВ взяты точки К и Т , соответственно, такие, что КА=АС=СТ. Пусть М - точка пересечения АТ и КС, а Р- центр вписанной в окружности. Докажите, что прямая МР перпендикулярна прямой АС.

    7. При каких значениях х функция у= имеет наименьшее значение. Найдите это значение.

    
    
    

    8. Решите уравнение (4 способа)

    9. При каких значениях параметра а число корней уравнения в четыре раза больше а ?

    
    
    

    10. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х²+ах +1 различны и лежат на отрезке .

    
    
    

    11. Доказать, что при любых значениях х справедливо неравенство х¹² - х⁹+х⁴-х+10.

    
    
    

    12. Докажите, что для любых неотрицательных чисел а и в справедливо неравенство

    

    13) Построить график функции

    
    
    

    14) Решите уравнение

    
    
    

    15) Решить систему уравнений