Рабочая программа пр учебнику Алгебра и начала анализа, автор С. М. Никольский и др.

.

Башкирская республиканская гимназия - интернат №1 имени Рами Гарипова

ПРОГРАММА

по алгебре и началам анализа

для учащихся 10-11 классов

(физико-математический профиль)

Составила: учитель математики

БРГИ №1 имени Р. Гарипова

Тутманова С. Х.

Пояснительная записка.

Современные тенденции по модернизации среднего образования направлены на создание в старшем звене школы классов различных профилей. Такие преобразования диктуются специальным заказом общества, который ставит перед школой задачу: дать учащимся полное среднее образование и помочь ему в профессиональном выборе.

Такой подход к обучению требует пересмотреть структуру построения учебного материала и его изложения, прежде всего, в старшей школе.

Разработанная программа представляет собой программу расширенного курса алгебры и начал анализа в 10-11-х классах.

Содержание программы определено с учетом приоритета перехода на профильное обучение, подготовки к ЕГЭ. Для классов естественно-математического профиля, данный расширенный курс отвечает как требованиям стандарта математического образования, так и требованиям КИМов ЕГЭ.

Основная задача - обеспечение высокой математической подготовки учащихся, которые в дальнейшей своей профессиональной деятельности будут использовать знания по математике.

Программа составлена на принципе системного подхода к изучению математики. Она включает полностью содержание курса математики, соответствующих классов общеобразовательной школы за основу взят учебник Никольского С. М. «Алгебра и начала анализа» для 10 и 11 класса, а также ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу, расширяющих и углубляющих его по основным идейным линиям, а также включены самостоятельные разделы.

Такой подход определяет следующие тенденции:

• создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике и ориентированных на профили, где математика заявлена как профильный общеобразовательный предмет.

• выполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию расширенного изучения необходимую целостность.

• программа предусматривает возможность изучения содержания курса с различной степенью полноты.

Цель курса - способствовать формированию математической культуры, формированию интеллектуально-грамотной личности, способной самостоятельно получать знания, осмысленно выбирать профессию и специальность в соответствии с заявленным профилем образования в условиях модернизации системы образования РФ.

Требования к математической подготовке учащихся

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

• вычислять значения корня, степени, логарифма, находить значения тригонометрических выражений, выполнять тождественные преобразования иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений;

• решать иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, неравенства, системы, включая с параметрами и модулем, а также комбинированных типов аналитическими и функционально-графическими методами; доказывать неравенства;

• строить графики элементарных функций, проводить преобразования графиков, используя изученные методы, описывать свойства функций и уметь применять их при решении задач;

• применять аппарат математического анализа к решению задач.

Особенности программы

Структурным стержнем предполагаемой программы является систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта.

Ведущая содержательно-методическая линия - решение уравнений, неравенств, систем.

Расширение реализуется за счет включения в программу новых разделов: «Обратные тригонометрические функции», умения решать задания, по которым проверяют части 2 и 3 КИМов ЕГЭ.

Курс тригонометрии проходят в 10-м классе (конец 2-го полугодия), причем начинают с числовой окружности, как основной из моделей множеств R чисел, и по ходу изучения осуществляется глубокая пропедевтика темы «Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем», которая начинается после того, как полностью изучены формулы преобразований тригонометрических выражений.

Курс математического анализа изучается за 1 год обучения, в 11 классе. В 10 и 11 классах изучается понятие предела. Такой подход позволяет показать учащимся идеи и методы одномерного анализа сразу же на большом числе примеров. Кроме того, стиль изложения, как математического анализа, так и вообще всего расширенного курса «Алгебры и начал анализа» в 10-11-х классах предполагает активное использование лекционно-зачетной формы обучения, что, несомненно, является важным этапом для успешной адаптации к обучению в вузах.

Иррациональные, показательные, логарифмические уравнения, неравенства, системы изучаются в 10 классе и 2-м полугодии 11-го класса, при этом, требуется проиллюстрировать понятие «равносильность» на достаточно большом количестве примеров.

Программа нацелена на формирование и отработку навыков нестандартных методов решения уравнений, неравенств, систем, а также конкурсных задач.

На повторение курса, включая и раздел «Уравнения, неравенства, системы», которое носит углубляющий и систематизирующий характер, отведено 2-е полугодие 11-го класса, что позволяет учащимся получить более прочные навыки в решении математических задач. Углубление и расширение реализуются не только за счет включения аналитических и функционально-графических методов решения задач с параметрами, модулем, но и за счет новых приемов решения уравнений, неравенств, систем смешанных типов.

II. Содержание образования

10 класс ( 7 часов в неделю, всего 238 часов)

Тема 1. Действительные числа. (18 часов).

Базовые знания.

Понятие поля действительных чисел. Множества чисел.

Расширение и углубление знаний.

Доказательство числовых неравенств. Метод математической индукции. Перестановки. Размещения. Сочетания.

В результате изучения темы 1 учащиеся должны знать:

• определение множества действительных чисел;

• множества чисел;

• методы доказательства числовых неравенств;

• формулы перестановок, сочетаний, размещений;

• метод математической индукции.

Учащиеся должны уметь:

• представлять периодические дроби в виде обыкновенных дробей;

• находить объединение и пересечение множеств;

• доказывать числовые неравенства;

• применять метод математической индукции к доказательству неравенств, тождеств, задач на делимость;

• решать задачи с применением формул комбинаторики.

Тема 2. Рациональные уравнения и неравенства. (24 часа)

Базовые знания.

Рациональные выражения. Рациональные уравнения. Метод интервалов решения неравенств. Рациональные неравенства. Нестрогие неравенства.

Расширение и углубление знаний.

Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Теорема Безу. Корень многочлена. Системы рациональных неравенств.

В результате изучения темы 2 учащиеся должны знать:

• правила сложения, вычитания, умножения, деления алгебраических дробей;

• формулу бинома Ньютона, суммы и разности степеней;

• что такое корень уравнения, что значит решить уравнение;

• что такое рациональное и распадающееся уравнение

• деление многочлена уголком;

• теорему Безу;

• как найти корень многочлена;

• метод интервалов;

Учащиеся должны уметь:

• преобразовывать алгебраические дроби;

• решать распадающиеся и рациональные уравнения;

• раскладывать многочлены на множители при помощи теоремы Безу и методом деления уголком;

• решать неравенства методом интервалов, рациональные неравенства, нестрогие неравенства, системы неравенств.

Тема 3. Корень степени n. (20 часов).

Базовые знания.

Понятие функции и ее графика. Функция y= . Понятие корня степени n.корни четной и нечетной степеней. Арифметический корень. Свойства корней степени n.

Расширение и углубление знаний.

Функция y=. Корень степени n из натурального числа.

В результате изучения темы 3 учащиеся должны знать:

• понятие функции и ее графика;

• свойства корней степени n.

Учащиеся должны уметь:

• строить графики функций y = и у = ;

• выполнять преобразования с корнями, пользуясь свойствами корней;

Тема 4. Степень положительного числа. (14 часов).

Базовые знания.

Степень с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Понятие предела последовательности. Число e. Понятие степени с иррациональным показателем. Показательная функция.

Расширение и углубление знаний.

Свойства пределов. Понятие ряда.

В результате изучения темы 4 учащиеся должны знать:

• свойства степени с рациональным показателем;

• понятие и свойства пределов;

• определение и свойства показательной функции;

• что такое ряд.

Учащиеся должны уметь:

• преобразовывать выражения, содержащие степени с рациональным показателем;

• находить пределы;

• вычислять сумму ряда;

• находить пределы;

• строить график показательной функции.

Тема 5. Логарифмы. (15 часов)

Базовые знания.

Понятие логарифма. Свойства логарифмов. Логарифмическая функция.

Расширение и углубление знаний.

Десятичные логарифмы. Степенные функции.

В результате изучения темы 5 учащиеся должны знать:

• определение и свойства логарифмов;

• определение, свойства и график логарифмической и степенной функций.

Учащиеся должны уметь:

• выполнять преобразования логарифмических выражений;

• строить графики логарифмической и степенной функций.

Тема 6. Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства.(14 часов).

Базовые знания.

Показательные уравнения. Логарифмические уравнения. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства.

Расширение и углубление знаний.

Показательные и логарифмические уравнения с параметром.

В результате изучения темы 6 учащиеся должны знать:

• методы решения логарифмических уравнений;

• методы решения показательных уравнений;

• методы решения логарифмических неравенств;

• методы решения показательных неравенств.

В результате изучения темы 6 учащиеся должны уметь:

• решать логарифмические уравнения и неравенства;

• решать показательные уравнения и неравенства;

• решать логарифмические и показательные уравнения и неравенства с параметром.

Тема 7. Синус и косинус угла. (16 часов).

Базовые знания.

Понятие угла. Радианная мера угла. Определение синуса и косинуса угла. Основные формулы для синуса и косинуса. Арксинус. Арккосинус.

Расширение и углубление знаний.

Примеры использования арксинуса и арккосинуса. Формулы для арксинуса и арккосинуса.

В результате изучения темы 7 учащиеся должны знать:

• понятие угла;

• радианную и градусную меру угла;

• определение синуса и косинуса;

• формулы для синуса и косинуса;

• определение арксинуса и арккосинуса;

• формулы для арксинуса и арккосинуса.

В результате изучения темы 7 учащиеся должны уметь:

• строить углы различной градусной мерой;

• выражать в градусах и радианах величину угла;

• вычислять значения числовых выражений, содержащие тригонометрические функции;

• применять формулы приведения;

• вычислять значения, содержащие обратные тригонометрические функции;

• использовать формулы для арксинуса и арккосинуса.

Тема 8. Тангенс и котангенс угла. (14 часов).

Базовые знания.

Определение тангенса и котангенса угла. Основные формулы для тангенса и котангенса. Арктангенс. Арккотангенс.

Расширение и углубление знаний.

Примеры использования арктангенса и арккотангенса. Формулы для арктангенса и арккотангенса.

В результате изучения темы 8 учащиеся должны знать:

• определение тангенса и котангенса угла;

• формулы для тангенса и котангенса;

• определение арксинуса и арккосинуса;

• формулы для арктангенса и арккотангенса;

В результате изучения темы 8 учащиеся должны уметь:

• вычислять значения числовых выражений, содержащие тригонометрические функции;

• применять формулы приведения;

• вычислять значения, содержащие обратные тригонометрические функции;

Тема 9.Формулы сложения. (15 часов).

Базовые знания.

Косинус разности и косинус суммы двух углов. Формулы для дополнительных углов. Синус суммы и синус разности двух углов. Сумма и разность синусов и косинусов. Формулы для двойных и половинных углов.

Расширение и углубление знаний.

Произведение синусов и косинусов. Формулы для тангенсов.

В результате изучения темы 9 учащиеся должны знать:

• формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента;

• формулы приведения, правило для запоминания формул приведения;

В результате изучения темы 9 учащиеся должны уметь:

• вычислять значения тригонометрических функций, по известному значению одной из них;

• применять формулы приведения;

• вычислять значения тригонометрических функций некоторых не табличных углов не пользуясь калькулятором;

• выполнять преобразования выражений применяя различные формулы.

Тема 10. Тригонометрические функции числового аргумента. (10 часов).

Базовые знания.

Функция y = sin x. Функция y = cos x. Функция y = tg x. Функция y = ctg x.

Расширение и углубление знаний.

Нахождение основного периода сложных функций, суммы произведения и частного двух функций. Преобразование графиков функций, выражение которых содержит знак модуля.

В результате изучения темы 10 учащиеся должны знать:

• свойства и графики тригонометрических функций;

• уравнения и графики гармонических колебаний;

• графический метод решения уравнений.

• формулы для нахождения периода сложных функций.

В результате изучения темы 10 учащиеся должны уметь:

• строить графики тригонометрических функций;

• выполнять преобразования графиков;

• строить графики гармонических колебаний;

• определить значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• описывать по графику и по формуле свойства тригонометрических функций;

• отыскать наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций на заданном промежутке;

• находить основной период сложных функций, суммы, произведения и частного двух функций;

• применять графический метод решения уравнения;

• строить графики функций, содержащие знак модуля и выполнять их преобразования.

Тема 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. (15 часов).

Базовые знания.

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Однородные уравнения.

Расширение и углубление знаний.

Введение вспомогательного угла. Замена неизвестного t = sin x + cos x. простейшие неравенства для синуса и косинуса. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Решение уравнений и неравенств содержащих модуль. Уравнения и неравенства с параметром.

В результате изучения темы 11 учащиеся должны знать:

• формулы для решения простейших тригонометрических уравнений;

• основные методы решения тригонометрических уравнений - методы введения новой переменной и разложение на множители;

• алгоритмы решения однородных уравнений первой и второй степени.

В результате изучения темы 11 учащиеся должны уметь:

• решать простейшие тригонометрические уравнения;

• решать простейшие тригонометрические неравенства;

• решать тригонометрические уравнения методом новой переменной и разложения на множители;

• решать однородные тригонометрические уравнения первой и второй степеней;

• решать тригонометрические уравнения, содержащие знак модуля;

• решать уравнения с помощью формул понижения степени;

• решать уравнения с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и наоборот;

• решать уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка;

• решать уравнения методом введения вспомогательного аргумента;

• решать уравнения, используя ограниченность тригонометрических функций;

• решать тригонометрические уравнения с ограничениями, выполнить отбор корней;

• решать системы тригонометрических уравнений.

• решать уравнения и неравенства с параметром.

Повторение (12 часов).

11 класс (7 часов в неделю, всего 238 часов)

Тема 1. Функции и их графики. (24 часа).

Базовые знания.

Элементарные функции. Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции. Четность, нечетность, периодичность функций. Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функций. Исследование функций и построение их графиков элементарными методами. Основные способы преобразования графиков.

Расширение и углубление знаний.

Графики функций, связанных с модулем. Графики сложных функций.

В результате изучения темы 1 учащиеся должны знать:

• формулы элементарных функций;

• свойства функций;

• схему исследования функций элементарными методами;

• способы преобразования графиков;

• способ задания сложных функций.

Учащиеся должны уметь:

• находить область определения и область изменения функций;

• исследовать функции элементарными методами и строить их графики;

• строить графики сложных функций;

• строить графики функций с модулем.

Тема 2. Предел функции и непрерывность. (7 часов).

Базовые знания.

Понятие предела функции. Односторонние пределы. Свойства пределов функций. Понятие непрерывности функции. Непрерывность элементарных функций.

Расширение и углубление знаний.

Разрывные функции. Кусочно-заданные функции.

В результате изучения темы 2 учащиеся должны знать:

• определение предела функции;

• свойства пределов;

Учащиеся должны уметь:

• находить пределы функций;

• строить кусочно-заданные функции.

Тема 3. Обратные функции.(7 часов).

Базовые знания.

Понятие обратной функции.

Расширение знаний.

Взаимно обратные функции. Обратные тригонометрические функции. Примеры использования обратных тригонометрических функций. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

В результате изучения темы 3 учащиеся должны знать:

• определение обратимой функции, определение обратной функции, условие существования обратной функции;

• определение, свойства и графики обратных тригонометрических функций.

Учащиеся должны уметь:

• установить обратимость функции на заданном промежутке, найти функции, обратные данным;

• построить графики обратных функций;

• преобразовать выражения, содержащие обратные тригонометрические функции;

• решать уравнения с обратными тригонометрическими функциями.

Тема 4. Производная. (14 часов).

Базовые знания.

Понятие производной. Производная суммы и разности. Производная произведения и частного. Производные элементарных функций. Производная сложной функции.

Расширение знаний.

Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал. Производная обратной функции.

В результате изучения темы 4 учащиеся должны знать:

• определение производной, ее геометрический и механический смыслы, алгоритм отыскания производной, формулы дифференцирования, правила дифференцирования, правила дифференцирования сложной и обратной функции.

Учащиеся должны уметь:

• вычислять производные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и используя справочные материалы.

Тема 5. Применение производной. (27 часов).

Базовые знания.

Максимум и минимум функции. Уравнение касательной. Приближенные вычисления. Возрастание и убывание функции. Производные высших порядков. Экстремум функции с единственной критической точкой. Задачи на максимум и минимум. Построение графиков функций с применением производной.

Расширение знаний.

Теоремы о среднем. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптоты. Дробно-линейная функция. Формула и ряд Тейлора.

В результате изучения темы 5 учащиеся должны знать:

• уравнение касательной к графику функции, алгоритм его составления;

• теорема Лагранжа, алгоритмы исследования функций на монотонность и экстремумы, на выпуклость, отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

Учащиеся должны уметь:

• исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

• решать задачи с применением уравнений касательной к графику функции;

• решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций на отрезке;

• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Тема6. Первообразная и интеграл. (17 часов).

Базовые знания.

Понятие первообразной. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница. Свойства определенных интегралов.

Расширение знаний.

Замена переменной. Интегрирование по частям. Приближенное вычисление определенного интеграла. Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах. Понятие дифференциального уравнения. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

В результате изучения темы 6 учащиеся должны знать:

• определение первообразной;

• основное свойство первообразной;

• простейшие правила нахождения первообразных;

• понятия определенного и неопределенного интегралов;

• понятия криволинейной трапеции.

Учащиеся должны уметь:

• вычислять первообразные, применяя таблицу первообразных;

• с помощью интеграла вычислять площади криволинейных трапеций;

• применять интеграл для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел.

• решать простейшие дифференциальные уравнения.

Тема 7. Уравнения. Неравенства. Системы. (58 часов).

Базовые знания.

Равносильность уравнений. Общие методы решения уравнений. Решение неравенств с одной переменной. Системы уравнений. Уравнений и неравенства с параметрами.

Расширение и углубление знаний.

Функционально-графический метод решения уравнений. Уравнения и неравенства с модулями. Уравнения и неравенства с параметрами. Системы уравнений с параметрами. Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и систем. Задачи с условиями. Метод интервалов для непрерывных функций. Уравнения с дополнительными условиями. Неравенства с дополнительными условиями.

В результате изучения темы 7 учащиеся должны знать:

• определение равносильных уравнений;

• теорему о равносильности уравнений;

• методы решения уравнений;

• определение равносильных неравенств;

• понятие равносильных систем уравнений.

Учащиеся должны уметь решать уравнения:

• методом разложения на множители;

• методом введения новой переменной;

• используя функционально-графический метод;

• потенцированием и логарифмированием;

• используя области существования функций;

• используя неотрицательность функций;

• используя ограниченность функции;

• используя свойства синуса и косинуса;

• используя числовые неравенства;

• используя производную;

• с параметрами.

Учащиеся должны уметь решать неравенства:

• применяя теорему о равносильности неравенств;

• методом введения новой переменной;

• потенцированием и логарифмированием;

• используя области существования функций;

• используя неотрицательность функций;

• используя ограниченность функции;

• используя производную;

• применяя функционально-графический метод;

• с параметрами.

Учащиеся должны уметь решать систему уравнений:

• методом подстановки;

• методом алгебраического сложения;

• введением новых переменных;

• с параметрами.

Тема 8. Комплексные числа. (12 часов).

Расширение знаний.

Алгебраическая форма комплексного числа. Сопряженные комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Корни из комплексных чисел и их свойства. Корни многочленов. Показательная форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

В результате изучения темы 8 учащиеся должны знать:

• общий вид комплексных чисел;

• понятие мнимой единицы;

• тригонометрическую форму комплексного числа.

Учащиеся должны уметь:

• выполнять действия сложения, вычитания, умножения и деления с комплексными числами;

• выполнять действия умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Итоговое повторение. (32 часа).

III. Перечень учебно-методической литературы

Программа ориентирована на учебник: С. М. Никольского «Алгебра и начала анализа, 10-11 классы».

При составлении программы использованы учебно-методическая литература, а также теоретический и практический материал из учебников и учебных пособий для классов с углубленным изучением математики:

1. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцурд С. И., «Алгебра и математический анализ, 10-11 классы», М.: «Просвещение», 1999г.

2. Галицкий М, Л., Мошкович М. М., Шварцурд С, И. «Углубленное изучение алгебры и математического анализа», М.: «Просвещение», 1997г.

3. Кузнецова Г. М., Миндюк Н. Г. «Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев по математике, 5-11 классы», М.: «Дрофа», 2001г.

4. Крамор В. С., Лунгу К. Н. «Повторяем и систематизируем школьный курс тригонометрии», М: АРКТИ, 2001г.