- Учителю
- Научно-практическая работа по математике: Способы решения квадратных уравнений
Научно-практическая работа по математике: Способы решения квадратных уравнений
МБОУ Берёзовская СОШ №10
Способы решения квадратных уравнений
Абдрахимов Руслан
МБОУ Берёзовская СОШ №10
9 класс
Мурзаева Екатерина Игоревна
МБОУ Берёзовская СОШ №10
учитель математики
с. Берёзовское, 2016
Часто первый избранный способ решения бывает далеко не самым удачным, поэтому задача каждого ученика - научиться находить не только верные, но и наиболее рациональные способы решения.
В школьном курсе математике мы изучаем все лишь несколько способов решения квадратных уравнений. А достаточно ли их? Вот я и решил изучить этот вопрос подробнее. В своей работе я рассмотрел десять способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах и выделил их особенности, что впоследствии способствовало их сравнению, а так же определению самых эффективных из них.
В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы:
-
Существует десять основных способов решения квадратных уравнений;
-
квадратное уравнение не всегда можно решить всеми способами;
-
у каждого способа есть свои особенности, которые позволяют определить те случаи, в которых использование этих способов рационально;
-
способ решения с помощью циркуля и линейки, более удобный способ, чем графический способ решения квадратных уравнений;
-
геометрический способ решения - это геометрическая интерпретация способа выделения полного квадрата;
-
самые эффективные способы: разложение левой части уравнения на множители, выделение полного квадрата и решение по формуле;
-
способов решения рассматриваемых на уроках математики достаточно, что бы решить задания связанные с квадратными уравнениями на экзамене успешно;
-
на экзаменах по математике мои одноклассники будут использовать способ решения квадратных уравнений по формуле.
Список литературы:
-
Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №40/2000. стр.24 -31.
-
Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк и др. Алгебра. 8 класс: учеб. Для общеобразоват. организаций/ под ред. А.С. Теляковского// М.: Просвещение, 2014.
-
Пресман А.А. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки // М.Квант. №4/1972. стр.34 - 35.
-
Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы // М.: Дрофа, 2010.
Введение
Актуальность работы заключается в том, что совсем скоро мне и моим одноклассникам предстоит сдавать ОГЭ по математике, а решение квадратных уравнений - это одна из основных тем в алгебре. В экзаменационных вариантах не только присутствуют сами квадратные уравнения, но так, же есть текстовые задачи, дробно-рациональные уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, решение которых сводится к решению квадратных уравнений.
Часто первый избранный способ решения бывает далеко не самым удачным, поэтому задача каждого ученика - научиться находить не только верные, но и наиболее рациональные способы решения квадратного уравнения. И здесь возникает проблема: достаточно ли тех способов решения квадратных уравнений, которые нам предлагает школьная программа, что бы выбрать рациональный способ решения квадратного уравнения на экзамене.
Точкой отправления в моей работе стала статья Плужникова И. «Десять способов решения квадратных уравнений».
Способы решения квадратных уравнений
Цель исследования: определить самый эффективный способ решения квадратных уравнений.
Задачи исследования: применить все основные способы к решению нескольких квадратных уравнений; выявить особенности каждого способа; сравнить способы; рассказать одноклассникам про способы решения квадратных уравнений и провести опрос среди одноклассников для определения самого эффективного и интересного, по их мнению, способа.
Объект исследования: квадратное уравнение.
Предмет исследования: способы решения квадратного уравнения.
Изучив историю вопроса, а так же после рассмотрения способов решения квадратных
уравнений я выдвинул гипотезу: одно уравнение не всегда можно решить всеми способами.
Методы исследования: работа с учебной и научно-популярной литературой; решение примеров; выявление особенностей способов; сравнение; опрос одноклассников.
Изучая литературу по данному вопросу, я выяснил, что существует десять основных
способов решения квадратных уравнений: по формуле [2]; разложение левой части уравнения на множители [2]; теорема Виета [2]; применение свойств коэффициентов [1]; «переброски» старшего коэффициента [1]; выделения полного квадрата [2]; графический [2]; с помощью циркуля и линейки [3]; с помощью номограммы [4]; геометрический [1].
После того как способы были определены и литература была подобрана я выбрал три квадратных уравнения: ;.
Следующим этапом стало их решение и выделение их особенностей.
Решение квадратных уравнений по формуле
Квадратное уравнение
Решение
Особенности
D=25;
; .
С помощью этого способа очень легко определить количество корней и найти их. Данным способом можно решать любые квадратные уравнения, в том числе и неполные.
D=361;
; .
D=0; .
Разложение левой части уравнения на множители(; ;
; .
Теорема Виета
Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения1+7+60;
1-7+6=0 ; .
Подходит для квадратных уравнений с "удобными" коэффициентами. Иногда позволяет решить квадратное уравнение устно.
;
1+1/3-100;
1-1/3-100
1+6+90
1-6+90
Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента/*3;
Введём замену y=3x, получим:
; по теореме Виета подбираем корни
Вернёмся к замене: ; .
Старший коэффициент a=1, данный способ не имеет смысла.
Метод выделения полного квадрата;
;
или ;
; .
Позволяет решить любое полное квадратное уравнение. Как видно из второго уравнения не всегда рациональный способ решения.
;
;
или ;.
;.
Графический способ решения квадратных уравнений
; .
Данный способ является неточным, его часто применяют для определения количества корней.
; .
.
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Центр окружности S(-3.5;3.5), точка A(0;1), R=SA. Окружность пересекает ось абсцисс в двух точках. ; .
Данный способ является неточным, его можно применять для определения количества корней. Думаю, что иногда рациональнее применять этот способ вместо графического способа.
Центр окружности S(), точка A(0;1), R=SA. Окружность пересекает ось абсцисс в двух точках. ; .
Центр окружности S(-3;5), точка A(0;1), R=SA. Окружность касается оси абсцисс в точке .
Решение квадратных уравнений с помощью номограммыПрямая 1 не даёт пересечений с номограммой, значит либо корней, либо они отрицательные.
Введём замену , получим уравнение , строим прямую 2
и .
Вернёмся к замене, получим ; .
Позволяет найти корни квадратного уравнения по его коэффициентам. Достаточно простой способ, если оба корня положительны, если же есть отрицательные корни, то требуются несложные дополнительные вычисления и построения. Усложняет данный способ и ограниченность шкалы, т.е. если или так же нужны дополнительные несложные вычисления.
Видим пересечение, значит , т.к. есть пересечение, значит, есть и второй корень, но он отрицательный, воспользуемся формулой , получим .
Прямая 1 не даёт пересечений с номограммой, значит либо корней, либо они отрицательные.
Введём замену , получим уравнение , строим прямую 2, видим касание, значит, корень один .
Геометрический способ решения квадратных уравнений3.0625
1.75x
3.0625
1.75x
1.75x
3.0625
1.75x
3.0625
.
Построим квадрат со стороной x, его площадь . Второй коэффициент b=7, 74=1.75. Пристроим к сторонам квадрата прямоугольники со сторонами x и 1,75, их площадь 1,75x. Получившуюся фигуру достроим до квадрата, т.е. пристроим ещё 4 квадрата, площадь которых . Теперь найдём площадь получившегося большого квадрата с помощью сложения: S=3.0625+1,75x+3.0625+1.75x++1.75x+3.0625+1.75x+3.0625= =+7x+12.25.
Вспомним, что , подставим в S=+7x+12.25, получим
S=-6+12.25=6.25.
С другой стороны +7x+12.25=. Значит =6,25.
; .
Этот способ представляет геометрическую интерпретацию способа выделения полного квадрата, им можно решить любое полное квадратное уравнение.
;
4= S=; S=10+;
=10+;.
; 64=1.5; S=;
S=9-9=0;.
Сравнение способов решения квадратных уравнений
критерии
способ
время
определение количества корней
точность
дополнительные инструменты не нужны
для всех уравнений
Итоги
Разложение левой части на множители
+
+
+
+
+
5
Выделение полного квадрата
+
+
+
+
+
5
По формуле
+
+
+
+
+
5
Теорема Виета
+
-
+
+
-
3
Способ «переброски»
+
-
+
+
-
3
Свойства коэффициентов
+
-
+
+
-
3
Графический способ
-
+
-
-
+
2
С помощью циркуля и линейки
+
+
-
-
+
2
С помощью номограммы
+
+
+
-
+
4
Геометрический способ
-
+
+
+
+
4
Опрос среди одноклассниковКакой?
способ
эффективный
интересный
%
Разложение левой части на множители
-
-
0/0
Метод выделения полного квадрата
-
-
0/0
По формуле
15
-
100/0
Теорема Виета
-
-
0/0
Способ «переброски»
-
-
0/0
Свойства коэффициентов
-
-
0/0
Графический способ
-
-
0/0
С помощью циркуля и линейки
-
6
0/40
С помощью номограммы
-
12
0/80
Геометрический способ
-
3
0/20
Заключение
В результате работы с литературой я выяснил, что существует десять основных способов решения квадратных уравнений, пять из которых мы рассматривали на уроках математики в 8 и 9 классе.
Проведённый эксперимент с решением трёх уравнений всеми способами подтвердил выдвинутую гипотезу в начале исследования: одно уравнение не всегда можно решить всеми способами. В ходе решения этих уравнений мне удалось выделить некоторые особенности способов решения, а так же определить те случаи, в которых использование этих способов рационально. Так же на основе анализа способов решения были сделаны следующие выводы:
-способ решения с помощью циркуля и линейки, более удобный способ, чем графический способ решения квадратных уравнений;
-геометрический способ решения - это геометрическая интерпретация способа выделения полного квадрата.
Сравнение способов решения квадратных уравнений показало, что самыми эффективными являются: разложение левой части уравнения на множители, выделение полного квадрата и решение по формуле, они соответствуют всем пяти критериям. Все эти способы входят в программу по математике, поэтому я считаю, что способов решения рассматриваемых на уроках математики достаточно, что бы решить задания связанные с квадратными уравнениями на экзамене успешно.
Опрос одноклассников показал, что самым эффективным способом они считают способ решения по формуле, поэтому я делаю вывод, что на экзамене по математике, который нам предстоит сдавать в конце учебного года, они будут пользоваться именно им.
Выводы
-
квадратное уравнение не всегда можно решить всеми способами;
-
у каждого способа есть свои особенности, которые позволяют определить те случаи, в которых использование этих способов рационально;
-
самые эффективные способы: разложение левой части уравнения на множители, выделение полного квадрата и решение по формуле;
-
на экзаменах по математике мои одноклассники будут использовать способ решения квадратных уравнений по формуле.
При проведении исследования, меня очень заинтересовал способ решения с помощью номограммы, думаю, что в следующем году продолжу исследование в данном направлении.