- Учителю
- погружение 'Методы решения тригонометрических уравнений'
погружение 'Методы решения тригонометрических уравнений'
Погружение на уроках математики в 10 классе по теме
«Методы решения тригонометрических уравнений» 6 часов в 10 .(профильном) классе.
Цели урока:
-
Образовательные - обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Научить при решении уравнений применять формулы понижения степени. Создать условия контроля усвоения знаний и умений.
-
Развивающие - способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
-
Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
Методы обучения: частично - поисковый. Проверка уровня знаний,, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, восприятие нового материала, взаимопроверка.
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, работа в парах, групповая.
Оборудование и источники информации: экран; мультимедийный проектор; ноутбук. У учащихся на партах листы учета знаний; системно - обобщающая схема; по два подписанных листочка и два бланка для записи ответов.
Ход работы
-
Устная работа.
-
Повторение. Экспресс-тест.
-
Лекция.
-
Закрепление. Работа в парах.
-
Применение изученного материала при решении уравнений. Решение тригонометрических уравнений из заданий ЕГЭ. Групповая форма работы.
-
Обобщение пройденного материала.
-
Домашнее задание.
-
Рефлексия.
-
Устная работа
Слайды 2, 3.
-
Повторение.
-
Область значения и область определения тригонометрических функций;
-
Решение простейших тригонометрических функций;
-
Частные случаи простейших тригонометрических уравнений.
Слайды 4-9
Тест на повторение.
-
Лекция.
Применение презентации при объяснении нового материала.
Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x - 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2x + sin x · cos x - sin 2x - cos 2x = 0 ,
sin x · cos x - sin 2x = 0 ,
sin x · ( cos x - sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x - cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3.
Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg .
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = 1, y2 = 3, отсюда
1) tg x = -1, 2) tg x = -3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x - 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) - 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) - 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) - 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c - коэффициенты; x - неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
-
Преобразование произведения в сумму.
Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x - cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = p / 2 + pk ,
x = p / 16 + pk / 8 .
7. Универсальная подстановка.
4.Закрепление.
Работа в парах
Применение методов решения тригонометрических уравнений
Методы решения
1.Разложение на множители.
2.Введение новой переменной:
а) сведение к квадратному;
б) универсальная подстановка;
в) введение вспомогательного аргумента.
3. Сведение к однородному уравнению.
4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;
б) использование свойства ограниченности функции.
№
уравнения
Методы решения
1
Sin x/3 - cos 6x = 2
4б
2
5 sinx - 2 cosx = 1
3, 2(б, в)
3
sin3x cos2x = 1
4б
4
1 - sin2x = cos x - sin x
1,2(б, в), 3
5
cos3x = sin x
4а
6
4 - cos2 x = 4 sin x
2а
7
sin3x - sin5x = 0
4б
8
2 tg x/2 - cos x = 2
1,2(а,б,в),3,4(а)
5.Применение методов решения тригонометрических уравнений при выполнении заданий ЕГЭ.
Групповая форма работы.
6.Обобщение изученного материала.
7.Рефлексия.
8. Домашнее задание.