Проект урока по теме: Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

Тема урока: «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

Тип урока: урок - лекция.

Учебная задача:

- ввести и отработать совместно с учениками определение двугранного угла и его характеристику (линейный угол), по аналогии с плоским углом;

- на основе понятия двугранного угла ввести определение перпендикулярных плоскостей по аналогии с перпендикулярными прямыми и «открыть» и доказать совместно с учащимися признак и свойства перпендикулярных плоскостей.

Диагностируемые цели:

Ученик:

- знает:

- определения двугранного угла и перпендикулярных плоскостей;

- формулировки теорем: признака и свойств перпендикулярных плоскостей;

- о существовании двух способов доказательства перпендикулярных плоскостей (по определению и по признаку перпендикулярных плоскостей);

- умеет:

- строить линейный угол двугранного угла;

- воспроизводит доказательство признака и свойств перпендикулярных плоскостей из краткой записи таблицы.

Метод обучения: метод проблемного изложения.

Формы обучения: фронтальная и индивидуальная.

Средства обучения: канва - таблица, модели.

Урок - лекция

Ход урока:

I Мотивационно - ориентировочная часть

- Какую фигуру на плоскости мы называем углом, Ира?

(фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки)

- Какое ещё понятие угла вы знаете?

( угол - это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, а также часть плоскости, ограниченная этими лучами)

- Прочитайте плоский угол.

(<O, <COD)

- Какие виды углов на плоскости мы изучили?

(острый, прямой, тупой)

- Переходим к рисунку с пересекающимися прямыми. Обозначьте на рисунке угол между пересекающимися прямыми за . Катя, какой ты из углов обозначила?

(наименьший из этих углов)

- Чему будут равны остальные три угла?

Ребята обозначают другие углы:

- Какова же может быть градусная мера угла между пересекающимися прямыми?

()

- Какой особый случай пересекающихся прямых мы выделяли?

(перпендикулярные прямые)

- Какие прямые называются перпендикулярными?

(две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен )

- С каких фигур мы начали изучение планиметрии?

(точка, прямая)

Учитель изображает на доске:

.

- Что будет являться аналогом точки в пространстве?

( либо точка, либо прямая)

Учитель изображает на доске:

.

.

- Что будет являться аналогом прямой в пространстве?

(прямая или плоскость)

Учитель изображает на доске:

- Что будет являться аналогом луча в пространстве?

(луч)

- Кто с этим не согласен?

(луч или полуплоскость)

Учитель изображает на доске:

.

- Что будет являться аналогом плоского угла в пространстве?

(угол)

II Содержательная часть:

- Если два луча плоского угла переходят в лучи, то в пространстве получим угол, а если один из лучей плоского угла переходит в луч, а другой в полуплоскость, то что мы получим?

(угол между прямой и плоскостью)

- Какой ещё возможен вариант перехода плоского угла в пространство?

( когда лучи плоского угла перейдут в две полуплоскости)

Учитель изображает на доске:

а

- При этом, во что переходит вершина плоского угла?

(в общую прямую двух этих полуплоскостей)

- Какой мы тогда получим объект?

(две полуплоскости, с общей границей)

- Мы с вами получили новый математический объект. Какая же цель сегодняшнего урока?

( дать определение, изучить его свойства)

- Обозначим общую прямую двух полуплоскостей за AB

- Полученную фигуру будем называть двугранным углом

- Сформулируем определение двугранного угла.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей AB, не принадлежащими одной плоскости.

- Данный двугранный угол будем обозначать так: <(AB) или <αABβ

- Итак, мы получили, что одним из аналогов плоского угла является двугранный угол, если аналогами сторон плоского угла являются полуплоскости, которые мы будем называть гранями. А аналогом вершины плоского угла является общая граница двух граней, которую будем называть ребром двугранного угла.

Учитель изображает на доске:

(по ходу ребята заполняют таблицу)

- В жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Приведите примеры.

( )

- Посмотрим, как измерить двугранный угол?

- Вспомним, как мы находили угол между скрещивающимися прямыми?

( сводили задачу к задаче о нахождении угла между пересекающимися прямыми, находили угол между пересекающимися прямыми)

- Как находили угол между прямой и плоскостью?

(как угол между прямой и проекцией этой прямой на данную плоскость)

- Значит, данную задачу нужно попытаться свести к задаче о нахождении плоского угла. Это делается следующим образом:

Отметим на ребре двугранного угла какую- нибудь точку О и в каждой грани из этой точки проведём луч, перпендикулярный к ребру. Полученный угол будем называть линейным углом двугранного угла. Постройте линейный угол двугранного угла у себя в таблице?

Учитель проводит построение на доске.

- Так как двугранный угол- это не только фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости, но и часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Следовательно, линейный угол- это и часть пространства, ограниченная лучами OC и OD. Покажем это в таблице.

Учитель демонстрирует на моделях и изображает на доске.

-От чего зависит величина двугранного угла?

(От линейного угла)

-А точнее?

(От величины линейного угла, от его градусной меры)

- Итак, чтобы найти угол между плоскостями нужно выделить двугранный угол, затем построить линейный угол двугранного угла, найти его градусную меру.

- Какие же могут быть виды двугранного угла, Лена?

(острый, прямой, тупой)

- Мы видим, что виды плоского и двугранного углов аналогичны. Зафиксируем это в таблице.

- Является ли построенный нами линейный угол единственным для двугранного угла?

(нет)

- Сколько можно построить линейных углов?

(бесконечно много)

- Почему?

(т.к. точку О мы выбирали произвольно, а таких точек на ребре двугранного угла бесконечно много)

- Постройте ещё один линейный угол.

- Катя, как ты строила данный угол?

(на ребре выбрала точку , отличную от точки О. И в каждой грани из этой точки провела лучи, перпендикулярные к ребру. Получила угол <).

- Сравните углы <COD и <.

(Они равны)

- Почему?

Если у учеников возникает затруднение, то задаём следующие вопросы:

- Какими общими свойствами обладают лучи OC и ?

(они лежат в одной полуплоскости и перпендикулярны к прямой AB)

- Что следует из этого?

(что луч ОА параллелен лучу )

- Каково направление этих лучей?

(они являются саноправленными)

- Каково направление лучей OD и ?

(они санопрвленые)

- Почему, Миша?

Спросить слабого ученика.

(данные лучи лежат в одной полуплоскости с границей АВ и они параллельны между собой)

- Мы получили, что стороны углов < COD и < соответственно соноправлены. Что из этого следует?

(< COD = <)

- Почему?

(т.к. стороны углов < COD и < соответственно соноправлены значит угол < COD = <)

- Каким теоретическим положением вы воспользовались при доказательстве равенства углов?

(терема о углах с саноправленными сторонами)

- Мы с вами показали, что линейных углов двугранного угла бесконечно много и все они равны между собой.

- Решим следующую задачу : две плоскости α и β пересекаются по прямой MN, в плоскости β лежит точка A, в плоскости α лежит проекция этой точки. Обозначим её за С. И дана прямая СВ, перпендикулярная MN. Докажите, что угол АВС- линейный угол двугранного угла AMNC.

A

M

B

C

N

- Как мы можем доказать, что данный угол является линейным?

( докажем, что стороны АВ и ВС перпендикулярны MN)

- Из условия задачи мы знаем, что ВC перпендикулярна MN. Значит надо доказать, что АВ перпендикулярна MN.

- Посмотрим на рисунок. АВ - наклонная, ВС- её проекция на плоскость α., прямая СВ, перпендикулярная MN. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ВС перпендикулярна MN. Т.е. получили, что <ABC- линейный угол двугранного угла.

- Мы с вами получили два способа построения линейного угла двугранного угла. Первый способ заключается в том, что нужно выбрать на ребре двугранного угла точку с этой точки восстановить перпендикуляры в обеих гранях. В чём же заключается второй способ? Он заключается в том, что если нам дана точка в одной грани двугранного угла, тогда сначала нужно найти или построить проекцию этой точки в другой грани двугранного угла, из полученной (найденной) точки провести перпендикуляр к ребру. Из точки пересечения построенного перпендикуляра с ребром двугранного угла строить перпендикуляр в другой грани.

- Посмотрим на третью строки таблицы. Что изображено на рисунке с права?

(две плоскости)

- Каково их взаимное расположение?

(они пересекаются)

- Обозначим их через α и β. Найдите угол между плоскостями α и β.

У ребят возникнет затруднение.

- Что является аналогом двух пересекающихся плоскостей на плоскости?

(пересекающиеся прямые)

- (спросить слабого ученика) Сколько плоских углов образуют две пересекающиеся прямые?

(четыре)

- Какой из этих углов будет являться углом между пересекающимися прямыми?

( наименьший из этих углов)

- Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла.

- Углом между пересекающимися плоскостями будем считать наименьшим из этих углов.

- Какова же может быть градусная мера угла между пересекающимися плоскостями?

()

- Отметьте этот угол на рисунке. Сначала построим линейный угол.

Ребята выполняют построение в таблице и записывают следующее:

Углом между пересекающимися плоскостями считают угол,

величина которого не превосходит величин любых из трех осталь­ных углов.