- Учителю
- Конспект урока по теме: 'Теорема Виета'
Конспект урока по теме: 'Теорема Виета'
Тема: Теорема Виета.
Тип урока: урок лекция.
Класс: 8 класс.
Продолжительность урока: 45 минут.
Учебник: А.Г. Мордкович и др. Алгебра 8.
Цели урока:
-
развивать интерес к математике;
-
сообщить информацию по теме;
-
систематизировать материал.
Ход урока:
Все дома решили уравнения вида . Получили корни:
уравнение
4
- 1
- 2
7
- 2
- 3
1
- 6
Надо установить связь между
и ; ,
и . .
Прекрасно!
Мы установили это из данных уравнений.
Проверим гипотезу!
а) ,
, ,
.
Гипотеза верна!
б)
Уравнение имеет два равных корня.
Гипотеза верна!
в)
- 4 < 0, действительных корней нет.
Значит, гипотеза неверна?
Гипотезу надо уточнить!
Если уравнение имеет корни, то
Теперь эту гипотезу надо доказать! Открыл и доказал эту теорему французский ученый математик Франсуа Виет. Домашним заданием вам будет законспектировать доказательство этой теоремы одним из способов из учебника и поискать материал о жизни и деятельности Ф. Виета.
В классе докажем ее другим способом.
Пусть и - корни квадратного уравнения .
Надо получить:
Что значит и корни уравнения?
(1)
(2)
Вычтем из (1) уравнения (2), получим:
или
докажем этот случай
на консультации
Подставим найденной значение для в (1) уравнение:
Получили:
Мы открыли, потом доказали теорему Виета.
Верна и обратная теорема.
Дано: - числа,
Доказать: - корни уравнения .
Доказательство:
0 = 0 (верно) 0 = 0 (верно)
- корень - корень.
ч.т.д.
Где использовать теорему Виета?
1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида :
2). Не решая уравнение , найти
Итак,
Где использовать теорему, обратную теореме Виета?
а). Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно:
- 8 + 5 = - 3. - 8 5 = - 40.
Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа - 8 и 5 являются корнями уравнения
б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):
Как быть, если уравнение имеет вид где
Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова:
В числителе , в знаменателе
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда -
В числителе , в знаменателе
Итак,
Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида и
Угадайте корни уравнений:
Что трудно? Тогда решите сначала три таких уравнения, найдя корни подбором.
Что вы заметили? (Один из корней равен 1).
Установите связь между и корнями. Если , тогда один из корней 1, а другой .
Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где или . Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.
Если в уравнении , то один из его корней 1, а другой .
Если в уравнении , то один из его корней - 1, а другой
Теперь вернитесь к решению уравнений
Придумайте дома по 3 красивых уравнения и предложите решить их товарищу.
5