Разработка урока по теме' Теорема Виета'

Урок №

Тема урока: «Теорема Виета».

Цель урока:

Выяснить зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения; познакомить учащихся с теоремой Виета, учить находить подбором корни квадратного уравнения, используя теорему Виета, способствовать развитию внимания, логического мышления, связной математической речи, развивать умение анализировать и делать выводы.

Тип урока: сообщение новых знаний.

Ход урока.

І.Актуализация опорных знаний.

Девиз: Думай и делай, делай и думай. И.А.Крылов.

Эпиграф : Никогда не теряй терпенья - это последний ключ, который открывает двери. Антуан де Сент- Экзюпери.

Блиц турнир.

1. Какое уравнение называется квадратным?

2. Какие существуют виды квадратных уравнений?

3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

4. От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?

5. Английский математик, которому принадлежит термин «Дискриминант».

6. Назовите формулу нахождения дискриминанта.

7.Сколько корней имеет уравнение, если D > 0 .

8.Сколько корней имеет уравнение, если D = 0.

9. Существуют ли корни квадратного уравнения, если D < 0.

10. Назовите формулы нахождения корней квадратного уравнения.

Заполните таблицу

ІІ. Изучение нового материала.

Поверите ли вы мне, если я скажу, что данное уравнение

х² - 2016х + 2015 = 0

смогу устно решить за несколько секунд и вы в конце урока тоже .

Сегодня мы с вами поведём речь о приведённых квадратных уравнениях, которые записывают ещё так: x² + px + q = 0.

Заполните таблицу:

Уравнение

p

q

х₁

х₂

х₁ + х₂

х₁ · х₂

1

х ²- 2х - 3 = 0

2

х ²+ 5х - 6 = 0

3

х ²- х - 12 = 0

4

х ²+ 7х + 12 = 0

Посмотрите внимательно на результаты работы.

Какое предположение можно сделать?

Сравните сумму и произведением корней с коэффициентами уравнений.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0

имеет корни х₁ и х₂, то x₁ + x₂ = - p; x₁ ∙ x₂ = q.

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициент, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Как же доказать? ( проблемный вопрос)

Предложить учащимся самостоятельно у доски доказать теорему Виета.

x₁ + x₂ = (- b+ √D) /2 +(- b - √ D)/2 = - b

x₁ • x₂ = (- b+ √D) /2 •(- b - √ D)/2= (b² -D)/4 = c

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Что лучше, скажи постоянства такого .

Умножишь ты корни - и дробь уж готова?

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе b, в знаменателе а

Немного исторических фактов о французском математике Франсуа Виете.

( Вьет (Vièete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, - 13.12.1603, Париж), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили меньшее распространение, чем заслуживали.)

Теорема (обратная теореме Виета).

Если числа х₁ и х₂ таковы, что x₁ + x₂ = - p, x₁ ∙ x₂ = q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

ІІІ. Тренировочные упражнения.

№1. ( устно) .

Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

1) х² - 6х + 5 = 0,

х₁= 1, х₂ = 5;

2) х² + 3х - 40 = 0,

х₁= - 8, х₂ = 5;

3) х² - 2х - 3 = 0,

х₁ = 1, х₂= - 3;

№2(устно)

Найдите корни квадратного уравнения:

х² - 16х + 15 = 0, ( х ₁= 1, х₂ =15)

х² + 2х - 3 = 0 (х ₁= 1, х₂ = - 3)

№2. ( у доски)

Составить приведенное квадратное уравнение, если x₁ = -3, x₂ = 1:

x₁ + x₂ = -3 + 1 = 2

x₁ · x₂ = -3 · 1 = -3

p = -2; q = -3

x² + px + q = 0

x² + 2x - 3 = 0

№ 3( самостоятельно)

Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны:

а) х₁ = - 3, х₂ = -2;

б) х₁= - 3, х₂= - 4;

в) х₁ = 5, х₂ = 6.

№4.(у доски).

В уравнении х² + pх + 36 = 0 один из корней равен - 4. Найдите другой корень и коэффициент p.

Вернёмся к уравнению х² - 2016х + 2015 = 0. Найдём его корни.

ІV. Самостоятельная работа. ( если будет время)

Первичная проверка знаний ( с последующей взаимопроверкой):

Вариант 1

1. Cоставить приведенное квадратное уравнение

x₁ = 5, x₂ = 6

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х² - 16х + 63 = 0

x₁ = 7, x₂ = 9

3) Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

х² + рх + 18 = 0.

Вариант 2

1. Cоставить приведенное квадратное уравнение

x₁ = - 5, x₂ = 6

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х² + 18х - 63 = 0

x₁ = -21, x₂ = 3

3) Один из корней квадратного уравнения равен -2. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

х² + рх - 16 = 0.

V. Рефлексия.

Сегодня на уроке я узнал …

Сегодня на уроке я научился …

На следующих уроках мне хотелось бы…

VІ. Домашнее задание.

Прочитать, выучить теорему , п. 24;

решить № 583, №585, № 588.