Элективный курс Практикум по решению геометрических задач

Пояснительная записка.

Элективный курс «Практикум по решению геометрических задач» направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности.

На протяжении веков геометрия служила источником развития не только математики, но и других наук. Законы математического мышления формировались с помощью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием геометрических методов. Современная наука и ее приложения немыслимы без геометрии ее новейших разделов: топологии, дифференциальной геометрии, теории графов, компьютерной геометрии. Огромна роль геометрии в математическом образовании учащихся. Известен вклад, который она вносит в развитие логического мышления и пространственного воображения учеников.

Как известно, систематический курс геометрии начинается в 7 классе. К 10 классу у школьников складываются определенные геометрические представления: они владеют определенным теоретическим аппаратом и умеют решать отдельные простейшие задачи. Однако анализ результатов итоговой аттестации учащихся показывает, что у учащихся не сформированы общеучебные умения осуществлять системный подход к решению геометрической задач. Другими словами, учащиеся не владеют общими и частными методами решения задач. Отдельные темы, предусмотренные программой, не позволяют посмотреть на курс геометрии в целом.

Для успешного решения геометрических задач необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт их решения. При изучении математики в старших классах на необходима систематизация знаний, полученных учащимися в основной школе, выделение общих методов и приемов решения геометрических задач, демонстрация техники решения геометрических задач, закрепление навыков решения геометрических задач. В связи с этим необходимо делать акцент не только на овладение теоретическими фактами, но и на развитие умений решать геометрические задачи разного уровня сложности и математически грамотно их записывать.

Данный элективный курс представлен в виде практикума, который позволит, расширить и систематизировать знания учащихся в использовании методов решения планиметрических и стереометрических задач.

Цели курса:

• Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения геометрических задач.

• Развитие интереса к предмету и возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы применения полученных знаний в своей будущей профессии.

Задачи курса:

• Систематизировать теоретические знания учащихся по планиметрии и стереометрии;

• Дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи.

• Расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения стереометрических задач («метод сечений», поэтапно-вычислитеьный, метод опорных задач), применение теорем не изучаемых в курсе геометрии 10 класса.

• Формировать графическую культуру учащихся при построении моделей многогранников.

• Развивать пространственные представления и воображение учащихся;

• Формировать умения применять полученные знания при решении задач повышенного уровня сложности.

Программа элективного курса содержит следующие темы: Методы построения сечения многогранников. Нахождение площадей сечений многогранников. Расстояния и углы между прямыми и плоскостями.

Материал представленный в элективном курсе характеризуется следующими особенностями:

В задачах используются в основном только простейшие многогранники - с целью доступности решения этих задач учащимися, а также в виду возможности применения одних и тех же геометрических конструкций по нескольку раз для изучения различных тем. Часть задач представлено без числовых данных для того, чтобы создать возможность их многовариантного применения. В некоторых задачах намеренно повторяются алгоритмы вычисления различных элементов с целью упрочнения умений и навыков учащихся и стандартизации к решению предложенных и аналогичных задач.

Для проведения занятий используются следующие учебные пособия:

• Э.Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения./ Э.Г.Готман.-М.: МЦНМО, 2006-150с.

• И.Г.Габович, Алгоритмический подход к решению геометрических задач. М.Просвещение ,1996-192с.

• А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. - Легион, 2013.

Дополнительными источниками задач для занятий курса являются материалы КИМов из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

</ При преподавании элективного курса используются элементы технологии обучения математике на основе решения задач Р.Г. Хазанкина, а именно: урок-лекция  уроки решения «ключевых задач»  уроки-консультации  уроки-практикумы  зачетные уроки.

Ведущие методы: частично-поисковый, проблемный, исследовательский. Они призваны обеспечить реализацию следующих методологических подходов в обучении: задачного, деятельностного и личностно-ориентированного.

Программой элективного курса предусмотрено выполнение самостоятельных работ. Успешность освоения курса оценивается на итоговом зачете (Приложение 1). Итоговая работа оценивается оценкой «зачтено», если учащийся выполнил три задания контрольной работы.

Предлагаемый курс «Практикум по решению геометрических задач» практико- ориентированный и предназначен для учащихся 10-го класса. Количество учебных часов - 17.

Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны

знать:

• Свойства и формулы планиметрических фигур;

• методы построения сечений многогранников;

• формулы и методы вычисления площадей многоугольников;

• требования к построению изображений пространственных тел;

• свойства многогранников;

• свойства взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;

• теорему о площади ортогональной проекции многоугольника;

уметь:

• решать стереометрические задачи, опираясь на изученные свойства стереометрических фигур;

• выполнять «наглядный» чертеж стереометрической задаче;

• решать стереометрические задачи на вычисление расстояний и углов в многогранниках методами, изученными в курсе;

• строить сечения многогранников, используя метод «следов»

Содержание тем курса

Тема 1. Методы построения сечения многогранников.2 ч.

Простейшие задачи на построение сечений параллелепипеда и тетраэдра.

Методы решения задач на построение сечений многогранников:

Аксиоматический метод (Метод следов. Внутреннего проектирования). Комбинированный метод (Метод параллельных прямых. Метод параллельного переноса секущей плоскости).

Метод выносных чертежей (метод разворота плоскостей).

Тема 2 Площади. Нахождение площадей сечений многогранников. 4ч.

Нахождение площади сечений в многогранниках (куб, призма, пирамида). Методы нахождения площади сечений в многогранниках: метод разбиения и дополнения; с помощью признаков подобия треугольников; с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Нахождение площади поверхности многогранника. Методы нахождения площади поверхности многогранника: поэтапно-вычислительный, применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Тема 3. Расстояния и углы между скрещивающимися прямыми.5ч.

Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Четыре способа решения задач:

1. Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, то есть отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного обеим (по определению расстояния между скрещивающимися прямыми) .

2. Метод параллельных прямой и плоскости (нахождение расстояния от одной скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую).

3. Метод параллельных плоскостей (нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые).

4. Метод ортогонального проектирования. Терема о площади ортогональной проекции многоугольника.

Решение задач на вычисление величины угла между скрещивающимися прямыми. Методы нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

1. Поэтапно-вычислитеьлный метод.

2. Метод опорных задач. Теорема косинусов для трехгранного угла.

Тема4. Углы между плоскостями. 5ч.

Решение задач на вычисление величины угла между прямой и плоскостью, плоскостями.

Методы нахождения угла между прямой и плоскостью

1. Поэтапно-вычислительный метод.

2. Метод использования дополнительного угла.

3. Метод опорных задач.

Методы вычисления угла между плоскостями.

1. Двугранный угол. Построение двугранного угла.

2. Использование параллельных прямых.

3. Использование параллельных плоскостей.

4. Использование перпендикуляров к плоскостям.

.

Итоговый зачет по курсу (1 ч)

Решение стереометрических задач: вычисление площади сечения многогранника, вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми, вычисление угла между скрещивающимися прямыми, вычисление угла между плоскостями.

Календарно-тематическое планирование

элективного курса «Практикум по решению стереометрических задач», 10А классс

Наименование разделов и тем

Календарные

сроки

Содержание

Формы, методы, виды деятельности

Оборудование,

контрольно-измерительные

материалы

План

Факт

Тема1. Методы построения сечения многогранников. ч.

Методы решения задач на построение сечений многогранников. Аксиоматический метод.

Простейшие задачи на построение сечений.

Аксиоматический метод (метод следов, метод внутреннего проектирования)

Эвристический, практический, наглядный.

Ф, И

Реберные модели многогранников

Презентация «Построение сечений многогранника»

Методы решения задач на построение сечений многогранников. Комбинированный метод. Метод выносных чертежей.

Комбинированный метод (метод параллельных прямых, метод переноса секущей плоскости).

Метод выносных чертежей (метод разворота плоскостей)

Эвристический, практический, наглядный.

Ф, И, П.

Реберные модели многогранников

Презентация «Построение сечений многогранника»

Тема 2. Площади. Нахождение площадей сечений многогранников. 4ч.

Нахождение площади сечений в многогранниках. Метод разбиения и дополнения.

Решение задач с помощью основных формул площадей многоугольников.

Методы нахождения площади сечений в многогранниках. Метод разбиения и дополнения.

Практический, наглядный

Ф, И, П.

Раздаточный материал

Реберные модели многогранников

Нахождение площади сечений в многогранниках с использованием признаков подобных треугольников.

Метод использования свойств, признаков подобных треугольников

Практический, наглядный

Ф, И, П.

Нахождение площади сечений в многогранниках. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.

Решение задач на нахождение площади сечений в многогранниках с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника

Практический, наглядный

Ф, И, П.

Презентация «Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника

Нахождение площади сечений в многогранниках. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.

Решение задач на нахождение площади сечений в многогранниках с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника

Практический, наглядный

Ф, И, П.

Презентация «Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника

Тема 3. Расстояния и углы между скрещивающимися прямыми . 5ч.

Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в многогранниках.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью нахождения длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, (по определению расстояния между скрещивающимися прямыми)

Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф, И, П.

Реберные модели многогранников

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью метода параллельных прямой и плоскости

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью метода параллельных прямой и плоскости (нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую).

Практический

Ф, И

Реберные модели многогранников

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью метода параллельных плоскостей

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью: метода параллельных плоскостей (нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые);

метода ортогонального проектирования.

Практический

Ф, И

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Теорема косинусов для трехгранного угла

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми поэтапно-вычислительным методом

Метод опорных задач (теорема косинусов для трехгранного угла)

Эвристический, Практический

Ф, И

Презентация «Теорема косинусов для трехгранного угла»

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Теорема косинусов для трехгранного угла

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми поэтапно-вычислительным методом

Метод опорных задач (теорема косинусов для трехгранного угла)

Эвристический, Практический

Ф, И

Презентация «Теорема косинусов для трехгранного угла»

Тема 4. Угол между прямой и плоскостью. Углы между плоскостями. 5ч.

Методы вычисления угла между прямой и плоскостью.

Нахождение угла между прямой и плоскостью поэтапно-вычислительным методом с помощью включения искомого угла в прямоугольный треугольник; методом использования дополнительного угла.

Лекция с элементами эвристической беседы

Ф, И

Методы вычисления угла между плоскостями методом параллельных прямых.

Нахождение угла между плоскостями через: построение двугранного угла;

использование параллельных прямых.

Лекция с элементами эвристической беседы Ф, И

Презентация «Угол между плоскостями»

Методы вычисления угла между плоскостями с помощью перпендикуляров к данным плоскостям.

Нахождение угла между плоскостями методом параллельных плоскостей;

С помощью перпендикуляров к данным плоскостям.

Практический

Ф, И, П.

Методы вычисления угла между плоскостями. Теорема о трех синусах.

Нахождение угла между плоскостями методом опорных задач с использованием теоремы косинусов для трехгранного угла и теоремы о трех синусах.

Практический

Ф, И, П.

Презентация «Теорема о трех синусах»

Методы вычисления угла между плоскостями.

Решение задач различными методами.

Практический

Ф, И, П.

Раздаточный материал

17.

Зачет по курсу

Решение стереометрических задач: вычисление площади сечения многогранника, вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми, вычисление угла между скрещивающимися прямыми, вычисление угла между плоскостями,

Выполнение заданий зачетной работы.

Раздаточный материал

Ф - ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС

И - ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА

П - РАБОТА В ПАРАХ

Г - РАБОТА В ГРУППЕ

Список литературы.

Для учащихся

1. А.А.Прокофьев, А.Г.Корянов. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. - Легион, 2013

2. Б.Г.Зив, В.М.Мейлер, А.Г.Баханский. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.:Просвещение, 2000

3. В.А.Смирнов. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А. Л. Семенова и И.В.Ященко. - М.: МЦНМО, 2011.

4. Математика. ЕГЭ - 2014. Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Издательство "Легион". Ростов - на - Дону, 2013.

5. С.И.Колесникова. Математика. Решение сложных задач ЕГЭ. М: Айрис - пресс. 2007.

6. Э.Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения./ Э.Г.Готман.-М.: МЦНМО, 2006-150с.

7. Я.П. Понарин, Элементарная геометрия. т.1, т.2. М.: МЦНМО, 2005.

Для учителя

1. А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. - Легион, 2013.

2. А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. - Легион, 2013

3. А.Х. Шахмейстера «Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия». СПб.: «Петроглиф», 2011

4. Б.Г.Зив, В.М.Мейлер, А.Г.Баханский. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.:Просвещение, 2000

5. В.А.Смирнов. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А. Л. Семенова и И.В.Ященко. - М.: МЦНМО, 2011

6. В.Н.Литвиненко, Сборник задач по стереометрии с методами решения. М.: Просвещение,1998.

7. Е.Л. Ситкин Стереометрия . Как решить проще. Математика:элективный курс. ИЛЕКСА , Москва, 2013 г.

8. И.Г.Габович, Алгоритмический подход к решению геометрических задач. М.Просвещение ,1996-192с.

9. Л.С. Сагателова. Геометрия Решаем задачи по планиметрии. Практикум./авт.-сост. Л.С. Сагателова.-Волгоград: Учитель, 2009г.-150с.

10. Математика. ЕГЭ - 2014. Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Издательство "Легион". Ростов - на - Дону, 2014.

11. Э.Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения./ Э.Г.Готман.-М.: МЦНМО, 2006-150с.

12. Я.П. Понарин, Элементарная геометрия. т.1, т.2. М.: МЦНМО, 2005.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Дидактический материал для проведения занятий по элективному курсу

Тема 1.Методы построения сечения многогранников

Метод следов

1. На ребрах ВВ1, СС1 и ДД1 призмы АВСДА1В1С1Д1 заданы соответственно точки Р, Qи R построить основной след секущей плоскости PQR

2. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р, в грани МАВ- точка Q, а внутри пирамиды , в плоскости МВД- точка R. Построить основной след секущей плоскости РRQ.

3. На грани СС1Д1Д призмы АВСД А1В1С1Д1 задана точка Р, а на ее ребрах АА1 и В1С1 соответственно точки Q и R Построить сечение призмы плоскостью РRQ.

4. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р , в гранях МАД и МАВ заданы соответственно точки Q и R. Построить сечение плоскостью Р RQ.

Геометрический метод

1. Высота правильной призмы АВСД А1В1С1Д1 в два раза меньше диагонали основания. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку В, перпендикулярно прямой В1О, где О- точка пересечения диагоналей основания.

2. Высота правильной призмы АВСД А1В1С1Д1 в два раза меньше диагонали основания. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку Е, середину ребра АВ, перпендикулярно прямой В1О.

Метод вспомогательных сечений.

1. На грани СС1Д1Д призмы АВСД А1В1С1Д1 задана точка Р, а на ее ребрах АА1 и В1С1 соответственно точки Q и R Построить сечение призмы плоскостью РRQ методом вспомогательных сечений.

2. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р, в гранях МАД и МАВ заданы соответственно точки Q и R. Построить сечение плоскостью Р RQ методом вспомогательных сечений.

Комбинированный метод

1. На ребрах АА1, СС1, ДД1 параллелепипеда АВСД А!В1С1Д1 заданы соответственно точки Р, Q, R , а на ребре ВВ1 задана точка К. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости РRQ.

2. На ребрах ВС, СД, СС1 параллелепипеда АВСД А!В1С1Д1 заданы соответственно точки Р, Q, R , а на ребре АА1 задана точка К. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости РRQ.

3. На ребре СС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 задана точка Р. Построить прямую , проходящую через точку А параллельно прямой ДР.

4. На ребрах СС1, ВС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 заданы соответственно точки Р, Q Построить сечение призмы плоскостью РRQ, проходящей через точку ВА параллельно прямым ДР и СQ.

5. На ребре СС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 задана точка Р. Построить сечение призмы плоскостью. Проходящей через точку А, параллельно прямым ДР и В1Д1.

Тема 2. Нахождение площади сечений в многогранниках.

1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и C1D1 соответственно, если A1E = k•D1E и C1F = k•D1F.

2. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины C1 и D и точку E на ребре A1D1, если A1E = k•D1E.

3.Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и D1C1 соответственно,

если D1E = k•A1E и C1F = k•D1F..

4.Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины A1 и C1 и точку F на ребре AD, если AF = k•DF.

5. Найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды ABCDM с ребрами а (половинка октаэдра) плоскостью, проходящей через сторону основания AD и точку E на боковом ребре MC, если CE = k•ME.

1. Найти площадь сечения правильного тетраэдра ABCM с ребром а плоскостью, проходящей через точки D, E и F на ребрах MA, MB и BC соответственно, если MD : AD = ME : BE = BF : CF = k.

2. Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через сторону основания A1B1 и точку D на стороне BC другого основания, если CD = k•BD, сторона основания призмы равна а и высота H = na.

3. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD.

4. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1.

5. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2•CM.

6. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину B1 и середины ребер AD и CD.

7. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания а и высотой H=na найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину C и середины ребер AA1 и A1B1.

8. Найти площадь сечения куба АВСДА1В1С1Д1 с ребром а плоскостью, проходящей через середину ребер АД и СД и точку В2 на ребре ВВ1 при условии ВВ2=k*В1В2.

9. Найти площадь сечения правильной четырехугольной призмы АВСДА1В1С1Д1 со стороной основания а и высотой Н=па плоскостью , проходящей через вершину В1 и середины ребер АД и СД.

10. Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы АВСДЕF А1В1С1Д1F1 со стороной основания а и высотой Н=кА плоскостью, проходящей через середины ребер В1С1, ДЕ и ЕF.

11. Найти площадь сечения правильной четырехугольной призмы АВСДА1В1С1Д1 со стороной основания а и высотой Н=па плоскостью , проходящей через вершину В1 и середины ребра СД и точку F ребра АД при условии ДF=2*АF

Тема 3. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках

1. В кубе с ребром а найти расстояние и угол между любым ребром и диагональю не пересекающей его рани.

2. В кубе с ребром а найти расстояние и угол между непересекающимися диагоналями двух смежных граней.

3. В кубе АВСДА1В1С1Д1 с ребром а найти расстояние и угол между прямыми АС и В1 F при условии, что F принадлежит ДД1 и Д F=к*Д1 F.

4. В правильной четырехугольной пирамиде АВСДМ со стороной основания а и боковым ребром L=ka найти расстояние и угол между:

1) боковым ребром и не пересекающейся с ним диагональю основания;

2) апофемой и не пересекающейся с ней стороной основания.

5. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде со сторонами оснований а и в и высотой Н найти расстояние и угол между главной диагональю и не пересекающейся с ней диагональю большего основания.

6. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания а и боковым ребром L =кА найти расстояние и угол между апофемой и диагональю основания.

7. В правильной шестиугольной пирамиде со стороной основания а и боковым ребром L = кА найти расстояние и угол между:

1) боковым ребром и не пересекающейся с ним стороной основания;

2) боковым ребром и непересекающейся с ним диагональю основания.

8. В правильной треугольной призме высотой Н=кА найти расстояние и угол между диагональю боковой грани и непересекающейся с ней стороной основания а.

Тема 4. «Определение угла между плоскостями»

1. В кубе АВСД А1В1С1Д1 определить угол между плоскостями сечений АВ1С1Д и СВ1А1Д.

2. В прямоугольном параллелепипеде с размерами а, в Н определить угол между секущими плоскостями, проходящими через главную диагональ и соответственно через стороны основания а и в.

3. В кубе АВСДА1В1С1Д1 определить угол между диагональной плоскостью ВВ1Д1Д и плоскостью сечения, проходящей через вершины А1,С и точку F на ребре ДД1 при условии Д1 F= кДF.

4. В кубе АВСДА1В1С1Д1 определить угол, образованный плоскостями сечений АВ1С и АFС при условии, что F лежит на ДД1 и ДF=кД1F

5. В правильной четырехугольной пирамиде АВСДМ, все ребра которой равны, определить угол, образованный плоскостью проходящей через боковое ребро ВМ и высоту пирамиды МО, и плоскостью, проходящей через то же боковое ребро и точку З принадлежащую АД при условии ДР = к АР

Дидактические материалы

1. В правильном тетраэдре SABC точки M и N - середины ребер AB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AS и MN.

Ответ: 45˚

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ - M и N середины ребер D₁C₁ и AA₁ соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью ABCD.

Ответ:

3. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 3 , а боковые ребра равны 4. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что AE :EA₁ = 1 : 3 . Найдите угол между плоскостями ABC и BED_1.

Ответ:

4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер AB и BC и вершину S . Найдите расстояние от плоскости этого сечения до середины высоты пирамиды, если все ребра пирамиды равны 8.

Ответ: 2

5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой C₁F.

Ответ:

6. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и A₁C.

Ответ: