Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 3 Делимость. Остатки и их свойства.

Занятие 3.

Делимость. Основные свойства.

№1. Делится ли 2ⁿ ∙ 3 на 2? На 3? На 5? На 8? На 9? На 6?

№ 2. Можем ли мы утверждать, что: а) если а делится на 4 и на 3, то а делится на 12; б) если а делится на 4 и на 6 , то а делится на 24; в) если а - чётное, то 3а делится на 6; г) если 15а делится на 6, то а делится на 6; д) если а∙а делится на 8, то а делится на 8?

№ 3. Докажите, что: а) если a² делится на 3, то а делится на 3

б) если a² делится на 3, то a² делится на 9

№ 4. Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6. Докажите, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 60, 120.

№ 5 Можем ли мы утверждать, что: а) если а делится на 4 и ас делится на 6, то ас делится на 24, б) если а делится на 9, ас делится на 10, то ас делится на 90?

Определение: Два натуральных числа называют взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

№ 6. Можно ли монетами 14 и 35 шиллингов заплатить без сдачи сумму в 1999 шиллингов?

№ 7. Дети, построенные парами, возвращаются с вечернего чая с пряниками в карманах. В каждой паре у одного пряников вдвое больше, чем у другого. Может ли у всех вместе быть ровно 1000 пряников?

№ 8. Количество натуральных делителей некоторого числа - нечётно. Докажите, что это число - полный квадрат.

НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа и их свойства.

Определения: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и с называется наибольшее из чисел, на которое делятся оба числа а и с. Если а и с - взаимно простые, то НОД(а;с)=1.

Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и с называется наименьшее из натуральных чисел, делящееся на оба числа а и с. Обозначается НОК(а;с)

№ 9. Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их сумме?

№ 10. Из монет 6, 9, 15 рублей наберите наибольшую сумму, не превышающую 200 рублей. Объясните, почему сумма наибольшая?

№ 11. Имеет ли уравнение 3х +9у = 202 решение в целых числах?

№ 12. На ферме 20 коров и уток, всего у них 42 ноги. Найдите, сколько коров и сколько уток.

Остатки и их свойства.

Определение: число а делится на число b с остатком r, 0≤ r≤ b, если а = b∙с + r, где с - целое. При этом с - неполное частное при делении а на b.

Говорят, что числа а и b сравнимы по модулю m, если они дают одинаковые остатки при делении на m. Обозначается а ≡ b (mod m)

Теорема о действиях с остатками. Пусть число а1 дает при делении на m остаток r1, число а2 дает при делении на m остаток r2. Тогда:

• Число а1 + а2 при делении на m дает тот же остаток, что и число r1 + r2;

• Число а1 - а2 при делении на m дает тот же остаток, что и число r1 - r2;

• Число а1а2 при делении на на m дает тот же остаток, что и число r1r2.

Таким образом остатки можно складывать, вычитать и умножать.

№ 13. Найдите остаток от деления 25 на 7, 25 на 5, 28 на 5, -15 на 7.

№ 14. Найдите остаток от деления 7¹⁰⁰ на 6.

№ 15. Найдите остаток от деления 11¹⁰⁰ на 12.

№ 16. Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 5.

№ 17. Найдите остаток при делении на 7 числа 100¹⁰⁰ - 30¹⁰⁰ .

№ 18. Докажите, что a⁵ + 4а делится на 5 при любом натуральном а.

№ 19. Докажите, что a² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном а.

№ 20. Докажите, что a³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном а.

Домашнее задание.

№1 Сможет ли Петя разложить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было различным?

№ 2. Представьте число 203 в виде суммы нескольких чисел так, чтобы произведение этих чисел было равно 203

№ 3. Может ли наименьшее общее кратное трёх чисел равняться их сумме?

№ 4. Имеет ли уравнение 7х + 21х = 107 решение в целых числах?

№ 5. Найдите остаток от деления 37 на 8, 29 на 5, 44 на 3, -11 на 4

№ 6. Найдите остаток от деления 8¹⁰⁰ на 7.

№ 7. Докажите, что a³ + 8а не делится на 5 ни при каком натуральном а.

Решение и ответы к занятию 3.

№1. да, да, нет, да, нет, да

№ 2. а) да, б) нет, например 12, в) да, г) нет, например а=2, д)нет, например а=4

№ 3. а) У чисел а и a² одинаковые простые множители, но в числе a² степень каждого простого множителя в 2 раза больше. Если бы а не делилось на 3, то и a² также не делилось бы на 3.

б) если a²делится на 3, то а делится на 3, то есть у числа а есть множитель 3. Значит, у числа

a² множителей 3 хотя бы два, тогда a² делится на 9, так как 9=3∙3.

№ 4. Так как каждое второе число делится на 2, а каждое третье - на 3, то произведение трёх последовательных чисел делится и на 2 и на 3, значит на 6. Так как каждое четвёртое число делится на 4, а каждое пятое на 5, то произведение пяти последовательных чисел делится на 3х4х5=60. Заметим, что среди последовательных чисел хотя бы два чётные, одно из которых делится на 4, получаем, что их произведение делится на 2х3х4х5=120.

№ 5. а)нет, б) да

№ 6. Нет, числа 14 и 35 делятся на 7, значит ими можно оплатить только сумму, которая делится на 7. Легко проверить, что 1999 не делится на 7.

№ 7. Нет, в каждой паре общее количество пряников делится на 3, значит сумма всех пряников делится на 3. Число 1000 на 3 не делится.

№ 8. У числа а - не являющегося полным квадратом, все делители разбиваются на пары (с; а:с), то есть их количество чётно. У полного квадрата а = х²

Все делители, кроме числа х, разбиваются на пары, то есть у полного квадрата - нечётное количество делителей. Если у некоторого числа нечётное число делителей, то они не могут разбиться на пары, значит такое число не может не быть полным квадратом.

№ 9. Нет. Предположим, что НОК(а;с) = к и а+с = к. Так как а делится на а и к делится на а, то обязательно с делится на а, следовательно НОК(а;с) = с.

№ 10. 198. Так как числа 6,9,15 делятся на 3, то ими можно набрать только сумму делящуюся на 3. Наибольшее число, не больше 200 и делящееся на 3, равно198. Сумму 198 набрать можно, например, взять 33 монеты по 6 рублей.

№ 11. Нет. Левая часть уравнения делится на 3, а правая - нет.

№ 12. 1 корова и 19 уток. Пусть на ферме х коров, тогда уток (20- х). Учитывая, что у коров по 4 ноги, а уток по 2 ноги, получаем уравнение: 4х + 2(20-х) = 42, откуда получаем х = 1.

№ 13. 4; 0; 3; 6

№ 14. 7 ≡1 (mod 6), тогда 7¹⁰⁰ ≡ 1¹⁰⁰ ≡ 1(mod 6).

№ 15. 11 ≡ - 1 (mod 12), тогда 11¹⁰⁰ ≡ (- 1)¹⁰⁰ ≡ 1(mod 12).

№ 16. 2¹ ≡2 (mod 5), 2² ≡4 (mod 5), 2³ = 8≡3 (mod 5), 2⁴ = 2³ ∙ 2 ≡3 ∙ 2 = 6 ≡1 (mod 5),

2¹⁰⁰ = 2^4∙25 ≡ 1²⁵ = 1(mod 5).

№ 17. 100 ≡2 (mod 7), 30 ≡ 2(mod 7), 100¹⁰⁰ - 30¹⁰⁰ ≡ 2¹⁰⁰ - 2¹⁰⁰= 0 (mod 7)

№ 18. Найдём какие остатки при делении на 5 может давать выражение a⁵ + 4а, в зависимости от остатков числа а при делении на 5. Составим таблицу.

0

1

2

3

4

a⁵

0

1

2

3

4

4а

0

4

3

2

1

a⁵ + 4а

0

0

0

0

0

Из таблицы видно, что какой бы остаток при делении на 5 ни давало число а, число a⁵ + 4а даёт остаток 0, что и означает требуемое.

№ 19. Найдём какие остатки при делении на 3 может давать выражение a² + 1, в зависимости от остатков числа а при делении на 3. Составим таблицу.

0

1

2

a²

0

1

2

a² + 1

1

2

2

Из таблицы видно, что при любых значениях а, число a² + 1 даёт ненулевой остаток при делении на 3.

№ 20. Найдём какие остатки при делении на 9 может давать выражение a³ + 2 в зависимости от остатков числа а при делении на 9. Составим таблицу.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

a³

0

1

8

0

1

8

0

1

8

a³ + 2

2

3

1

2

3

1

2

3

1

Из таблицы видно, что при любых значениях а, число a³ + 2 даёт ненулевой остаток при делении на 9.