Решение уравнений с модулями методом промежутков

Тема урока :

«Решение уравнений с модулями методом промежутков»

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть -и далее подтвердить это -что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц.

Цели урока :

• отработка навыков решения уравнений с модулями методом промежутков.

• развитие умений сравнивать, анализировать, классифицировать, обобщать, выявлять закономерности .

• воспитание ответственного отношения к учебному труду; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов, воспитание уважительного отношения к сверстникам

Тип урока: комбинированный.

Ход урока:

Вспомним определение и свойства модуля:

=

=

=

=

0

Для решения уравнения, содержащего переменную под знаком модуля, часто используют метод промежутков. Освоением этого метода мы и займемся на данном уроке. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала находят все точки, в которых подмодульные выражения обращаются в ноль, расставляют их на числовой прямой. Эти точки делят прямую на промежутки, внутри которых подмодульные выражения не меняют своего знака. Для удобства знак каждого подмодульного выражения на каждом промежутке записываем в столбик, т.е. если уравнение содержит , к примеру, три разных модуля, то на каждом промежутке будут друг под другом стоять три знака, верхний из которых соответствует первому модулю, средний -второму и нижний знак третьему модулю. Затем, используя определение модуля, рассматриваем исходное уравнение на каждом из полученных промежутков.

Пример1.Решить уравнение +=2х-4

Х-1=0; х-3=0;

Х=1 ; х=3;

_ + +

_ _ +

─────────•─────────•───────→ х

1 3

На первом промежутке оба подмодульных выражения имеют знак минус, на втором промежутке первое подмодульное выражение с плюсом, второе- с минусом, а на третьем оба имеют знак минус.

1) при х(-;1) уравнение примет вид:

-х+1-х+3=2х-4, откуда х=0.Полученное значение принадлежит указанному промежутку (-;1), следовательно х=0 является корнем данного уравнения.

2)при х ( 1 включаем в промежуток, т.к. при х=1 первый модуль раскрывается со знаком плюс, а 3 не включаем, т.к.второй модуль на этом промежутке раскрывается с минусом) уравнение имеет вид:

х-1-х+3=2х-4, откуда х=-1.Это значение х не входит в промежуток , следовательно, не является корнем уравнения.

3) при х уравнение имеет вид

х-1+х-3=2х+4, откуда -4=4, что означает, что на этом промежутке уравнение не имеет корней.

Ответ : 0.

Пример 2.Решить уравнение +=3.

_ _ + +

_ + + +

_ _ _ +

─────────•─────────•─────────•───────→ х

-2 3 4

Точки х=3; х=-2 и х=4 разбивают числовую прямую на 4 промежутка. Расставляем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и рассматриваем исходное уравнение на каждом из промежутков, используя определение модуля:

1)при х уравнение примет вид

-х+3-х-2+х-4=3, откуда х=-6.Это значение х принадлежит означенному промежутку, значит, х=-6 является корнем данного уравнения.

2)при х уравнение имеет вид

-х+3+х+2+х-4=3, откуда х=2.Это значение тоже принадлежит исходному промежутку и тоже является корнем уравнения.

3) при х уравнение имеет вид

х-3+х+2+х-4=3, откуда х=8/3, но это число не принадлежит , поэтому не является корнем данного уравнения.

4) при х уравнение имеет вид

х-3+х+2-х+4=3, откуда х=0, что не принадлежит промежутку , следовательно, не является корнем.

Ответ: -6; 2.

.Решим теперь уравнение с «вложенными» модулями.

Пример3 . ||x+1|+|x-2|| = 0

|x+1| > 0, |x-2| > 0, значит |x+1|+|x-2| > 0 для всех х, тогда

||x+1|+|x-2|| = |x+1|+|x-2|.

Получаем |x+1|+|x-2|=0; x+1=0 ; x-2=0 ;

x=-1 x=2

_ + +

_ _ +

─────────•─────────•───────→ х

-1 2

1) Если x < 1 ,то получаем -x-1-x+2 = 0, откуда х=0,5

(не удовлетворяет условию x<-1, значит не является корнем исходного уравнения).

2) Если -1 x < 2, то получаем x+1+2-x = 0

0x = -3 - уравнение не имеет корней.

3) Если x 2, то получаем x+1+x-2 = 0, откуда х=0,5 (не удовлетворяет условию x 2, значит не является корнем исходного уравнения).

Ответ: уравнение не имеет корней.

Пример 4. ||x-7|+4| = |x+3|

|x-7| > 0; 4 > 0, значит |x-7|+4 > 0 при всех значениях х, тогда

||x-7|+4| = |x-7|+4.

Получаем |x-7|+4 = |x+3| (дальше учащиеся самостоятельно доканчивают решение примера)

x-7 = 0 ; x+3 = 0;

x = 7; x = -3.

_ _ +

_ + +

─────────•─────────•───────→ х

-3 7

1) Если x < -3, то получаем 7-x+4 = -x-3

0x = -14 - уравнение не имеет корней.

2) Если -3 x 7, то получаем. 7-x+4 = x+3

-2x = 3-11

-2x = -8

х = 4(удовлетворяет условию -3 x < 7).

3) Если x 7, то получаем x-7+4 = x+3

0x = 6 - уравнение не имеет корней.

Ответ: 4.

Подведение итогов.

Задания для самостоятельного решения:

1.=3

2.=0

3.=х-1

4.=х+6

5.=1+

6.-2

7.+=3 ( подсказка :подкоренные выражения являются полными квадратами )

Использованная литература:

1. Журналы «Математика в школе»

2.Математика./ Еженедельное Учебно-методическое приложение к газете «ПЕРВОЕ СЕНТЯБРЯ».

3.Методическое пособие по математике для поступающих ф Финансовую академию под ред.В.А.Бабайцева МОСКВА 2003

4.Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике А.Н.Руркин МОСКВА «ВАКО» 2006