Применение геометрических преобразований для вычисления площадей фигур

Применение геометрических преобразований

для вычисления площади фигуры с помощью интеграла

Решение некоторых задач на вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, можно упростить, если данную фигуру заменить конгруэнтной фигурой, получающейся из данной с помощью симметрии относительно прямых y=x или y=-x или поворота на углы ±90° с центром в начале координат.

Задача 1. а) y=x³, y=-1, y=-2, x=0

б) y=-x³, y=1, y=2, x=0

Решение

Для решения задачи а) вместо площади данной фигуры, вычисляем площадь фигуры симметричной данной относительно прямой y=-x. Эта фигура ограничена линиями y=x^1/3, x=1, x=2, y=0 и представляет собой криволинейную трапецию

Для решения задачи б) применим поворот вокруг 0 на угол (-90°); при этом данная фигура перейдет в ту же фигуру, что и в задаче а)

Задача 2. y=log₂ (x-3), y=0, y=1, x=0

Решение

Для вычисления площади данной фигуры применим симметрию относительно прямой y=x. Образом данной фигуры будет криволинейная трапеция, ограниченная линиями y=2^x+3, x=0, x=1, y=0