Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений.

Уравнения cos x =a, sin x=a, tg x=a, ctgx=a.

Цель: усвоение учащимися вывода и применения формул для определения корней уравнений cos x =a, sin x=a, tg x=a, ctgx=a ; формировать навыки усвоения формул при решении уравнений;

развивать самостоятельность мышления;

воспитывать активность, внимание, настойчивость.

Оборудование: таблица, карточки.

Тип урока: изучение нового материала

Ход урока.

1. Проверка домашнего задания.

1. Математический диктант.

Вычислить

I. вариант

II. вариант

Самопроверка

(с оборота доски)

1. arcsin

1. arccos

2. arccos

2. arcsin

3. arcsin(-)

3. arccos(-)

-

4. arctg

4. arctg

5. arctg (-1)

5. arcctg (-1)

-

6. arcsin (sin)

6. arcsin(sin)

7. cos (arccos)

7. cos (arccos)

8. cos (arcsin)

8. sin (arcsin)

9. tg (arctg 5)

9.tg (arctg 1)

5 1

10.ctg (arctg 6)

10.tg (arcctg 10)

11. cos (arcsin)

11. cos (arcsin)

12. sin (arccos)

12. sin (arccos)

2. Устный счет

a)

b)

d)

c)

2. Мотивация учебной деятельности

Известно, что уравнение вида а₀хⁿ+а₁х^n-1+a₂x^n-2+...+a_n=0 - алгебраическое уравнение n-й степени относительно х, если х₀=0 и n - натуральное число.

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, под знаком логарифма и под знаком тригонометрической функции, называют трансцендентными. Это, например, уравнения: а) 2^х+2^х+1=48; б) 2sinx +3cosx=3;

в) lgx=0.1x-1; г) lg(x+2)=1+lg3; д)2^x=4x; e) sinx= .

Уравнение (а) - показательное, (г) - логарифмическое, (б) - тригонометрическое; трансцендентные - (в), (д) и (е) специального названия не имеют.

Сообщение темы и дидактической цели урока.

3. Изучение нового материала.

Уравнение, содержащее переменную только под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Алгебраическое уравнение всегда имеет определенное число корней. Тригонометрическое уравнение либо не имеет корней, либо имеют их бесчисленное множество. Так, например, уравнение cosx= корней не имеет, а уравнение tgx= имеет бесконечное множество корней:

x=, RZ.

Существование бесконечного множества корней тригонометрических уравнений объясняется тем, что каждому значению тригонометрической функции (из области изменения ее значений0 соответствует бесконечное множество углов, обычно объединяемых соответствующими формулами.

Общего метода решения любого тригонометрического уравнения не существует. Однако некоторые способы решения отдельных видов тригонометрических уравнений можно указать. Решение любого тригонометрического уравнения сводятся к решению простейших уравнений вида cosx x =a, sinx=a, tgx x=a. Уравнение ctgx=a равносильно уравнению tgx x= поэтому нет необходимости рассматривать его в отдельности.

Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.Таб.1

1. sin x=a

а) │а│>1, т.е. a > 1, a < -1 решений нет, так как │sinx│≤ 1.

б) │а│≤1, т.е. -1≤ а ≤ 1.

x=(-1)ⁿarcsin a+πn, nєz.

Частные случаи

sinx=0 sinx=1 sinx=-1

x= πn, nєz. x=, nz x=-, nz

2. cos x =a

а) │а│>1, т.е. a > 1, a < -1 решений нет, так как │cosx│≤ 1.

б) │а│≤1, т.е. -1≤ а ≤ 1.

x= arccos a+2πn, nєz.

Частные случаи

cos x = 0 cos x =1 cos x =-1

x= + πn, nєz x= 2πn, nєz x=π+2 πn, nєz

3. tg x=a

x=arctga+πn, nєz.

Частные случаи

tg x=0

x=πn, nєz

4. ctgx=a

x=arcctga+πn, nєz.

Частные случаи

ctgx=0

x= + πn, nєz.

Пример:

1. sinx=

Ответ:____________

2. cosx=-

Ответ:____________

3. tgx=

Ответ:____________

4. ctgx-=0

ctgx=

tgx=

Ответ:____________

5. sinx=

корней нет.

6. cosx=0,37

Ответ:____________

4. Осмысление изученного материала

1. Комментированное решение уравнений:

а) sinx=

Ответ:____________

б) cosx=

Ответ:____________

в) tgx=

Ответ:____________

2. Коллективное решение уравнений:

а) 2sinx-1=0

2sinx=1

sinx=

Ответ:____________

б) cos2x-1=0

cos2x=1

2x=2 πn, nєz

x= πn, nєz

Ответ:____________

в) 2sin =-1

sin

Ответ:____________

г)2cos (x- ) =

Ответ:____________

д)

tgx=0

x=

Ответ:____________

е)2ctg²x+3ctgx-2=0

ctgx=y

2y²+3y-2=0

D=9+422=9+16=25=5²

y₁=

y₂=

ctgx= ctgx=-2

tgx=2 tgx=

3. Самостоятельное решение упражнений

Групповая работа

I группа (начальный)

II группа (средний)

III группа (достаточный)

а)

а)

а)

б)

б)

б)

в)

в)

в)

г)

г)

г)

Работа с учителем Самопроверка Оценить

V. Итог урока

• Над чем работали на уроке?

• Что повторили?

• Какие новые знания получили?

• Самооценка.

VI. Домашнее задание: §12

I, II гр. №57 (1,6,10,14),

III, IV гр. №57 (8,12,16,18)

Дополнительно: 4sin² (2x+ )-1=0.

Таблица 1

Решение тригонометрических уравнений

Уравнение

cos x =a

│а│≤1

sin x=a

│а│≤1

tg x=a

аєR

ctgx=a

аєR

Формула корней

x= arccos a+2πn, nєz.

x=(-1)ⁿarcsin a+πn, nєz.

x=arctga+πn, nєz.

x=arcctga+πn, nєz.

Частные случаи а=0

x= + πn, nєz

x= πn, nєz.

x=πn, nєz

X= + πn, nєz.

а=1

x= 2πn, nєz

-

-

а=-1

x=π+2 πn, nєz

-

-