Проект по математике 8 классСофизмы

1.Введение

В развитии математики софизмы сыграли большую роль Они повлияли на строгость математических рассуждений и помогли более глубокому осмыслению математических понятий и методов. В этой связи знаменитый ученый И. П. Павлов заметил, что «правильная понятая ошибка прокладывает путь к открытиям». Математическим софизмом принято называть удивительные утверждения, в доказательствах которых кроются незаметные, подчас и довольно тонкие ошибки. В математических софизмах применяются «запрещенные» действия ( например , деление на 0 ) или не учитывается невозможность применения теоремы, формулы или правила в рассматриваемом случаи. Иногда в софизмах используются неверно построенные чертежи или другие ошибки.

Софизм ( от греч, σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка»)

- ложное умозаключение, которое тем не менее при поверхностном рассмотрении кажется правильны. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении логики.

Цель работы: дать определение «софизм»,узнать как они появились, определить сферу его применения., научиться распознавать софизмы

Задачи: 1.Рассмотреть исторические сведения о «софизмах». Узнать, какие бывают софизмы.

2..Привести примеры софизмов.

3.Ознакомиться с психологическими особенностями человека применяющего софизмы, который с помощью любых приемов отстаивает свои убеждения, не считаясь верны они или нет.

Объект исследования : софизмы.

Методы исследования: наблюдения, анализ софизмов, составление собственных софизмов.

Гипотеза: изучение и разбор софизмов помогает развивать логическое мышление, развивает внимание, интуицию, наблюдательность, прививает навыки правильного мышления, умение переносить полученные знания на нестандартные жизненные ситуации и реализовывать их в процессе обучения.

«Правильная понятая ошибка прокладывает путь к открытиям». И. П. Павлов.

2.История софизмов.

Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой - семиотической. За счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, амфиболий и прочих, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах (последнюю ошибку можно считать и семиотической, так как она связана с соглашением о «правильно построенных формулах») происходит нарушение правил логики.

Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель создал логику.

А вот современный софизм, обосновывающий, что с возрастом «годы жизни» не только кажутся, но и на самом деле короче: «Каждый год вашей жизни - это её 1/n часть, где n - число прожитых вами лет. Но n + 1>n. Следовательно, 1/(n + 1)< 1/n».

Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста - представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. (Известно, что сам Протагор оказался жертвой «софизма Эватла».)

По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа софизмов, были сами софисты. Учение о речи, о правильном употреблении имён Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона. Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях», а математик Евклид - «Псевдарий» - своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательств.

3. Примеры софизмов.

В математике:

"Чётное и нечётное "

1) 5 есть 2+3 («два и три»). Два - число чётное, три - нечётное, выходит, что пять - число и чётное и нечётное.

2) " Два умножить на два будет пять"

2•2 = 4

4 : 4 = 5 : 5, вынесем за скобки слева 4, справа 5

4 ( 1: 1) = 5( 1 : 1 ) разделим левую и правую часть на ( 1: 1 ), получим

4 = 5, откуда следует 2•2 = 5.

3)" Пять равно шести "

Возьмем тождество

35 + 10 - 45 = 42+ 12 -54.

В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель:

5 • (7 + 2 - 9 ) = 6 • ( 7 + 2 - 9)

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель

( 7+ 2- 9), получим , что 5 = 6. Где ошибка?

4) Примером более тонкого математического софизма служит следующее «алгебраическое» доказательство того, что любое число a равно меньшему числу в.

Начнем с равенства

а = в + с. Умножив обе части на а - в, получим:

а² - ав = ав + ас - в ² - вс. Перенесем ас в левую часть:

И разложим на множители:

а ( а-в-с) = в ( а-в-с). Разделив обе части на а-в-с, найдем

а = в , что и требовалось доказать.

Теория вероятностей изобилует правдоподобными, но логически не безупречными рассуждениями. Предположим, что вы встретились со своим другом Джоном и что каждый из вас носит тот галстук, который ваша жена подарила ему на день рождения. Вы начинаете спорить о том, чей галстук дороже, и в конце концов решаете пойти в магазин, где были куплены галстуки и узнать, сколько стоит каждый из них. Тот, кто выиграет ( чей галстук окажется дороже), по условию пари должен отдать свой галстук проигравшему , чтобы смягчить горечь поражения. Вы рассуждаете так: - « Шансы выиграть и проиграть у меня одинаковые. Выиграв, я обеднею на сумму, равную стоимости моего галстука. Проиграв, я получу более дорогой галстук. Следовательно, заключив пари, я окажусь в более выгодном положении, чем мой приятель.» Разумеется, ничто не мешает Джону рассуждать точно также. Могут ли обе стороны, заключившие пари, иметь преимущество друг перед другом?

В теории множеств

В письме от 16 июня 1902 года Готтлобу Фреге, уже завершавшему свой трехтомный труд, частью изданный, "Обоснования арифметики", венчавший усилия логицистов, Бертран Артур Уильям Рассел (1872 - 1970) сообщил о том, что обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента), указывая на противоречивость исходных позиций Фреге, тем самым чуть-чуть его обломав. Парадокс имеет n-ое количество вариаций. Например, "каталог всех нормальных каталогов".

Каталоги подразделяются на два вида: 1) нормальные, которые в числе перечисленных в них каталогов не упоминают себя, и 2) ненормальные, которые входят в число перечисляемых ими каталогов.

Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных каталогов и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога его упомянуть? Если он его не упомянет, то составленный им каталог будет нормальным. Но такой каталог должен упомянут, а тогда это уже ненормальный каталог, и из списка должен быть вычеркнут. Библиотекарь не может ни упомянуть, ни не упомянуть свой каталог.

Теперь расскажем о вариациях этого парадокса. Начнем с более простого и известного.

Парадокс парикмахера (приписывается также Бертрану Расселу)

В некой деревни (некотором взводе и т.д.), в которой живет один-единственный парикмахер, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Может ли парикмахер брить самого себя?

В литературе.

В приведенном ниже стихотворении, взятом из одного английского журнала, выходившего в свет в XIX веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем размесить в девяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате

Их было десять чудаков , - Пусти, хозяин , ночевать,

Тех спутников усталых, Не будешь ты в убытке.

Что в дверь решили постучать Нам только ночку переспать

Таверны « Славный малый». Промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад, -Восьми гостям я предложу

Да вот беда некстати:, Постели честь по чести

Лишь девять комнат у него А двум придется ночь проспать

И девять лишь кроватей В одной кровати вместе

Лишь он сказал , и сразу крик Как охладить страстей тех пыл

От гнева красны лица: Умерить те волненья?

Никто из всех десятерых Но старый плут хозяин был

Не хочет потесниться. И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока Спал третий в «Б», четвертый в «В»

Чтоб не судили строго, В «Г» спал всю ночь наш пятый

Просил пройти он в номер «А» В «Д», «Е», «Ж», «З», нашли ночлег

И подождать немного. С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А», Хоть много лет с тех пор прошло

Где ждали его двое , Неясно никому,

Он ключ от «И» вручить был рад Как смог хозяин разместить

Десятому герою Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что , как и почему,

Вы постарайтесь сами.

Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:

-« Сидящий встал, кто встал, тот стоит; следовательно сидящий стоит»

-« Сократ - человек; человек- не тоже самое что Сократ; значит Сократ - это нечто иное, чем Сократ»

- «Для того чтобы видеть, вовсе не обязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого других глаз

у нас нет; поэтому ясно , что глаза являются необходимыми для зрения.»

Обратите внимание, во всех примерах выводы являются ложными, причем где то их ложность очевидна, а где то совсем нет.

-«Что от нас дальше Луна или Африка?

Конечно же Африка, ведь Луну отсюда видно, а Африку нет !»

-«Один человек пожилого возраста доказывает, что сила его несмотря на преклонные годы, ничуть не уменьшилась: В юности и молодости я не мог поднять штангу весом в 200 кг и сейчас не могу,, стало быть сила моя осталась прежней.»

- «Зачем человеку уши? Чтобы видеть. Странно - это глаза для того чтобы видеть , а уши- для того , чтобы слышать. На самом деле это не так. Уши ведь держат шляпу , и если их не было, то шапка сползла бы на глаза и было бы ничего не видно. Следовательно, уши нужны для того, чтобы видеть.

Основные ошибки, «прячущиеся» в софизмах:

-деление на 0 ;

-неправильные выводы из равенства дробей;

-неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

-нарушения правил действия с именованными величинами;

-путаница с понятиями «равенства» и « эквивалентность» в отношении множеств;

-проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

-неравносильный переход от одного неравенства к другому.

4. Заключение

В своей работе я рассмотрела не все примеры «софизмов». Встречаются «софизмы» в теории чисел, есть бесконечное множество интересных задач о сравнительных достоинствах « интересных чисел». Есть логические софизмы, терминологические, психологические. Это очень обширная , интересная и познавательная тема. Софизмы - это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом.

. Хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни.

В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений. . Изучая данную тему .я расширила свой кругозор, это заставила меня внимательнее читать, распознавать софизмы, находить ложные утверждения. При решении таких задач развивается не только логическое мышление, но и интуиция. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.

5. Используемая литература

1«Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия» Т.Н. Михеева

2 « История философской мысли». А,А Афанасьева.

3. Толковый словарь.

4.Материал из Википедии - свободной энциклопедии

5. «Софистика» Чернышев Б.

Коммунальное государственное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 4»

г. Жезказгана

Исследовательская работа

«Софизмы»

Выполнил: ученица 7 «Г» класса -

Здоровик В

Руководитель: Булгакова В. А.-

учитель математики.

г. Жезказган 2014 г.

Оглавление.

1. Введение.

2. Исторические сведения о софизмах

3. Примеры софизмов

4. Заключение

5. Используемая литература.

Можно бесконечно говорить о софизмах в целом и о математических софизмах в частном. Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы - это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.

Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. Существует огромное множество разных видов софизмов. И математические софизмы - всего лишь небольшая их часть. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.

Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться и всматриваться, например в софизме «Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру» пришлось долго искать ошибку в применении теоремы. К концу работы над рефератом ошибки стали находиться быстрее. Хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни.

Вообще, решение софизмов - интересное и познавательное занятие. Им можно заниматься как целенаправленно, так и в свободное время для собственного удовольствия, как например решение сканвордов или судоку.