Урок алгебры Подготовка к ЕГЭ. КЕЙС – технологии на уроках математики.

Подготовка к ЕГЭ. КЕЙС - технологии на уроках математики.

( по демоверсии 2014 года)

В рамках личностно-ориентированного обучения школьников все большую актуальность приобретают информационные технологии образования. Кейс-технология является одним из вариантов таких технологий. Она представляет собой дистанционную образовательную технологию, основанную на предоставлении учащимся информационных образовательных ресурсов в виде специальных наборов (кейсов) учебно-методических материалов, предназначенных для изучения. Учебно-методические материалы предоставляются с использованием различных видов носителей информации и любыми приемлемыми для организации учебного процесса способами.

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ СТОРОНЫ КЕЙС-ТЕХНОЛОГИИ:

- ученик видит сразу весь объем материала, который необходимо знать по дан­ной теме;

- даже в случае болезни ребенок видит пропущенные им вопросы и может поработать над ними самостоятельно;

- ребенок может планировать время работы над данной темой;

-у части учащихся появляется желание подготовиться к обобщающему уроку как можно лучше, с тем, чтобы выступить в роли консультанта для одноклассников, что непременно оценивается учителем;

-к концу учебного года у ученика набирается полный набор учебно-методических материалов по всем изученным за год темам, который он может использовать для повторения и подготовки к экзаменам.

Привожу пример использования мною кейс-технологии на уроке алгебры в 11 классе.

ТЕМА УРОКА. Разработка рекомендаций к системе подготовки по решению задач практического содержания типа В12, В4, не содержащихся в учебнике.

ЦЕЛИ УРОКА:

1. Подготовка к ЕГЭ. Разработка рекомендаций к системе подготовки по решению задач практического содержания типа В12, В4, не содержащихся в учебнике.

2. Развитие исследовательских навыков. Развитие умения анализировать, систематизировать, интерпретировать полученные результаты.

3. Способствовать воспитанию умения работать в команде; умения критически относиться к мнению одноклассников.

ХОД УРОКА.

I. Вступительное слово учителя:

1 урок. Сообщение нового материала
Рефлексия Игра "Проблема на ладошке"

Ход игры:

- Сейчас предлагаю каждому участнику посмотреть на проблему совершенствования профессиональной компетентности как бы со стороны, как если бы вы держали её на ладошке.

(ведущий держит на ладошке красивый теннисный мячик)

- Я смотрю на этот мяч. Он круглый и небольшой, как наша Земля в мироздании. Земля - это тот дом, в котором разворачивается моя жизнь. Какие качества и каким образом я хотел бы в себе развить, что бы моя жизнь и педагогическая деятельность обеспечивала собственное профессиональное продвижение и развитие.

И что нового я узнал на деловой игре?

(Я хотела бы развить в себе такое качество как красноречие, потому что мне порой очень трудно высказать свои мысли, я могу развить в себе это качество если буду обогащать свой словарный запас.

(музыкальное сопровождение: музыка вселенной)

(участники поочерёдно держат на ладошке предмет, символизирующий проблему, и высказывают своё личностное отношение к ней.)

Индивидуальное изучение кейса каждым учеником.
Разработка вариантов индивидуальных решений.
2 урок. Усвоение нового материала
Обсуждение вариантов индивидуальных решений в каждой микрогруппе.
Вопросы для обсуждения. Подготовка компьютерной презентации.

Хочу отметить, что предложение учащимся для изучения именно заданий В12; В4 было обусловлено несколькими причинами. Одной из них явился невысокий процент решивших задания этого типа на диагностических работах для 11 класса. И, конечно же, интересным аспектом для изучения этого задания стали проблемы с интерпретацией физических формул учащимися и отказ по этой причине от решения подобных задач. Особенностью метода case - технологий является создание проблемной ситуации на основе фактов из реальной жизни. А что сейчас волнует многих школьников, изучающих математику в старших классах? Помимо проблемы итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения, в коей мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем, насколько оправданы как затраты времени, так и здоровья на изучение столь сложного предмета. В начале первого занятия учащиеся 11 класса были разбиты на 3 группы. Каждой группе в бумажном виде были предложены: текст мини- кейса, образцы задач, вызывавших затруднения, подсказки, вспомогательные вопросы.

II. Представление кейса
Сегодня на уроке мы будем работать с так называемым «кейсом». Под кейсом понимается несколько страниц текста, различные презентации, видеоматериал. Сейчас у каждого из вас есть кейс. В течение трёх уроков мы работали с данным кейсом. Такой материал, который содержится в КЕЙСЕ, вы не найдете в учебнике.

Чтение вслух текста из кейса "Тяжкое бремя ЕГЭ"

Андрей не очень усердный ученик. Школу посещает скорее по принуждению. Усилия всей семьи направлены на внедрение его в число студента любого, но очень престижного вуза. В настоящий момент выявилась одна из жестких проблем: как показал обзор источников информации, зачастую, вместо стандартно сформулированных математических задач, на экзаменах появляются задания, отражающие "какие-то связи" с реальной жизнью. Ситуация усугубляется тем, что встреча с любыми величинами, напоминающими таковые в учебниках физики, приводит Андрея в состояние стойкого оцепенения (ну не получается у него полюбить физику). Просмотрев задания первой части ЕГЭ для выпускников 11 класса, Андрей сразу узнала своего "противника" - задание В12. Даше нельзя отказать в здравом смысле, но даже ей показалось сложным оценить величие и различие слов "доход", "прибыль", "выручка", «Интернет-провайдер», «трафик», мелькающих в текстовых задачах. Но ведь встречаются в этих задачах и худшие монстры: брошенные камни, то вертикально вниз, то вертикально вверх, перегревающиеся приборы, законы излучения звезд. Просмотрев учебник математики, Андрей понял, что там нет таких задач. Он боится изотерм, а в заданиях обсуждаются ещё и изокванты, слава богу, в географии удалось пройти изобары, но впереди маячат изокосты: К счастью, Андрей - неисправимый оптимист. И как у любого оптимиста у него много друзей. И почему бы не сосредоточить их интеллектуальные ресурсы во времени и пространстве на выработку поначалу подхода к этой мини ситуации: как одолеть задание В12? Может, кто-то уже его победил? Может у кого-то есть верный способ, как обойти проблему? И как понять, нужно ли ей вообще волноваться по данному поводу?

Итак - цель полезного использования нашего кейса: разработать рекомендации к системе подготовки решения подобных задач и убедить Андрея в преимуществах выбранной методики.

ЗАДАНИЯ ГРУППАМ. От каждой группы нужно разработать и предоставить на уроке не менее пяти рекомендаций к системе подготовки решения заданий типа В4, В12. Доказать преимущества вашей методики.

Метод КЕЙС - технологий предполагает: (КЕЙС - технологии - метод ситуационного обучения)

• подготовленный в письменном, электронном виде пример кейса;

• самостоятельное изучение и обсуждение кейса учащимися;

• совместное обсуждение кейса в классе под руководством учителя;

• сопоставление результатов: сравнение решений, принятых в группах; следование принципу "процесс обсуждения важнее самого решения".

Временной сценарий.

На работу с данным кейсом отводится 3 занятия.

1 занятие посвящено знакомству с ситуацией и первичному анализу информации. В ходе этого занятия формируется несколько групп из числа учащихся.

2 занятие посвящено обсуждению ситуации в группах и принятию коллективного решения. Предполагается предварительная домашняя обработка информации.

3 занятие посвящается представлению предложений, одобренных в группах и сопоставлению результатов.

Во время проведения первого занятия все его участники имели возможность, ознакомившись с представленными материалами, провести их обсуждение внутри группы, задать вопросы учителю и разработать начальный вариант подхода к разрешению проблемы.

Проводя занятие, я хотела, чтобы учащиеся, заинтересовавшись, поближе познакомились с прототипами заданий В12 на примере открытого банка данных, online - тестирования, диагностических работ.

Оговорюсь, что при презентации найденных подходов к решению задания не предполагалось обсуждения и сравнения решений самих задач, однако, при подготовке к занятиям, участники групп рассмотрели все задачи. Мне представляется, что подходы к их решению могут быть интересны. В ходе работы возникало много вопросов, которые были заданы мною лично при формулировке задания, прозвучали со стороны учащихся, причем, некоторые из них прогнозировались заранее, а другие были для меня неожиданными.

ВОТ НЕКОТОРЫЕ ИЗ НИХ:

Монополист?

Что выгоднее реализовывать: малый объем по большой цене или большие объемы по малой цене?

Что такое эксклюзивный товар?

Может ли в условиях монополии рядовой товар стать эксклюзивным?

Выручка, доход, прибыль?

В реальных обстоятельствах: должно ли предприятие ориентироваться на максимальный объем выручки?

Какими способами можно увеличивать цену товара? Обязательно ли падает спрос с увеличением цены? Примеры?

III. Защита своих идей.

Представление компьютерных презентаций каждой группой

Руководитель - ---------

Руководитель - -------------

Руковод. - ---------------

Хочется отметить, что данная форма проведения занятий была интересна мне, как учителю, и учащимся, как исполнителям "главных ролей". Самостоятельность и свободное изложение подходов участников к разрешению проблем проявились наиболее полно на третьем занятии, которое прошло в форме конкурса презентаций.

IV. ПРОЕКТ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, как общий вывод, записывается в тетрадь

V. ИТОГ УРОКА. ПРЕСС-КОНФЕРЕНЦИЯ:

БЛИЦ - ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ПО ЗАДАНИЯМ В4; В12

1. Что общего в представленных заданиях?

2. Что отличает группу заданий В4, В12 от других на выпускных экзаменах по математике?

3. Есть ли такие задачи в наших учебниках?

4. Что хотят проверить составители подобных заданий?

5. Хватит ли времени решить все задачи открытого сегмента заданий по математике?

6. Стоит ли это делать?

7. Являются ли задачи с практическим содержанием из практики ЕГЭ отражением реальных ситуаций?

8. Как распознать "бантики", развлекающие публику, привлеченную к решению задач и суть самой задачи? Надо убирать "бантики" или они помогают в работе?

9. Можно ли, проанализировав задачу, подготовиться к решению целого набора заданий?

10. Надо ли понимать смысл задания В12, если собираешься - не собираешься стать физиком? Собираешься - не собираешься стать экономистом?

11. Стоит ли задумываться о смысле входящих в уравнения и неравенства величин, если компьютер проверяет лишь численный результат?

12. Можете ли вы сами найти информацию в сети Интернет, например, полезные ссылки на on-line тестирование? Все ли они помогут при подготовке к экзаменам?

13. Живя в обществе, будучи просто потребителем, ты подходишь к оценке ситуации иначе, чем производители?

14. Попробуйте понять, для чего лично Вам может пригодиться сегодняшнее занятие?

VI. Домашнее задание.

Закончить работу с прототипами В12, В4, используя полученные на уроке ВЫВОДЫ.

Приложение 1

Общие рекомендации по подготовке к ЕГЭ по математике

• Никогда даже не допускайте мысли: «Я это никогда не смогу сделать».

• Человеческий организм так устроен, что в самые ответственные моменты он мобилизует все свои скрытые возможности.

• Спокойно и внимательно прочитайте задание: не пугайтесь, если Вам кажется, что ранее вы не встречались с таким типом заданий. Начните с ответов на вопросы, что надо найти, и что дано, какие теоретические сведения Вам известны. Попробуйте разделить задание на части.

• Не позволяйте себе сразу выполнять задание, не дочитав его до конца, а после решения обязательно еще раз прочтите задание и дайте ответ именно на вопрос задачи, а не на тот, который Вам пришел в голову. Все время думайте!

• Помните, за оставшееся время Вы должны задать учителю все вопросы, которые у Вас возникают при тренировке, чем больше у Вас теоретических знаний, необходимых для решения заданий, чем больше Вы разбираете и анализируете готовые образцы решений, чем больше собственная натренированность, тем больше шанс получить высокие баллы на ЕГЭ

Я рекомендую решать их в таком порядке.

1. Внимательно читаем задачу, и, не обращая внимание на подробности в виде формул и констант, стараемся представить, о чем в задаче идет речь.

2. Читаем вопрос, смотрим, о какой величине спрашивается в задаче, и что именно нам нужно о ней узнать.

3. Записываем вопрос задачи в виде уравнения или неравенства, в левой части которого стоит указанная величина.

4. Ищем в условии задачи, какой формулой эта величина выражается.

5. Подставляем в эту формулу указанные в условии константы.

6. Решаем получившееся уравнение или неравенство.

7. Прежде чем записать ответ, еще раз читаем вопрос, и проверяем, то ли мы нашли.

Решим этим способом несколько задач.

1. Задание B12 (№ 1)

Некоторая компания продает свою продукцию по цене руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют руб., постоянные расходы предприятия руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.

Лично я не представляю, о чем в задаче идет речь. Переходим к п. 2 - читаем вопрос задачи: «Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000руб».

Месячная операционная прибыль - что бы это ни значило - это, по условию задачи . Эта величина должна быть не меньше 300000руб. Значит, наша задача решить неравенство .

Эта величина выражается формулой

Следовательно, нам нужно решить неравенство .

Подставим в это выражение константы из условия задачи:

Получим неравенство:

Отсюда: .

Теперь еще раз читаем вопрос задачи: определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции). То есть в ответе надо указать наименьшее q, удовлетворяющее неравенству.

Ответ: 5000.

Задание B12 (№ 2)

Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Как и в предыдущем примере, не будем вдаваться в физический смысл процесса. Читаем вопрос задачи: «Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб.»

Месячная выручка в условии задачи - это величина . То есть нам надо решить неравенство , где , в свою очередь, задаeтся формулой . Получаем неравенство:

Еще раз читаем вопрос задачи: определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

То есть в ответе надо указать наибольшее значение р, удовлетворяющее неравенству.

Ответ: 6.

Задание B12 (№ 3)

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

В этой задаче понятно что происходит. Мяч сначала двигается вверх, затем достигает верхней точки и начинает двигаться вниз. В какой-то момент времени мяч достигает 3-х метров, затем некоторое время находится выше трех метров, и потом снова оказывается ниже.

Нам нужно решить неравенство , следовательно решаем неравенство:

Корни этого квадратного трехчлена: ,

Нанесем корни на координатную прямую и расставим знаки:

В задаче требуется найти, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров, то есть нас интересует длина промежутка, на котором выполняется неравенство:

Ответ: 1,2 сек.

Задание B12 (№ 4)

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой

Где Т1 -температура нагревателя в градусах Кельвина, Т2 - температура холодильника в градусах Кельвина.
При какой температуре нагревателя Т1 КПД будет 45% , если Т2 = 275 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Решение задачки В12 сильно напоминают задачки по физике и этим некоторых напрягают. В общем-то не худо бы воображать описанный в задачке процесс, но и без этого воображения задачку вполне себе можно решить.
По сути дела, в формуле три буквы Т1, Т2 и «ню». Две из них известны, а третья Т1 неизвестна. В общем-то это просто-напросто уравнение, только записано в хитрой форме. Чтобы получилось нормальное уравнение, можно сразу известные буквы заменить числами

А теперь решаем это уравнение обычным способом.
1. Чтобы избавиться от дроби в правой части обе части уравнения умножаем на Т1.

2. Раскрываем скобки в правой части уравнения

3. Переносим члены, содержащие неизвестную величину, в левую часть

4. Выносим Т1 за скобки

Из последнего выражения легко находим Т1 = - 27 500/ - 55 = 500
Ответ: 500

Задание B12 (№ 5)

Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону

В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m0 = 12 мг изотопа натрия-24, период полураспада которого Т = 15 часов. В течение скольких часов содержание натрия-24 в веществе будет превосходить 3 мг?

Решение. Для упрощения заменим числами известные величины, а заодно и знак «равно» заменим на знак «больше»

Получили показательное неравенство (с переменной величиной t в показателе степени). Надо его решить!
Как будем решать?
1. Сначала из неравенства сделаем уравнение.

2. Разделим обе части уравнения на 12 и сократим.

3. Вспомним свойство степеней. Если число в отрицательной степени, то можно его записать в виде дроби, у которой в числителе 1, а в знаменателе это число в такой же, но положительной степени. То есть

Тогда получится такое шикарное выражение

Между двумя частями уравнения знак равно, числители одинаковые, значит и знаменатели тоже будут равны

А 4 - это два в квадрате, то есть

Основания степеней равны, значит равны и показатели

Ответ: 30

Задание B12 (№ 6)

Решение. Здесь, конечно, без мало-мальского понимания физики можно затупить. Сила тока обозначается буквой I. Из формулы (это формула закона Ома для участка цепи) видно, что сила тока зависит от двух параметров: от напряжения U и от сопротивления R. Напряжение задано в исходных данных, оно равно 220 Вольт, никакой свободы выбора для нас нет. А сопротивления можно подбирать. Если к примеру сопротивление R = 100 Ом. Тогда ток будет 220/100 = 2,2 Ампера. В условии сказано, что в цепь включен предохранитель, рассчитанный на максимальный ток 20 Ампер. Как только ток в цепи станет равен 20 Ампер, предохранитель перегорит и отключит цепь. Пока у нас 2,2 ампера, это намного меньше, чем 20, цепь продолжает работать.
А пусть возьмём R=50 Ом. Тогда сила тока будет равна 220/50= 4,4 Ампера, тоже ничего, цепь продолжает работать.
Таким образом, при уменьшении сопротивления сила тока увеличивается, и требуется найти такое самое маленькое значение сопротивления, при котором сила тока не превысит 20 Ампер.
Иначе говоря, в переводе на язык математики, надо решит такое неравенство

Оно решается довольно просто. Сначала решаем уравнение 20= 220/R
Находим R =220/20 = 11. Потом анализируем. При R>11, I<20. При R<11, I>20.
Ответ:11

Приложение 2

Задания В4, которые представлены длинными многословными задачами, сначала производят невеселое впечатление - они кажутся сложными.

На самом деле они просто громоздкие и долгие в решении. Кроме того, они требуют внимания в вычислениях.

Решаются же они довольно просто, если к ним правильно подойти.

А этот правильный подход, в свою очередь, сам по себе довольно прост.

А именно: сначала всю информацию из условия нужно перенести на простой рисунок (схему) для хорошего обзора. И уже затем, имея перед собой «отжатую» информацию, нужно проделать вычисления по всем предлагаемым в условии вариантам выбора.

Если же рисунок уже дается в условии, то необходимые пометки можно делать прямо на нем.

Распространенный и такой понятный (лень и отсутствие привычки) соблазн не делать никаких рисунков вообще, а заняться сразу вычислениями, да еще и в уме, часто приводит к закономерному результату: ответ получается «хороший, но неправильный»

Подход, который мне кажется полезным и вполне работающим, показан на ряде типичных примеров:

Задача В4 (№ 1)

Решать такие задачи тоже лучше с помощью таблицы.

Поставщик

Цена за куб.м

Стоимость 70 куб.м.

Доставка

Скидка по доп.условиям

Итого стоимость

А

2600

х70 = 182 000

10 000

192 000

Б

2800

х70 = 196 000

8 000

- 8000

196 000

В

2700

х70 = 189 000

8 000

197 000

Проанализируем. Первый и второй столбец таблицы просто списаны. Третий столбец получили в результате умножения второго столбца - цены за 1 кубометр на 70 - количества пеноблоков, которое покупает строительная фирма. Четвертый столбец - стомость доставки, тоже списан из условий. В пятом столбце скидка. Скидку (бесплатную доставку) предлагает только поставщик Б. Поставщик А бесплатной доставки не предлагает. А у поставщика В бесплатная достака от 200 000 рублей; мы выбрали товара только на 189 000 рублей, поэтому не можем пользоваться бесплатной доставкой. В последнем столбце складываем все вместе и получаем, что саамое дешевое у поставщика А 192 000 рублей. Это и есть ответ 192 000.

Задача В4 (№ 2)

Для транспортировки 50 тонн груза на 900 км можно использовать одного из трех перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого из них указаны в таблице. Сколько будет стоить самый дешевый вариант перевозки (в рублях)?

Решение. Составляем таблицу для сравнения вариантов:

Перевозчик

Грузопродъемность одного автомобиля

Число автомобилей для перевозки 50 тонн

Стоимость перевозки одним автомобилем на 100 км

Стоимость перевозки одним автомобилем на 900 км

Общая стоимость перевозки

А

3,5

15

3700

х9 = 33 300

х 15 = 499 500

Б

5

10

4300

х9 = 38700

х 10 = 387 000

В

12

5

9800

х9 = 88 200

х 5 = 441 000

Здесь в третьем столбце сосчитано число автомобилей для перевозки 50 тонн, заданных в условии задачи. При этом у перевозчика Б ( у которого машина вмещает 5 тонн) понадобится ровно 10 машин. У других не так просто.

У перевозчика А машина вмещает 3,5 тонны; 14 машин увезут 49 тонн. Значит, надо 15. Правда, последняя машина будет недогружена, но по-другому 50 тонн не перевезти. Такая же шняга и с третьим перевозчиком. Дальше. В пятом столбике сосчитана стоимость превозки за 900 км. И, наконец, в последнем умножено на число машин. Самый дешевый вариант, как видим, перевозчик Б, а именно 387 000 рублей. Это ответ 387 000.

Задача В4 (№ 3)

Семья из трех человек едет из Москвы в Бологое. Можно ехать поездом, а можно на своей машине. Билет на поезд стоит 325 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 км пути.Расстояние по шоссе равно 350 км, а цена литра бензина 19 рублей. Какова наименьшая стоимость в рублях семейной поездки?

Решение. На жд потратим 325 х 3 = 975 рублей.
На автомобиле считаем только бензин. Износ шин, деталей, штрафы ГИБДД в расчет не берем. Тогда 0,11 х 19 х 350 = 731,5 рублей.

Почему я взяла не 11 литров, а 0,11 литров? Потому,что 11 литров - это на 100 километров, а я взял на 1 км в сто раз меньше. Как видим, поездка на автомобиле выгодней, она стоит 731,5 рублей, это число мы и впишем в клетку бланка ЕГЭ.

Задача В4 (№ 4)

На рисунке показаны схема дорог и расстояния в километрах между населенными пунктами A, B,C,D и E вдоль этих дорог. Мопед, грузовик и автобус одновременно выезжают из города А и добираются в город Е разными путями. Мопед едет через поселки С и В; грузовик только через В, а автобус через город D. Мопед был в пути 1 час 20 минут; грузовик 1 час, а автобус 1 час 40 минут. Найти среднюю скорость того транспортного средства, у которого эта скорость наибольшая. Ответ дайте в км/час.

Решение. Составим таблицу, по которой удобно проводить анализ ситуации.

Транспорт

Путь

Длина пути км

Время в часах

Скорость

Мопед

ACBE

16+20+24=60

4/3

60 : 4/3 = 45

Грузовик

ABE

30+24=54

1

54/1 = 54

Автобус

ADE

36+54=90

5/3

90 : 5 / 3 = 54

Таким образом, наибольшая скорость у автобуса и такая же у грузовика 54 км/час. Это ответ 54
Особых комментариев, думаю, и не нужно. Единственно, что я время в часах выразила в обыкновенных дробях, причем в неправильных, с числителем большим знаменателя.Поэтому в последнем столбике пришлось для вычисления вспоминать правила деления числа на дробь (типа - умножить на знаменатель и разделить на числитель).

Зачем я так сделала? Потому что 1 час 20 минут - это одна и одна третья часа. В десятичных дробях точно не выразишь, вот и пришлось пользоваться обыкновенными.